Momento assiale e sistema vettori applicati, Meccanica razionale

Tensore di Ricci e Permutazioni

Il tensore è un ente che generalizza il concetto di vettore. Un vettore è un tensore del 1º ordine, e il tensore di Ricci, o permutatore, è uno strumento utile per il calcolo del prodotto vettoriale ed è un tensore di indici. Esso è definito con:

perm. _1,2,3

pari ≡ dispari

(Su due linee coincide (in questo caso non è una biezione perchè la funzione non è biunivoca)

Quando dico permutare di {1,2,3} riferisco la biezione di {1,2,3} in sé.

Le permutazioni degli indici occorre secondo questo schema.

3 - 1 - 2 - 3 - 1 - 2 - 3 - 1 - ...

Esempio: Voglio permutare (1,2,3) in (2,1,3), (1,2,3)^P(2,1,3)

Devo scambiare 1 con 2.

• 1 → 2
• 2 → 1
• 3 → 3

(serve uno scambio di indici, perciò la permutazione è DISPARI)

_ε1,2,3 = -1

Esempio: Voglio permutare (1,2,3) in (3,1,2)

(1,2,3)^1,3 (3,2,1)^2,1 (3,1,2) -> 2 SCAMBI -> permutazione PARI

Si può affermare che ad ogni scambio di indici ε (simbolo di Ricci) cambia segno:

_ε^i,s,r = -_ε^i,r,s = _ε^a,i,s = _ε^a,i,s.

L'ordine di permutazione porta delle frecce:

i → j

j → k

k → i

i → j

h → i

_j⊗h → _i⊗h

Proprio quando all'applicazione del tensore di Ricci o permutatore, si usa per il prodotto esterno o vettoriale tra due vettori:

TENSORE E PRODOTTO ESTERNO

Siano U e V due vettori di _R³.

U = (U₁, U₂, U₃),    V = (V₁, V₂, V₃)

Il prodotto vettoriale tra U ∧ V si può esprimere in modo compatto con il tensore di Ricci ε^i,j,k.

U ∧ V = ε^i,j,k = U_i V_j

Osservando che:

ε^R,i,s = ^iR ε_R = (scalato)

ε^R,i,s = (–ε^iR)

= ε^iRs

Dunque:

U ∧ V = ε^iR

V₃ = U_i V_j

In componente:

(U ∧ V)ⁱ = εⁱ²³

U₂ V₃ + εⁱ³²

- U₃ V₂ - U₃ V₂

Facendo il determinante:

det (e₁ e₂ e₃)

| U₁ V₁ V₂ U₂ V₃ |

Poiché a me interessa la i^esima componente:

(U ∧ V)ⁱ = ε²¹

U₁ V₃ + ε^3,4 (U₃ V₁)

Facendo il det(e₁, e₂, e₃) per la 2^a componente ottengo:

-(U₁ V₃ - U₃ V₁)

Il generale vale:

(U ∧ V)ⁱ = εⁱ

U₁ V₃ eⁱ

ε^R,i,s = C^ε_R dove ε = coordinata componente R

Momento polare di una coppia

Sia una coppia: \( \vec{Z} = \{ \vec{A}, \vec{T} \} (\vec{B} - \vec{T}) \) vogliamo calcolare il momento della rispetto al polo Q

\( \vec{M}_q = \sum_{i=1}^n \vec{Q}_i \land \vec{F}_i = \vec{QA} \land \vec{T} + \vec{QB} \land (-\vec{T}) \)

\( = (\vec{QA} - \vec{QB}) \land \vec{T} \)

\( = (\vec{QA} + \vec{BQ}) \land \vec{T} \)

\( = (\vec{BQ} + \vec{QA}) \land \vec{T} = \vec{BA} \land \vec{T} \)

Però nel risultato non risulta Q, allora il momento polare di una coppia non dipende dal polo. Questo accade perché la coppia ha risultante nulla, infatti \( \vec{R} = \vec{T} - (\vec{B}) - (\vec{T}) = 0 \)

Prendendo A come polo dove esce \( (\vec{QA}) \) ottengo \( \vec{M}_q = \vec{AB} \land (\vec{T}) = \vec{BA} \land \vec{T} \)

Legge di variazione del momento polare

Vogliamo sapere come varia \( \vec{M}_q \) al variare del polo Q?

Pongo: \( \sum_{i=1}^n (\vec{P}_i \vec{F}_i) \) un s.s.r. si scompone che \( \vec{M}_q = \sum \vec{Q} \vec{F}_i \) Prendiamo un altro polo \( Q \neq Q \) e deduciamo cosa accade.

Per il momento polare vale: \( \vec{M}_q' = \sum \vec{Q'} \land \vec{F}_i \). Facciamo la differenza tra due momenti polari calcolati:

\( \vec{M}_q' - \vec{M}_q = \sum \vec{Q'} \land \vec{F}_i - \sum \vec{Q} \land \vec{F}_i \)

\( = \sum (\vec{Q}'_i - \vec{Q}_i) \land \vec{F}_i \)

\( = \sum (\vec{QQ}_i) \land \vec{F}_i \)

\( = (\vec{P} \land \vec{F}_i) = \sum \vec{P}_i \land \vec{F}_i \)

\( = \sum \vec{P}_i \land \vec{F}_i = \sum (\vec{Q}' - \vec{Q}_i) \land \vec{F}_i \)

\( = \sum (\vec{Q}' \land \vec{F}_i) - \vec{Q}_i \land \vec{F}_i \)

\( = \vec{Q}' \land \vec{Q} - \vec{Q} \land \sum \vec{F}_i \)

dato che \( \vec{Q} = \vec{Q}_d \) e \( \vec{Q} = \vec{R} \) risultante

\( \Rightarrow \vec{M}_q' = \vec{M}_q + \vec{Q}'' \land \sum \vec{F}_i \) ma \( \sum \vec{T}_x = \vec{R} \) risultante

\( \Rightarrow \vec{M}_q' = \vec{M}_q + \vec{Q}_x \land \vec{R} \)

Prendendo come secondo polo il punto P (\( \omega = P \)) ottengo \( \vec{M}_P = \vec{M}_q + \vec{P}Q \land \vec{R} = \vec{M}_P = \vec{M}_q = \) Ciò accade quando \( \vec{R} = \vec{0} \)

Tale formula dice che il momento polare rispetto a un polo Q' è uguale al momento polare fatto rispetto a un altro polo Q aumentato del momento polare che risultante rispetto al primo polo \( \vec{M}_q = \vec{M}_q \). Se tutta la parte fa parallela col R; distruibuisci da exp: Ma è anche detto: infatti \( \pm \vec{Q}^a \land \vec{R} \) rispetto a \( \vec{R} \).