Momento assiale e sistema vettori applicati, Meccanica razionale

Il tensore di Ricci o permutatore

Il tensore è un ente che generalizza il concetto di vettore. Un vettore è un tensore ad un solo indice. Il tensore di Ricci, o permutatore, è uno strumento utile per il calcolo del prodotto vettoriale ed è un tensore a tre indici.

Esso è definito con:

• E_ijk = 1 se permutazione pari
• -1 se dispari
• 0 se due indici coincidono (in questo caso non è una biezione perché la funzione non è biunivoca)

Quando dico permutazione di {1, 2, 3} intendo la biezione di {1, 2, 3} in sé. La permutazione degli indici occorre secondo questo schema:

1. 3
2. 1
3. 2
4. 3
5. 1
6. 2
7. 3
8. 1
9. …

Esempio

Voglio permutare (1, 2, 3) in (2, 1, 3):

(1, 2, 3)¹²³ → (2, 1, 3)

Devo scambiare 1 con 2:

1 → 2

2 → 1

3 → 3

Essere uno scambio di indici, perciò la permutazione è dispari

E₁₂₃ = E₂₁₃ = -1

Esempio

Voglio permutare (1, 2, 3) in (3, 1, 2):

(1, 2, 3)¹²³ → (3, 2, 1)²³¹ → (3, 1, 2)³¹² → 2 scambi → permutazione pari

Esercizio

• E₂₁₃ = -1 è stata scambiato 2 con 1
• E₃₁₂ = -1 scambio: 2 → 3 → 3 → 2 (4) → 3-1-2
• E₁₂₃ = 0

Si può affermare che ad ogni scambio di indici E (simbolo di Ricci) cambia segno:

E_ijr = -E_jis = E_jis

L'ordine di permutazione parte dalla fine: i j h → i j h h i j → h i j h j i → j h j o h → l i j h

Tensore di Ricci o permutatore

Il tensore è un ente che generalizza il concetto di vettore. Un vettore è un tensore ad un solo indice. Il tensore di Ricci, o permutatore, è uno strumento utile per il calcolo del prodotto vettoriale ed è un tensore a tre indici.

Esso è definito con:

• ε_ijk = 1 se permutazione pari
• -1 se permutazione dispari
• 0 se due indici coincidono (in questo caso non è una biettiva perché la funzione non è iniettiva)

Quando dico permutazione di {1,2,3} intendo la biezione di {1,2,3} in sé. La permutazione degli indici occorre secondo questo schema:

1. 3→1→2→3→1→2→3→1→…

Esempio

Voglio permutare (1,2,3) in (2,1,3):

(1,2,3) ^P→ (2,1,3)

Devo scambiare 1 con 2:

1→2

2→1

3→3

ε_ijk = ²³¹ε₃₂₁ = -1 (perché un scambio di indici, perciò la permutazione è dispari)

Esempio

Voglio permutare (1,2,3) in (3,1,2):

(1,2,3) ^1→3→ (3,2,1) ^2→3→ (3,1,2) → 2 scambi → permutazione pari

Esercizio

• ε₂₁₃ = 1
• ε₃₁₂ = -1
• ε₁₂₃ = 0

Si può affermare che ad ogni scambio di indici ε (simbolo di Ricci) cambia segno:

ε_ijk = -ε_ikj = -ε_jik

L'ordine di permutazione parte dalla freccia: i→j→hi ε_jkh i j hh i j h→i j h

Tensore e prodotto esterno

Sono U e V due vettori di ℝ³:

U = (U₁, U₂, U₃), V = (V₁, V₂, V₃)

Il prodotto vettoriale tra U e V (U ∧ V) si può esprimere in modo compatto con il tensore di Ricci ε^iSR_iSR(U ∧ V)^R̲ = ε^iSRU_iV_j

Osservando che

ε^iSR = -ε^iRS (scambio) ε^AίS = (-ε^ίSA)

Da cui ε^iSR - ε^iRS = ε_illegible

Dunque (U ∧ V)ⁱ = ε^iSRU_VV_R = ε_iSV_jU_fR

La componente: (U ∧ V)¹ = ε¹²³U₂U₃ + ε^illegibleU₃U₂

Facendo con il determinante: det(u₂u₃ū - U₃ũ₂- U₂ũ₃) = E₁(U₁U₃ - U₃ũ₁) + E₂(U₁U₃ - U₁ũ₂ - U₂ũ₁)

Perché a me interessa la seconda componente (U ∧ V)² = -u₃û₃ - u₃û₂

Facendo il det(u₂₂, E₂, E₃) per la 2^a componente ottengo - (u₃û₃ - u₃&ucie;(U ∧ V)³ = ε^illegibleU₄₁

Il valore Medio ³ La seconda componente

Prodotto misto fra 3 vettori

Prendendo tre vettori r̅,s̅,w̅ di ^R3 il prodotto misto è un'operazione tra vettori; in particolare è il prodotto interno tra r̅^s̅ (ottenuto con prodotto esterno) e w̅.

Prodotto misto:

(r̅^s̅)•w̅ _{si esprime solo in forma di linguaggio}

Dato che r̅^s̅ coincide coll'area racchiusa del poligono di lati |r| e |s| il prodotto misto coincide col volume del parallelepipedo prodotto dai tre vettori applicati r̅,s̅,w̅ in uno stesso punto. Se questi formano una terna orogona (ortone entrambe le indipendenti rispettate tal proprietà)

(r̅^s̅)•w̅ = |e₁,e₂,e₃||u₁,u₂,u₃||r2,r2,r3||r3,r3,r3|(_{u₁Ɛᵢ₆₁+u₂Ɛ₂+u₃Ɛ₃}) = (u₁Ɛᵢ+u₂Ɛ₂+u₃Ɛ₃)

(r̅^s̅)•w̅ = |v₂,v₃||v₂,v₃|((v₂ϵ₁/v₃) ⊃')(r₂/v₂)(r₃/v₂)(_{u₃ - u₃})ζ₂.r₀z₂(U₂/U₃)(₂ - u₃)e₃( = 0 = 1)(_{w₁=v₂,u₃=v₂,u₃)^*}

perciò M_P=M_Q

Ora se si riesce ad assemblare una retta l'v &ldquo di seguire una retta, la parallela di un svp^{v che passa dal polo, ciascuna cosa il polo la proiezione coincide meno riposo la proiezione sul piano di M₀&nbgroo;momento polos (Q;la retta v) e volta dida il quale precedione COMPONENTE E ↞}

Dunque il momento assiale di un vettore F è la proiezione del momento polare M_0 F su una retta — che pone polarità o ⊃&om; periferia rispetto alla retta ^{su cui giace}

E momento assiale non dipende dal polo ↓ questo viene dato in (QAFP) ΔM₀ = Q(A^∅^∞)•^j