Teorema della media integrale con esempio

Teorema della media integrale

Sia f una funz. continua in [a, b]. Allora ∃ c ∈ [a, b] t.c.

∫_a^b f(x) dx = f(c) (b-a)

Il valore f(c) = ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx

Si dice media integrale di f in [a, b]

Significato geometrico

Scegliamo f(x)>0

DIM.

• Poiché f è una funz. continua poss. applicare il teorema di Weierstrass e dì, in un intervallo chiuso e limitato

m ≤ f(x) ≤ M,         ∀ x ∈ [a, b]

• Per la proprietà di monotonìa dell'integrale definito rispetta

Risulta che

∫_a^b m dx ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b M dx

OSS.

∫_a^b K dx = K

= K(b-a)

L'oss. precedente ci da:

m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a)

m ≤ ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx ≤ M

• Per il teorema di valori intermedi, la f.m.i. assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

∃ c ∈ [a, b] t.c. f(c) = ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx = ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx = f(c)(b-a)

Teorema della media integrale

Sia f una funzione continua in [a,b]. Allora ∃ c ∈ [a,b] t.c.

∫_a^b f(x) dx = f(c)(b-a)

Il valore f(c) = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx si dice media integrale di f in [a,b]

Significato geometrico

Scegliamo f(x) > 0

Dim.

• Poiché f è una funzione continua, poss. applicare il teorema di Weierstrass e def. in un intervallo chiuso e limitato.

m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a,b]

Per le proprietà di monotonia dell'integrale definito rispetto... Risulta che

∫_a^b m dx ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b M dx

Osservazione.

∫_a^b K dx = K

= K(b-a)

L'espressione precedente ci dà:

m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a)

m ≤ (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx ≤ M

• Per il teorema dei valori intermedi, la f.m.i. assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

∃ c ∈ [a,b] t.c. f(c) = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx = f(c)(b-a)