Meccanica razionale - il tensore metrico

Prodotti sotto matrici

Prodotti sotto matrici e_i e_je₁ • e₁ = 1e₂ • e₁ = 0 e₁ • e₂ = eⁱ → lavoro fatto dai una rotia e₂ • e₂ = eⁱe^iθ e₁ • e = (ρ * e^iθ cosφ) → mandiamo... ρ = ... cosφ mandiamo però

Coordinata sferiche

Coordinata sferiche x = ρ sinθ cosφ y = ρ sinθ sinφ z = ρ cosθ cos e₃ φ variabile θ variabile φ cost meridian ds = dρ ∮ P = ds_J ∫_S cos cosρ = (ρ cos cosφ, ...)

Passare motivi della nuova base

Questa sotto matrice era 1-1 e₁ = p = 1 e₂ = i e₃ = eⁱ

Quadre rimai altra e per una matrice

(1 0)(0 eⁱ)

Coordinate sferiche

X = p sin cos y = p sin sin z = p cos (x, y, z) / (p,,) = p² نس ≠ 0 x fissa, variare p ottengo delle rette lungo e quiama il treno variare lungo questa retta. x = نس, y سن, z cos cosa = نس e₁ + سن e₂ + cos e₃

e₁ = e₂ = o e₃ = vera cosی 0 / ∫ 0- p cos cos، cos سن e₁ سن e₁ + نس e₂ minoriamo

(e₃ = p cos cos سن e₁ p سن rail e₁ p سن e₃ ρ = cos β ϑ = α φ = variabile e_ρ e_ϑ e_φ parallele

e_ϑ = (-ρ sen ϑ, ρ cos ϑ, 0) = -ρ sin ϑ e_ϑ + ρ cos ϑ e₂

e_φ = e_φ = Per tensioni mantatici :

• e_ρ = (sen ϑ cos φ, cos ϑ cos φ)
• e_ϑ = (ρ cos ϑ sin φ, ρ sen ϑ sin φ) = -ρ sin ϑ e_ϑ + ρ cos ϑ e₂

Tensore metrico

g_ρρ = g_φφ g_ρφ = g_φρ

1. ρ = cos θ
2. θ = cos ρ

E se faza una ratal₁ = e_φ ρ(χ, ψ, z) -> Per tensioni grazie :

1. g₁
2. g₂

Coordinate cilindriche

Es. variabile θ = φ = cos

Calcolo esplicito per componenti

• _eθ = ∂_p / ∂_θ = (cos θ -x θ₃, 0) = cos θ_e1 + x θ_e2
• _eφ = ∂_p / ∂_φ = (-p sin θ -p cos θ, 0) = -p sin θ_e1 + p cos θ_e2
• _er = ∂_p / ∂_r = (0, 0, 1) = _e3

g_αβ = 0000r²0001

Metrica di hedj

_eα = A_αⁱ _ei A_i^-1 = cos θ x c θ 0 p cos θ p cos θ 0001

V = V^α_α = Vⁱ_ei non è un contronario ...

Bose = E x θ = δR[bαβ = T ( e2rp )α T(ʽeα-β) T’p = (e*rp)-1] = la metrica non è euclidea ma persera non contrariosag (e‘α, eβ) = ϵα 1βg (e’ᵢ, ej) = x 4 ϵα ei xexβg (e ‘e, ep) = g (αeᵢ xe)xᵢβ ( err, pβ )g mp3 = q pα = α xa + p vuole sempre p. dimostra e’pα gαegα er pβl e’α ep e -→ glegp 1 - gα pe l2 => 4y  δβ sp ᵦ  = 0 =gβi xxpgjjxxpβααsp oniuno ᵌ zzzzmuli

Cosi il covariante si trova tra chi

T_α^β' = A_σ^β' T_α^σ T_σ'^α = A^σ'_λ T_λ^α T_σ'^β' = A^σ'_λ A_σ^β' T_λ^σ

Leggi di trafo, altre trasform quelle equivalenti esso epicuso monia hora, el tenore metricco

g^α'_β' = A_σ^β' A_σ^α' g^σλ = A^σ'_α A_β^σ' g_σλ g^σλ = A^σ'_α g^α'_β' A_β^σ' g^αβ = A^α'_β A_α'^β g^σλ = g_σλ g_κλ^σ' = A_κ^α' A^λ'_β

Come evolvendo dia manera qui

Aⁱ_j = ∂xⁱ / ∂x^j l_i = A_jⁱ e_j l_i = ∂xⁱ e_i (ds)² = dx^λ dx^σ g_αβ dx⋅dx = dlⁱ dl^j e_λβ g_σ'^′ = g_σ^α' g_σ'^' [ex] (x', x'', x''') → (x', x'', x''') => sostanzieremo si perfetto cambiam bresl_i = dp / dx = ∂x^' / ∂x^' l_j p = o . x^° x^'

Tenso e_αβ^γ' = A_i^γ' A*_j' g_σ^j' g_σ = ∂_x / ∂_y g_σ = ∂_x / ∂_y A_j'^γ' g^j'_j'

1. _i = A_i^k a_k
2. P_i = A¹ a_l¹
3. a_l^x = g^ik x_ik = A_l^k b_k^-1

Le coordinate di partiera (^x, x³) (cartesio) (x¹, x²) (p, o) x¹ = p sen θ: x² cos (x¹) x¹ = p seno ø = x² = x^-1 seno ((x^-1))

Trafo. inrice = ρ = √(x² + y²) = √((¹) + (b