Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (con esempio)

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Sia f: D→ℝ, f ∈ C¹(A). Sia ∂D:= {g(x,y) = 0}, con g ∈ C¹(A) con A⊂D e ∇g ≠ 0 sul ∂D. Sia P₀ un estremo locale vincolato per f. Allora: ∃λ∈ℝ : ∇f(P₀) = λ ∇g(P₀) [≠sono nulli⟩.

Osservazione:

Se qui fosse vero Fermat non ci sarebbe nulla da dimostrare poiché Fermat afferma che ∇f(P₀) = 0. Deduciamo quindi che Fermat non vale per gli estremi vincolati. λ è detto moltiplicatore di Lagrange (è un'incognita).

Dimostrazione:

1. Valg ie l.t. Dini in I_g(P₀) [⇒∂D è una curva δ(t)=(x(t), y(t)) t∈(a,b)] f(P) ≠ f(σ) in I_g(P₀) [quindi analizziamo il caso di minimo locale vincolato]

NB il δ di queste due asserzioni potrebbe essere diverso. Sia t : δ(t)=P₀, t₀ un tempo in cui la parametrizzazione vale P₀. Definiamo h(t) = f(x(t), y(t)). Sappiamo dalle ipotesi che h(t)₀ ha un minimo locale per t = t₀.

Dunque: g(t) = f(x(t), y(t)) ≥ f(x(λ(t), y(t))) - h(t₀) ovvero θ(b) ≥ h(t₀). Definiamo s(t)= g(x(t), y(t)) = 0 [≠ 0 poiché siamo nel bordo]. Allora θ'(b) = 0 e θ''(t₀) = 0 per il t. di Fermat.

Calcoliamo: s'(b)=g_x(x(t₀), y(t₀)) ⋅ x'(b) + g_y(x(t₀), y(t₀)) ⋅ y'(b) = 0 ≠ steppe ⊖.

h''(t)=f_x(x(t₀), y(t₀)) ⋅ x'(b) + f_y(x(t₀), y(t₀)) ⋅ y'(b) = 0 ≠ zero solo in P₀. ∇g(P₀) ⟂ δ'(t₀) allora ∇g(P₀) || ∇f(P₀). ∇f(P₀) ⟂ y'(t₀)(₀) = λ (₀).

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (ripetizione)

Sia f: D→ℝ, f ∈ C¹(A). Sia ∂D: {g(x,y) = 0}, con g ∈ C¹(A) con A ⊃ D e ∇g ≠ 0 su ∂D. Sia p₀ un estremo locale vincolato per f. Allora: ∃ λ ∈ ℝ : ∇f(p₀) = λ ∇g(p₀) (≠ sono nulli).

Osservazione:

Se qui fosse vero Fermat non ci sarebbe nulla da dimostrare poiché Fermat afferma che ∇f(p₀) = 0. Deduciamo quindi che Fermat non vale per gli estremi vincolati. λ è detto moltiplicatore di Lagrange (è un'incognita).

Dimostrazione:

1. Vale il t.dini in I_f(p₀) [⇒ ∂D è una curva δ(t), (x(t), y(t)) t∈(α, )]. f(P) ≠ f(o) in I_f(p₀) [Quindi analizziamo il caso di minimo locale vincolato]

NB: il δ di queste due assunzioni potrebbe essere diverso. Sia t : δ(t) = p_o t_o = un tempo in cui la parametrizzazione vale p_o. Definiamo h(t) = f(x(t, y(t))). Sappiamo dalle ipotesi che h(t) ha un minimo locale per t = t_o.

Dunque: δ(t) = f(x(t, y(t)) ≥ f(x(t_o, y(t_o)) = h(t_o). Definiamo s(t) = g(x(t), y(t)) = 0 [∅ poiché siamo sul bordo]. Allora s'(t_o) = 0 h'(t_o) = 0 per il t. di Fermat.

Calcoliamo: s'(t_o) = _x(x(t_o), y(t_o)) ⋅ x'(t_o) + _y(x(t_o), y(t_o)) ⋅ y'(t_o) = 0 steppe ∅. h'(t_o) = _x(x(t_o), y(t_o)) ⋅ x'(t_o) + _y(x(t_o), y(t_o)) ⋅ y'(t_o) = 0 zero solo in p_o.

▧ ∇g(p_o) ⊥ δ'(t_o). ∇f(p_o) ⊥ δ'(t_o) ∇g(p_o) ∥ ∇f(p_o). Allora dire che sono paralleli significa dire che sono multipli: ∇g(p_o) = λ ∇f(p_o). Un gradiente ortogonale significa che il loro prodotto scalare è pari a 0.