Teorema di Bernoulli

Matteo Corradi il teorema di Bernoulli

Nell’ambito dello studio della dinamica dei fluidi, il teorema di Bernoulli assume molta importanza in quanto permette di mettere in relazione la pressione, la quota e la velocità nei punti di una linea di flusso appartenente ad un fluido perfetto della seconda categoria, ovvero a viscosità nulla.

Enunciazione del teorema di Bernoulli

Una prima enunciazione del teorema di Bernoulli afferma che “la somma di pressione, energia potenziale per unità di volume e energia cinetica per unità di volume è costante in tutti i punti di un tubo di flusso di un fluido non viscoso ed incomprimibile, in moto in condizioni di regime stazionario”.

Dal punto di vista della formulazione, questo enunciato può essere così scritto: ¹/2 (1): + + = ²V.

Verrà di seguito dimostrato come ottenere la formula appena riportata, inoltre al termine del procedimento si inserirà una seconda formulazione del teorema di Bernoulli, ottenuta dalla prima.

La figura qui rappresentata indica un tratto di tubo di flusso di sezione infinitesima all’interno del quale un fluido si muove dall’alto verso il basso. Il fluido passa da una sezione di ingresso a velocità v₁ e da una sezione di uscita a velocità v₂.

Descrizione del movimento del fluido

All’inizio della discesa il fluido occupa le sezioni A e B, alla fine della discesa occupa le sezioni B e C (quindi A è libera). Inoltre, v₁ = all’istante dt il fluido si abbassa di in corrispondenza di A, alla quota h₁, e di in corrispondenza di C alla quota h₂.

Analisi delle forze

Analizzando le forze che agiscono tra le sezioni e , si evince quanto segue:

• Forza di pressione orientata lungo la verticale e diretta verso il basso pari a p₁;
• Forza di pressione orientata lungo la verticale e diretta verso l’alto, pari a p₂. Questa forza si origina in quanto il liquido che scende incontra la resistenza del liquido presente sotto di esso;
• Forze agenti sulla superficie laterale (solamente normale perché il fluido è perfetto, del tipo a viscosità nulla);
• Forza peso del fluido.

Calcolo del lavoro

Per ottenere il risultato finale del teorema di Bernoulli, si considera il lavoro generato da queste forze secondo due modalità, e poi lo si eguaglia. In primis, si considera la definizione “classica” di lavoro, ovvero il lavoro inteso come il prodotto di una forza per lo spostamento relativo, poi si considera il lavoro...