Meccanica razionale - il tensore di Ricci

Prodotto di Kronecker

Il prodotto di Kronecker E_ijk è definito come segue:

• ⁰ se j = i
• ₁ se j = k

Valutazione numerica

(a ∧ b)_i = [E_ijk a_j b_k] e_i v₁ = [E_ijk e_i a₂ b₃ - a₃ b₂]

- v₂ = (a ∧ b)₂

Proprietà

1. E_ijk = E_jik = -E_kji
2. E_ijk = E_jki = E_kij

(a ∧ b) ∧ c

{a ∧ b} ∧ c = E_ijk(a_j b_k e_i) ∧ c = E_ijk c_l e_l - a_k b_j = (a ∧ b) ∧ c

{a ∧ b} ∧ c = {b ∧ c} ∧ a = E_ijk g_a c_l = (a ∧ b) ∧ c = (b ∧ a) ∧ c

Simbolo di Levi-Civita

_jkl = 0_jkl = 1, zero di unità pari a una permutazione pari degli indici -1, zero di unità pari a una permutazione dispari

_ij = _ki

^{e e x}a = b ^e = x

Produto vettoriale

a x b = | _ijk a_b e_iv₁ = (a₂b₃ – a₃b₂) = v₁ = (av₂ = (a₃b₁ – a₁b₃) = v₂ = (av₃ = (a₁b₂ – a₂b₁) = v₃ = a

Proprietà

1. _ijk = _ijk
2. _ijk = -_ijk = _ijk
3. _ijk = 0

(a. b) = (c. a) - (b c). a

(c. a) b{(a x b) = _ijk a_b = a bb x a = _ijk a_c = c bε ∈ a c bε_ijk G_ak = δ_ijΣ_εiEfspε_kpqε_kpq

Doppio prodotto vettoriale

(a∧b)∧c = (a·c)b - (b·c)aεijk ε_a∧bg e_c = ε_i= -[(a₂c₂)b₁ - (a₁c₂)a_i]

Esercizi

1. M_μν ∀ NV_i = Δ_iμV_μ
   • Non esiste V
   • Dato n_k t_kW = 24, J = a - ka·nಠW:v{[(a-a²+2a)(2j-a) - j(a-a²) + [a-a²](2j-ja+2j tant) = (b2)i if [3(a-0.5j) = b] ∃ j s.t. [a - (a² - a)0.5] ∃ ua = 0 h = 3j h = piccolo aj
2. μ = i - 3j - 2k ν = i - 3k
   • Determinare un vettore x tale che valga la seguente relazione: x = (x ∧ μ) = vμ ∧ x = [ν + (x ∧ μ) ∧ x = μ ∧ ν = μ ∧ (μ ∧ x) = μ ∧ ν = μ ∧ (μ ∧ μ) ∧ x - (x ∧ μ) ∧ x = - μ ∧ (μ ∧ μ)(x ∧ μ)x = (x ∧ μ)∧ (x ∧ μ)x(x ∧ μ) = (x ∧ μ)x = K ∧ μ = (μ ∧ μ)x = - (μ ∧ ν) ∧ μ - μ ∧ (μ ∧ ν) - μ ∧ (μ ∧ ν)la = ditruzione x = μ²x - (μ ∧ ν) ∧ μ ∧ ν = νx = (ν(μ ∧ ν) + (μ ∧ ν))μ²xμt + v = 4j u = 11i - 3j = 8i + 4k (u ∧ v) u = - 9i = 9j + 6k x = ⁴/₁₅ (M_i = 83 + 40K)

3. Sa un sistema di vettori epicoici costituito da i vari vettori Pi = S i = 1, 2, 3Va 3i + i - k specifica la P_i = (a, 1, 0) V₀ = i - μ P_j = (i, 0, a, 2) ν₃ = 2S ind P_k = [a², -4, -2]

   Determinare il parametro a in modo che S sia equivalente ad un unico vettore R⁽ⁱ⁾ (prefissea costituito da un unico vettore) R⁽ⁱ⁾ = ¬R⁽ⁱ⁾ = |M₀ - ¬| = M₀ = ┬± ^R_iM₀ = M_i = (P_{- i} ⊖ Rⁱ) ∧ = (P_{- i} ⊖ Rⁱ)= M₀ = ¬ Rⁱ ┬M^(II) = R^(II) = 0