Telecomunicazioni - Quaderno appunti definitivo 2016/2017

Quantizzazione

Affinché una grandezza (fisica) sia trasmissibile e codificabile con un numero finito di bit (ovvero in forma numerica) è necessario che essa possa assumere solo un numero finito di valori di codominio discreti. Ciò avviene attraverso un processo detto quantizzazione.

X_ints(nTs) X_q(nTs) X_q(nTs) = Q(X_ints)

agisce in modo istantaneo, per sùl segnale

prende i valori del range e

e li mappa nello stesso valore costante Q_i

→ questa è la quantizzazione

→ è distorcente, introduce rumore

Tutti i valori dell'asse reale sono mappati nel set di valori

Chiaramente conviene che V_j ≤ Q_j ≤ V_j+1

V_qk ≤ Q_ik ≤ V_qk+2

ecc...

L = # livelli che conviene prendere pari ad una potenza di 2

L = 2^b := numero di livelli

b = log₂L := num. di bit che uso nel quantizzatore

QUANTIZZATORE (NORMALE)

000

001

010

011

100

111

SATURAZIONE

RAPPRESENTAZIONE BINARIA (BITMAP)

V₀ = -∞

V₁

V₂

V₃

V₄

V₅

V₆ = +∞

SATURAZIONE

SCHEMA A BLOCCHI COMPLESSIVO (a lato della sorgente)

• X(t)
• X_a(nT_s)
• Q
• BITMAP

segnale analogico

INVERTIBILE

NON INVERTIBILE

INVERTIBILE

• uscita b_n
• rappresentazione dei livelli con una terna di bit

escono solo valori presi tra 8 (nel caso sopra) possibili

non perfetta per colpa del quantizzatore

Cosa comporta la quantizzazione?

Alcuni valori d'ingresso danno lo stesso valore d'uscita. Possibili casi di saturazione

un modo di rappresentare il tutto è questo:

a(nT_s) → Q → a_q(nT_s)

→ a(nT_s) →+

e_q(nT_s)

errore di quantizzazione

a(nT_s) = a_q(nT_s) - e_q(nT_s)

Errore di quantizzazione nel quantizzatore uniforme mid-rise

[Vedi schema di rappresentazione di e_q]

• P_sm = 0
• I_eq = ^Δ/₂ | suppongo di essere in queste condizioni:

Suppongo che:

1. e_q è una variabile aleatoria
2. e_q incorrelata con a
3. I campioni di e_q sono incorrelati tra loro (rumore bianco). Cioè:

E{ a(nT_s) e_q(nT_s) } = 0 (2)

E{ e_q(nT_s) } = 0 - valore medio 0

E{ e_q(nT_s) e_q(mT_s) } = 0 (3) se n ≠ m

Non così distanti dalla realtà: basta cambiare di poco A ed e_q cambia di molto

4. e_q ha distribuzione uniforme in [^Δ/₂, Δ/2]

P_eq(x)

¹/_Δ

x

in realtà è un processo: stocastico a tempo discreto il valore per uno specifico tempo è una v.a

P_eq = ¹/_Δ rect^{( X )}/_Δ

voglio ora capire se è più forte il mio segnale A o il mio rumore e_q.

Se a(nT_s) è una v.a. a media nulla ed e_q(nT_s) anche, confrontiamo le loro potenze statistiche M_a e M_eq (siccome sono due v.a. a media nulla la potenza = varianza). M_a = σ_a² caratteristica del segnale

Notare come se invece di 2 prendessi un'altra base del logaritmo avrei avuto il valore di quantificazione dell'informazione scalato di una certa grandezza.

Quindi se voglio misurare l'informazione usando un'altra base dei logaritmi, ho una misura identica cambiando unità di misura con fattore di scambio ₁/^log₂b. Se mai capitasse di leggere l'informazione misurata in NAT invece che in bit vuol dire che è stata usata come base il numero e.

Normalmente associamo il bit al valore di una variabile binaria. Supponiamo di avere:

A := variabile binaria equiprobabile con A = {1, 2} P(a) = P(b) = ₁/²

i(A = 1) = log₂ (₁/^P(a)) = 1 bit = i(a = 2)

Esempio.

P(coppe) = P(bastoni) = ... = ₁/⁴ -> i(coppe) = 2 bit Ma proprio con 2 bit posso descrivere tutti i semi: 00 coppe                                                     01 bastoni                                                     10 spade                                                     11 denari

Può sorgere il dubbio: bit come unità di misura dell'informazione? oppure bit come simbolo binario?

• i_Y(a,b) = i_X(a) => se sono == le probabilità sono uguali anche le informazioni)

E [i_A(a,b)] = E [i_X(a)] => anche i valori attesi

H (X,Y) = H (X)

• Se Y non è f (X) con prob. 1 significa che ∀ a,b con a ∈ A_X e b ∈ A_Y

0 ≤ P_Y(a,b) ≤ P_X(a)

∃ caso dove le disuguaglianze sono strette. In questi casi:

• i_Y(a,b) > i_X(a) perché i è funzione decrescente della probabilità

In tutti gli altri casi:

• i_Y(a,b) ≥ i_X(a) e quindi passo alle entropie

→ H (X,Y) > H (X)

SENSO FISICO:

Se ogni volta che conosco X conosco automaticamente Y => conoscere la X mi dà la stessa informazione (mediamente) di conoscere (X,Y)

Osservazione: X e Y si possono scambiare nel Teorema

SORGENTE

Caratterizzata da

Tasso di simbolo Fs = ¹/_Ts

può essere intesa come

• la frequenza con cui la mia sorgente emette simboli digitali; (perché è una sorgente digitale)
• la sorgente è analogica, ma io la campiono con T=Ts e questa mi genera un campione ogni Ts=Ts.

Se, la sorgente emettesse simboli indipendenti ed equiprobabili allora potrei dire che la sorgente emette un FLUSSO DI INFORMAZIONE [bit/s]

R_o = F_s · log₂(M) NOMINALE

ma dato che generalmente H_s(x) = log₂(M)

R_x = F_s · H_s(x) REALE

EFFICIENZA (DI UNA SORGENTE)

m_x = ^H_s(x)/_log2(M) valore vero/massimo valorediviso

RIDONDANZA (DI UNA SORGENTE)

È data da 1 - m_x

In tutti i protocolli di comunicazione è necessario scambiarsi info di controllo.

Il controllo è ridondanza, una cosa in più nel senso che non è il messaggio.

È una cosa in più nel senso che meno ne ho e meglio sto usando il mio