Tecniche attuariali - Appunti

N)∗

(N) ( .

P

➢ ≥P

t t

Premio unico: il valore attuale attuariale delle prestazioni (caso vita)

• dovute nell’intervallo è dato da:

, t+ 1)

(t

v ∗ ∗ ∗ ∗

C ⋅p ⋅p ⋅p ⋅...⋅p

~ t x x+1 x+2 x+t

∗ (a) +1 : se calcolato con base tecnica

E V t , t+1))=

◦ ( (

0 t

∗ +1

(1+i )

del secondo ordine.

v

C ⋅p ⋅p ⋅p ⋅...⋅p

~ t+1 x x+1 x x

(a) +2 +t .

E( V ,t

◦ (t +1))=

0 t +1

(1+i)

Se sono rispettate le due condizioni di prudenzialità, vale:

~ ~

(a) ∗ (a) ; quindi il premio unico calcolato con

U

E( V ,t V ,t

➢ (t +1))≥E ( (t +1))

0 0

la base tecnica del primo ordine è maggiore o uguale al premio unico

∗ calcolato con la base tecnica del secondo ordine (quella ritenuta

U ∗

realistica). Quindi .

U≥U

Nel seguito mostreremo che nel caso di premio unico, la condizione intuitiva

sulla base tecnica del primo ordine è tale da garantire un utile atteso non

negativo. Però prima introduciamo proprio il concetto di utile.

4.4: UTILE.

Consideriamo una generica polizza al tempo (supponendo che l’assicurato

t

sia in vita). L’assicuratore costituisce la riserva , alla quale si somma il

V

t x

+

premio . Pertanto, la riserva di bilancio sarà .

P V V P

= +

t x t x t

t ∗

Tale riserva sarà investita ad un tasso di interesse (effettivo) , così che al

i

+ ∗

tempo si realizzi un attivo . Al tempo l’assicuratore dovrà:

t+1 t+1

V (1+i )

t x

v

Pagare , e ricostituire la riserva se l’assicurato è in vita.

V

C

• t t x

+1 +1

m

Pagare se l’assicurato è deceduto.

C

• t +1

In questo caso, l’utile (guadagno) dell’assicuratore al tempo sarà dato da:

t+1

v m

+ ∗ ; con = funzione

1

u V V

➢ = (1+i )−C ⋅1 −C ⋅1 − ⋅1

t t x t+ 1 t t x

+1 +1 +1

∗ ∗ ∗ {...}

{T >1} {T ≤1} {T >1}

x+t x+ t x+ t

indicatrice dell’evento considerato, che vale 1 se si verifica l’evento tra

parentesi e 0 altrimenti.

L’utile al tempo è ovviamente una variabile aleatoria, dato che al tempo t,

t+1

l’assicuratore non sa se l’assicurato sarà ancora in vita tra un anno.

Teniamo a mente questa equazione, e procediamo richiamando l’equazione di

Kanner: m v

+ .

V i)= V

➢ (1+ ⋅p +C ⋅q +C ⋅p

t x t x x+t t x+t t x+t

+1 +1 +1

Se portiamo tutto a secondo membro otteniamo:

v m

+ .

0= V V

➢ (1+i)−C ⋅p −C ⋅q − ⋅p

t x t x+ t t x+t t x x+t

+1 +1 +1

A questo punto riscriviamo l’equazione di Kanner così modificata, affiancandola

a quella dell’utile ottenuta poco sopra (si può facilmente notare la grande

somiglianza): v m

+ ∗

u V V

➢ = (1+i )−C ⋅1 −C ⋅1 − ⋅1

t t x t+ 1 t t x

+1 +1 +1

∗ ∗ ∗

{T >1} {T ≤1} {T >1}

x+t x+ t x+ t

v m

+ .

0= V V

(1+i)−C ⋅p −C ⋅q − ⋅p

t x t x+ t t x+t t x x+t

+1 +1 +1

Ora le sottraiamo. Così facendo otteniamo:

v m

+ ∗ .

u V p V p

➢ = (i −i)−C ⋅(1 − )−C ⋅(1 −q )− ⋅(1 − )

t t x t x+t t x+t t x x+t

+1 +1 +1 +1

∗ ∗ ∗

1}

{T > {T ≤1} {T >1}

x+ t x+ t x+t

Ma vale , da cui si ottiene:

1 +1 =1

∗ ∗

{T >1} {T ≤1}

x+t x+ t .

1 p 1− p

− =−1 + =−1 +q

➢ x+t x+t x+ t

∗ ∗ ∗

{T >1} {T ≤1} {T ≤1}

x+t x+ t x+ t

Andiamo a sostituire questa uguaglianza all’interno dell’equazione differenza

appena ottenuta, e dopo alcune semplici manipolazioni algebriche otteniamo la

cosiddetta formula di contribuzione di Homans:

m v f m

+ ∗

u V V u

➢ = (i −i)+(C −C − )(−1 +q )=u +

t t x t t t x x+t t t

+1 +1 +1 +1 +1 +1

∗

{T ≤1}

x+ t

f m m v

+ ∗

dove: e .

u V u V

= (i −i) =(C −C − )(q −1 )

t t x t t t t x x+t

+1 +1 +1 +1 +1 ∗

{T ≤1}

x+ t

f m

Vediamo ora nel dettaglio le due quantità e appena ricavate:

u

u t

t +1

+1

f

Utile finanziario : l’utile finanziario è direttamente proporzionale al

u

• t +1

sovrarendimento della riserva rispetto al tasso tecnico del primo ordine (il

∗

sovrarendimento è dato da , e dipende dal risultato di gestione

(i −i)

della riserva. L’utile finanziario è determinato al tempo , una volta

t

costituita la riserva e incassato il premio, se l’assicurato è ancora in vita.

m

Utile tecnico (o utile da mortalità o demografico) : l’utile

u

• t +1

tecnico è direttamente proporzionale alla sovramortalità che si

verificherà rispetto a quella prevista dalla base tecnica del primo ordine.

∗

Ovviamente è una quantità aleatoria: sia la probabilità di morte

q x+t

“realistica” e supponiamo che l’assicuratore sia in vita al tempo .

t

Calcoliamo quindi il valore atteso dell’utile demografico al tempo t+1:

m m v ∗

; ma vale ,

E(u V E E(1

➢ )=−(C −C − )( (1 )+q ) )=q

t+1 t t t x x x+ t

+1 +1 +1 +t

∗ ∗

{T ≤1 } {T ≤1}

x+t x+ t

per cui se effettuiamo la sostituzione, e manipoliamo i segni a

secondo membro, otteniamo il seguente valore atteso:

m m v ∗ .

E(u V

➢ )=(C −C − )(q −q )

t+1 t t t x x+t x+t

+1 +1 +1

Per cui, se vogliamo determinare il valore atteso in t+1 dell’utile, sarà

sufficiente usare la seguente formula:

f m m

; con valore atteso in t+1 dell’utile

E(u E( u E(u

➢ )=u + ) )=

t+1 t t t+1

+1 +1

demografico, calcolato come descritto appena sopra.

Bisogna prestare attenzione al fatto che sia l’utile demografico in t+1 che

l’utile finanziario in t+1 sono stati calcolati assumendo che l’assicurato sia in

vita in t. Quindi, anche i valori attesi appena calcolati sono di fatto variabili

aleatorie. Se al tempo t l’assicurato è morto, la polizza si chiude, e l’utile al

tempo t+1 vale zero. Fatta l’ipotesi di sopravvivenza dell’assicurato, si genera

quindi una successione di utili aleatori ; con e morte

u t=1,2,... , n n=

t

dell’assicurato. Quindi:

L’utile è riferito finanziariamente al tempo , ma è calcolato

u t=1

• 1

supponendo che l’assicurato sia in vita al tempo .

t=0

L’utile è riferito finanziariamente al tempo , ma è calcolato

u t=2

• 2

supponendo che l’assicurato sia in vita al tempo .

t=1

E così via…: quindi, in generale, l’utile al tempo è calcolato

t+1

• supponendo che l’assicurato sia vivo al tempo . Questo si verifica con

t

∗

probabilità (effettiva) , o con probabilità “aggiustata” .

p

p

t x t x

Detto ciò, possiamo fare una precisazione importante: in realtà, poco fa quando

abbiamo determinato il valore atteso di , avremmo dovuto più

u t +1

∗

correttamente scrivere invece che solamente .

E(u T E(u

| >t ) )

t+1 x t+1

Procediamo con la trattazione, cercando di determinare il valore attuale

attuariale dell’utile al tempo iniziale t=0. Per farlo:

Si parte dalla formula dell’utile al tempo :

t+1

• v m

+ ∗ .

u V V

= (1+i )−C ⋅1 −C ⋅1 − ⋅1

t t x t+ 1 t t x

+1 +1 +1

∗ ∗ ∗

{T >1} {T ≤1} {T >1}

x+t x+ t x+ t

Si considera la riserva al tempo t come capitale realmente posto a

• copertura degli impegni futuri (riserva effettiva), ma non

necessariamente uguale alla riserva matematica, ovvero il valore attuale

attuariale delle prestazioni assicurative meno il valore attuale attuariale

dei premi.

Si suppone che : l’assicuratore al tempo iniziale non crea

V t=0

=0

• 0 x

nessuna riserva, il che richiederebbe il congelamento di capitale proprio.

Si suppone inoltre che (dato n che rappresenta la durata del contratto e

• siccome le prestazioni assicurative sono da considerarsi posticipate) nel

+

periodo ] [ non si avranno più prestazioni, per cui , e

n ,+∞ V V

=0 n x

n x

Si comincia calcolando il valore atteso dell’utile al tempo :

t+1

v m

∗ ∗ ∗ ; ma

E(u T V V

|

➢ >t )= (1+i )−C ⋅E(1 )−C ⋅E (1 )− ⋅E (1 )

t+1 x t x t t t+1 x

+1 +1

∗ ∗ ∗

{T >1} {T ≤1 } {T >1}

x+ t x+t x+t

∗ ∗ +

sappiamo che , e .

V V P

E(1 p E(1 = +

)= )=q t x t x t

x+t x+ t

∗ ∗

{T >1 } {T ≤1}

x+ t x+ t

Per cui, dopo aver effettuato la sostituzione e numerosi passaggi algebrici che

non è necessario mostrare qui, otteniamo la seguente formula per il valore

attuariale dell’utile al tempo t=0:

v m

∗ ∗ ∗

n−1 n−1 n−1

P p C p C q

⋅ ⋅ ⋅

∑ ∑ ∑

t t x t t x t t 1 x

∗ +1 +1 +1 / .

u

➢ = − −

t t t

∗ ∗ +1 ∗ +1

i

(1+i ) (1+i ) (1+ )

t=0 t=0 t=0

In particolare, nel caso sia prevista una sola prestazione caso vita al tempo t=n

(es. capitale differito oppure mista), si avrà:

v m

∗ ∗ ∗

n−1 n−1

P p C p C q

⋅ ⋅ ⋅

∑ ∑

t t x n n x t t 1 x

∗ +1 / .

u = − −

➢ t n t

∗ ∗ ∗ +1

(1+i ) (1+i ) (1+i )

t=0 t=0

Il fatto più interessante che risulta dalla formula appena ottenuta, è che l’utile

atteso al tempo 0 dipende solo dai flussi di cassa (cash flow), ovvero dai premi

e dalle prestazioni ai vari istanti di tempo, e non dalle riserve. Quindi, in

qualunque modo si decida di accantonare le riserve nei vari anniversari (purché