Teorema dei residui e trasformata di Laplace

Teorema dei residui

res {f, z₀} = ¹/_2πi ∮_γ f(z) dz

I funzioni analitiche z₁, ..., z_k γ circonda z₁,...,z_k

∮_γ f(z) dz = 2πi ^k∑_m=1 res (f, z_m)

∂D = γ ∪ γ_λ ∪ γ_z ∪ γ_x

Su D f è olomorfa ⇒⇒ ∮_∂D f(z) dz = 0

∮_l = ∮_γ - ∮_γ1 - ∮_γ2 - ∮_γ3 = 0

Esempio

f(z) = ¹/_{z² + 4}

Teorema dei residui

res (f, z₀) = ₁/_2πi ∮_γ f(z) dz

I funzioni analitiche z₁, ..., z_k γ circuíta z₁, ..., z_k

∮_δ f(z) dz = 2πi _∑^k_m=1 res (f, z_m)

∂D = γ ∪ γ₁ ∪ γ₂ ∪ γ₃

Su D f è domongele ⇒⇒ ∮_∂D f(z) dz = 0 per il teorema di Cauchy

γ - ∫ f - ∫ γ₁ - ∫ γ₂ - ∫ γ₃ - ∫ p = 0

∮_γ f(z) dz = _∑^k_m=1 ∮_γm

∮_γm = _∑^k_m=1 2πi res(f, z_m)

Esempio

f(z) = ₁/_{z² + 4}

Trasformate di Laplace

∫: ℝ ⟶ ℝ s ∈ ℂ

ℒ [f](s) = ∫₀^+∞ e^-st f(t) dt

Si dice che f è _a la Laplace trasformabile se

∫₀^+∞ |e^-st f(t)| dt

Trasformata dell'esponenziale

f(t) = e^t

ℒ [ e^t](s) = ∫₀^+∞ e^-st e^t dt = ∫₀^+∞ e^{(1-s) t} dt

∫₀^+∞ e^{(1-s) t} dt ⟶ |e^{(1-s) t}| = |e^{-(s-1) t}| = e^Re(-1(s-1)t) { deve essere negativo }

Re(s-1) > 0 Re(s) > 1

Definizione

f: A → ℂ olomorfa, z₀ ∈ A

z₀ è un punto singolare isolato se z₀ è punto isolato f.u A

°f: A → ℂ olomorfa, z₀ è   singolare isolata per f

1. z₀ eliminabile ⇔ ∃ lim_{z → z₀} f(z) = λ ∈ ℂ
2. z₀ polo di ordine n ⇔ ∃ lim_{z → z₀} (z - z₀)ⁿf(z) = λ ∈ ℂ*
3. [In tal caso lim_{z → z₀} |f(z)| = +∞]
4. z₀ essenziale ⇔ ¬ ∃ lim_{z → z₀} f(z)

Esempio

1. g(z) = ^{cos z - 1}/_z⁵ → che singolarità ha ?
2. z⁵ = 0 → z = 0 → singolarità isolata
3. lim_{z → 0} z^{3 cos z - 1}/_z⁵ = lim_{z → 0} ^{cos z - 1}/_z² = -¹/₂ ≠ 0 z = 0 polo ordine 3
4. g(z) = ¹/_{1 - cos z} → ?
5. 1 - cos z = 0 → cos z = 1
6. z = 2kπ, k ∈ ℤ, sing. isolata

⁰ z→ 2kπ z_{lim (z-2kπ) . 1} = _{lim (z-2kπ)² .} ^*z→2kπ z→2kπ 1-2cosz_z→2kπz - 2kπ z z≠0 ; z=2kπ, k∈Z POLO

Limiti e residui

^{lim* . z _{lim* .} 2 C ∮ ε A, A aperto, c ε Cδ curva sett’l chioso, regolare a tratti Im υ c A z_o∈D (aperto, ultimo, ∂D≠) il residuo di ƒ in z_o è Res (ƒ, z_o) = 1 ∮ ƒ(z) dz2πi Re_s = C olotorofa, z_o Є {, polo di ord. m per ƒ, allora}

Res_i, z_o) = ^lim_z→zo ( [z-z_o]^m ƒ(z)) (m-1)

Se m=1 => Res {ƒ, z_o} = lim (z-z_o) ƒ(z)

Se ƒ(z) = f₂(z), z_o zero semplice di f₂ (cioè f₂(z_o) = 0), f'₂(z_o)≠0)

ƒ f₂(z) ^{0 è alsona z_o polo di ordino 1 per ℱ e} Res(ƒ, z_o) = ^ƒ1(z_o) f₂'(z_o)

g(z) = ¹{1-cosz)

Res) (fi, 2kπ) = ? , k ∈ Z

Calcolo dei residui

z_2&piarh;z_{xlim = (z-2kπ)²)| z→2kπ (1-cosz)1!&piarh;} = lim z (z - 2kπ) [1-cosz∑l in (z-2kπ] (z→2kπ)^((-cosz)2)(z-2kπ)³)= lim (z→2kπ)(2-2cosz - Z lim - 2kπ - 2+nkπn) (+ 2kπ - 2kπn) = M(z±2kπ). *Nlim_z→2kπsin z - 2cosz + 2kπ cos z² lim_z→2kπz sin z - 2kπ sin z(3(z-2kπ)²)6(z-2kπ)lim_z→2kπΔπz/6 = 0

Esempio

g(z) = 1/(z³ - 1)

z³ - 1 = 0

z₀ = 1, z₁ = -1/2 + √3/2 i, z₂ = -1/2 - √3/2 i

z₀, z₁, z₂ poli di ordine 1

f₂'(z) = 3z²

Res (g, z₀) = f₁(z₀) / f₁'(z₀) = 1/3

Res (f₁; z₁) = 1 / (3(-1/2-√3/2 i)) = 1 / (-1/2 - √3/2 i)= 1/6 * (-√3 i)

Res (f₁; z₂) = -1 / (3(1/4 - 3/4^√3 i))= 1 / (3(-1/2 + √3/2 i))= 1/6 * -√3/6 * i

Teorema

g: A → H olocrafa z₀ e φ sing. isolper g

f(z)=Σ_n=0 C_m (z-z₀)^m per R 0 0tale che B_n = 0 z₀ eliminabile C_m = 0; ∀ m z₀ polo di ordine m₀ C_m0 f(z) = ¹⁄_{z - α}

Se z₀ ≠ α :

f(z) = ¹⁄_{z - z0 + z0 - α}| ^{z - z₀}⁄_{z0 - α} | < 1 <=> | z - z₀ | < | z₀ -α |

f(z) = ¹⁄_{z0 - α} (1 + ^{z - z₀}⁄_{z0 - α}) = f(z) = ¹⁄_{(z0 - α) (1 - ^{z - z0}⁄α - z0)} = >¹⁄_{z0 - α} ∑_n=0^∞ [ ^{z - z₀}⁄_{α - z0}]ⁿ = ¹⁄_{z0 - α} ∑_n=0^∞, [ ¹⁄_{z - z0}]

if | z - z₀ | > | z₀ - α | => | ^{z₀ - α}⁄_{z - z0} | < 1

f(z) = ¹⁄_{z - α} = ¹⁄_{(z - α)(1 + ^{z0 - α}⁄z -z0)}

f(z) = ¹⁄_{(z- α)} [ ^{z - α}⁄_{z - z0}] = ^α ∑ _n=0^∞ [ ^α⁄_{z0 - z - α}]ⁿ

Esercizi a casa

f(z) = ¹⁄_{z - 2}

z₀ = 2 , z₀ = 3 , z₀ = - i

Trasformate e definizioni

∫ I⊆ℝ → ℝ

L[f](s) s ∈ ℂ

DEF f ∈ L trasformabile se ∃ s ∈ ℂ t.c. t → e^-stf(t) è sommabile

∫_0→+∞e^-st|f(t)| dt < +∞

Se f è L trasformabile allora L[f](s) = ∫_0→+∞e^-stf(t) dt ∈ ℂ

Osservazione

∃s₀ ∈ ℂ t.c. ∫_0→+∞e^-s₀tf(t)dt converge, allora ∀s ∈ ℂ t.c. Res ≻ Res₀, accade che ∫_0→+∞e^-stf(t)dt converge

| ∫_0→+∞e^-stf(t) | = | ∫_0→+∞e^-st₀|f(t)| |= e^-(Res₀)t|f(t)| ≤ e^(Res₀)t|f(t)|

∫_0→+∞e^-s₀tf(t)s = Res + iIms-Res ≤ -Res₀

Definizione di asse di convergenza

A = {σ[f], +∞[ x ℝσ[f] = inf{ Res : ∫ f(t)^-st è sommabile }

Trasformata Monolato

Hp = { 1 t ≥ 0

0 t La funzione di Heaviside₀

L(H)(s) = ∫^+∞ e^-st H(t)dt = ∫₀^+∞ e^-st dt = lim_M→+∞ ∫₀^M e^-st dt == lim_M→+∞ -¹/_s e^-st_{|ₜ = 0}^{|ₜ = M} = lim_M→+∞ -¹/_s [e^-sM_{↓₀-^{e0 f}}

Limitazioni

F è limitata

^lim_{Res→ ∞} F(s) = 0

Teorema dei residui

A aperto, connesso < C, ƒ : A → ƒ olomorfa

γ curva chiusa, semplice, regolare a tratti, Img ⊂ A

z₁, ... , z_k singolarità isolata per ƒ in D

ϱ {berp da ∫_ϱ}>{berp 2πi} ∑_j=1 Res (ƒ, z_j)

Esercizio

∫ _γ or (z = θ) -4 < x < 1, |y| < 2

ƒ (z) = z + 1

nπ2n, m ≠ 0

z = kπ, K ∈ Z

z + 1mπ2z + ipi

∫ ƒ(z) dz = 2πi [ Res (ƒ, 0) + Res (ƒ, -π) ]

lim z [z+1] = 1 ≠ 0

z → 0 nπ2→ z₀ = 0 polo di ordine 1 ⇒ Res (ƒ, 0) = 1

limz + 1z → -πcos2zz + i + z + πlimz → -ππγz₀ = -π // di 1 ⇒ Res (ƒ, π) = π − 1

Teorema

L[f(t)](s) ⇒ F è olomorfa

L[tg(t)](s) ⇒ derivata della trasformata

F(s) = L^'[f(t)](s) = ∫₀^+∞ e^-st (-t) g(t) dt

∫₀^+∞ e^-st f(t)dt = -∫₀^+∞ e^-st (-t) g(t) dt

Proprietà della trasformata

L[f(ct)](s) = 1/c L[f(t)](s/c)∀ c > 0

∫₀^+∞ e^-st f(ct)dt = 1/c ∫₀^+∞ e^{-s⁄c τ} f(τ) dτ

τ = ctdt = 1/c dτ

Esempio

f(t) = sin(wt)

L[sin(wt)](s) = 1/w 1/(s²/w² + 1) = w/(s² + w²)

L[f(t-t₀)](s) = e^-t₀s L[f(t)](s)

Esempio

L[n(t-π)](s) = e^-πs 1/(s² + 1)

L[e^atf(t)](s) = L[f(t)](s-a)

Esempio

L[e^qt sin(ωt)](s) = (s-a)]⁄(s-a)² + w²

Proposizione

f(t + T) = f(t)

L{f}(s) = ₀^T∫e^-stf(t)dt

Onda quadra

T = 2

L{f} (s) = 11-e-2s01∫e-stdt = 11-e-2s[-1s][e-s]01 == -11-e-2s[1s][e-s-1] = 1s11-e-2s2(1-e-s) = 1s(1+e-s)

La trasformata della derivata

Teorem

f derivabile f'f, f' → L – trasformabile

F = Lf

L{f'}(s) = sL{f} (s) – f(0) = sF(s) – f(0)

L{f''}(s) = sL{f'}(s) – sf(0)= sL{sLf²}(s) – f(0)] – f'(0) == s²L{f}(s) – sf(0) – f'(0)

Equazione differenziale

Y(s) = L{ψ(t)}(s) ∩(p) y'' + y = 0

y(0) = 0

y'(0) = 1

(p) L{y'' + y}(s) = L{0}

L{y''}(s) + y(s) = 0

s²Y(s) – sy(0) – y'(0) + Y(s) = 0

y(t) = ...