Enunciazione del teorema del differenziale totale

TEOREMA

Se f è differenziabile in x^* ⇒ f continua in x^*

TEOREMA (DEL DIFFERENZIALE TOTALE)

Siano A aperto ⊂ Rⁿ, x^* ∈ A, f: A → R

1. f è DERIVABILE in un aperto B ⊂ A, x^* ∈ B
2. f_i continua in x^*, ∀ i = 1, ..., m allora f è DIFF. in x^*

ESEMPIO

f(x, y) = ¹/₃ x y³ + ¹/₂ x²y + ¹/₂ y² D_f = R²

f DIFF. IN (1, 0)?

∇f(x, y) = ( ¹/₃ y³ + x y   x y + ¹/₂ x² + y )

⇒ f DIFF. in R² ⇒ f DIFF. IN (1, 0) per teo def. del totale

Controllo applicando le definizione:

1. f derivata in (1, 0) ⇒ ∇f(x, y) = (⁰/₁ ¹/₂)
2. lim_{(h1, h2) → (0, 0)} ^{f(1 + h₁, h₂) - f(1, 0)}/_{√(h1² + h2²)} = ( _g1/_g2 - γ₁, γ₂ )

lim_{(h1, h2) → (0, 0)} ¹/₃ (1 + h₁) h₂³ + ¹/₂ (1 + h₁)² h₂ + ¹/₂ h₂² - 0 - 0 - ¹/₂ h₁

h₁ = ρ⋅cosθ

h₂ = ρ⋅sinθ

limρ → 0+ 1/3 ρ2 sin 3θ - 1/3 ρ cosθ sin3θ + 1/2 ρ2 sinθ ρ cosθ sinθ

Teorema

Se f è differenziabile in x^* ⇒ f continua in x^*

Teorema (del differenziale totale)

Siano A aperto ⊆ Rⁿ, x^* ∈ A, f : A → RS.o.:

1. f derivabile in un aperto B ⊆ A , x^* ∈ B
2. f_xi continua in x^*, ∀ i = 1, ..., m allora f è diff._tot in x^*

Esempio

f(x,y) = ¹⁄₃ x y³ + ¹⁄₂ x² y + ¹⁄₂ y²   D_f = R²

f diff. in (1,0)?

∇f(x,y) = ( ¹⁄₃ y³ + x, x y + ¹⁄₂ x² + y) ⇒ f diff. su R² ⇒ f diff. in (1,0)(per teorema del totale)

Controllo applicando le definizioni:

1. f derivabile in (1,0) ⇒ ∇f(x,y) = (⁰⁄₁ | ¹⁄₂)

2. lim_{(h1,h2) → (0,0)} ^{f(1 + h₁, h₂) - f(1,0) - ⟨ ∇f_(1,0) | ⟨h₁, h₂⟩ ⟩}⁄_{√(h1² + h2²)} =

   =

   lim_{(h1,h2) → (0,0)} ¹⁄₃ h₁ h₂³ + ¹⁄₂ (1 + h₁)² h₂ + ¹⁄₂ h₂² - 0 - ¹⁄₂ h₂

   ⁄_{√(h1² + h2²)}

   h₁ = ρ cosθh₂ = ρ sinθ

   lim_{ρ → 0} ¹⁄₃ ρ³ sin³θ + ... = 0

< _p>0

-∫(f(x,y) - f(x^∗,y^∗)) <∇f(x^∗,y^∗), (x^∗ - x)

se (x,y)→(x^∗,y^∗)

-∫(f(x,y) = f(x^∗,y^∗)) + ∂ f(x^∗,y^∗))_{/∂ x} (x-x^∗) + ∂ f(x^∗,y^∗))_{/∂ y} (y-y^∗) + o (√(x^∗ - x^∗)² + (y^∗ - y^∗)))

Quindi: Viciamo (x^∗,y^∗) la funzione f si puo premonare con il piano tangente π e F nel punto (x^∗,y^∗,f(x^∗,y^∗)) , e π ha esplosione z = f(x^∗,y^∗)) + ∂ f(x^∗,x^∗))_{/ ∂ x} (x-x^∗) + ∂ f(x^∗,y^∗))_{/ ∂ y} (y-y^∗))

-Se ∇f(x^∗,x^∗) ≠(0

culo le direzione di massima pendenza di f

-Inoltre ∇f(x^∗,x^∗) e ⊥ alle curve di livello presente per (x^∗,y^∗)

f(x,y)= -1 / x²+y²

Piano tangente e direzione di mex pendenza in (1,1) D_f = R²\(0,0)

∇f differenzlable in D_f ⇒ π piano tangente π

∇f(x,y)= ⎜2x⎟ , ∇f(1,1) = ⎜-¹/₂⎟                        ⎜ x²+ y²⎟          ⎜ -¹/₂ ⎟

                                                   ⎜2y⎟                                                  ⎜-¹/₂⎟

x + y + 2 z - 3 = 0