Tecniche attuariali - Appunti

1: ASSICURAZIONI SULLA VITA E RENDITE.

1.1: CAPITALE DIFFERITO.

Il capitale diferito ( n-year pure endowment) è una forma di assicurazione

libera sulla vita. È un contratto mediante cui una compagnia assicurativa,

dietro pagamento di un premio e relativamente ad un individuo di età x,

corrisponde un capitale prestabilito (che per ora assumiamo essere unitario)

dopo n anni, e solo se l’individuo sarà ancora in vita.

Ricordiamo che la durata residua di vita per una testa di età x si indica con

. Ovvero l’età di morte è . Ovviamente è una variabile

T x+ T T

x x x

aleatoria poiché la testa di età x non sa a che ora morirà.

Indichiamo perciò il valore attuale del capitale diferito come segue:

0 se T ≤n

{

Y x

➢ = n

v se T >n

x

A questo punto possiamo introdurre una misura di importanza fondamentale in

ambito demografco, il cosiddetto valore attuale attuariale, che altro non è che

il valore atteso del valore attuale del capitale diferito:

n n ;

E · P n)=v · p

➢ =E (Y )=v (T >

n x x n x

Il valore attuale attuariale è altresì indicato con la seguente notazione

1

(notazione anglosassone): . La regola di notazione è che se la

A ¯

x: n|

prestazione è in caso vita, il numero 1 (ovvero il valore diferito del

capitale) va sopra la n, se è in caso morte, allora va sopra la x.

Possiamo determinare anche la varianza attuariale del capitale diferito:

2 2 2 n

2 2 , con: momento 2° di Y.

Var E E E · p

➢ (Y )= −( ) =E ((Y ) )=v =

n x n x n x n x

Possiamo quindi considerare come fattore di sconto demografco, ovvero

E

n x

il valore attuale di una unità di capitale che sarà disponibile tra n anni solo in

caso di sopravvivenza (se la somma assicurata non è unitaria, ma pari a C,

allora il valore attuale attuariale è dato da ). Il corrispondente fattore di

C· E

n x

montante demografco (ovvero la somma che, tra n anni, dovrebbe in media

ricevere una testa di età x che ceda oggi ad un assicuratore un’unità di

1

capitale) è ricavabile come segue: .

E

n x

Concludiamo il paragrafo con i cosiddetti commutatori. Servono per agevolare i

calcoli e li possiamo trovare già tabulati nelle tavole demografcooattuariali.

Poniamo: x

D ·l

➢ =v

x x

Da cui ricaviamo:

D x+n .

E

➢ =

n x D x

1.2: ASSICURAZIONI CASO MORTE (CASO CONTINUO).

Tra le assicurazioni caso morte distinguiamo (avendo ben a mente per tutto il

paragrafo l’ipotesi semplifcatrice che il capitale assicurato venga pagato

esattamente all’istante di morte, ovvero ci occupiamo del caso continuo):

Caso vita intera : un soggetto di età x assicura ad un benefciario una

• certa somma alla propria morte. Distinguiamo nuovamente due casi

particolari:

Caso non diferito (whole life insurance): in questo caso la

◦ copertura assicurativa è valida a partire dal momento stesso di stipula

del contratto. Il valore attuale attuariale è defnito come:

+∞ +∞

t t con densità di

A v f v · p ·μ dt

∫ ∫ f p

¯

➢ =E(Y )= (t )dt = (t)= μ

x t x x+ t

x x t x x+t

0 0

probabilità di morte della testa con età x (vedi sezione

dimostrazioni); forza di mortalità della testa di età x,

μ =

x+t

nell’intervallo [x, x+t].

Questa formula trova giustifcazione nel fatto che la testa può morire

in qualsiasi istante t compreso tra 0 e e in tal caso riceve al

+∞ t

tempo t un importo il cui valore attuale (alla data di stipula) è .

v

Per calcolare la varianza attuariale del capitale assicurato si usa la

seguente formula: +∞ +∞ 2

2 2 2 2 2 t t .

Var Ā Ā v · p ·μ dt v · p ·μ dt

∫ ∫

➢ (Y )=E(Y )−(E(Y )) = − = −( )

x x t x x+t t x x +t

0 0

Caso diferito (u-year deferred whole life insurance): la

◦ copertura assicurativa inizia non al momento della stipula, ma a

partire da un istante u > x. Il valore attuale attuariale è dato da:

+∞ +∞

t t ; la notazione anglosassone è

∫ ∫

Ā v f v · p ·μ dt

➢ = (t )dt=

u/ x x t x x+ t

u u

identica a quella appena vista.

Il diferimento equivale alla diferenza di due polizze temporanee:

Ā Ā Ā

= −

➢ u/ x x u x

/

Caso temporaneo : un soggetto di età x assicura ad un benefciario una

• certa somma alla propria morte se questa avviene entro i prossimi anni

(ovvero prima che egli arrivi a compiere x+n anni). Anche in questo caso

si distinguono due casi particolari:

Caso non diferito (n-year term life insurance): Di nuovo, la

◦ copertura assicurativa è valida a partire dal momento della stipula. La

formula per il calcolo del valore attuale attuariale è quasi identica a

quella del caso vita intera, con l’eccezione che il secondo estremo di

integrazione è n:

n n

t t ; vi sono anche delle notazioni

Ā v f t)dt= v · p · dt

∫ ∫

➢ =E (Y )= ( μ

x x t x x+t

/n 0 0 1

alternative ( oppure in notazione anglosassone che è

Ā Ā

n x ¯

x: n|

diversa da quella vista in precedenza perché l’1 è sopra la x e non

sopra la n).

Caso diferito (u-year deferred n-year term life insurance):

◦ nuovamente, la copertura assicurativa comincia a partire da un

periodo u > x. La formula per il calcolo del valore attuale attuariale è

data da: u+ n u +n

t t ; o in notazione

Ā v f v · p ·μ dt

∫ ∫

➢ =E (Y )= (t )dt=

u/ n x x t x x +t

u u

1

anglosassone .

Ā

u/ x : n̄|

Il diferimento equivale ancora alla diferenza di due polizze

temporanee: ; vedi sezione dimostrazioni.

Ā Ā Ā

= −

➢ u/ n x n+u x u x

/ /

1.3: ASSICURAZIONI CASO MORTE (CASO DISCRETO).

Ora consideriamo un caso discreto, in cui la somma viene pagata alla fne

K

dell’anno di morte. In questo caso il valore attuale è dato da: .

+1

Y x

=v

Caso vita intera :

• Caso non diferito (discrete whole life insurance): Se l’assicurato

◦ sopravvive per meno di un anno (ovvero quando ), il che si

K =0

x

verifca con probabilità , il valore attuale attuariale della

q

0 x

/1

prestazione è . Se sopravvive per più di un anno ma meno di due (

v

), il che si verifca con probabilità , il valore attuale

k q

=1

x 1/ 1 x

2

attuariale della prestazione è . E così via… Perciò, in conclusione,

v

il valore attuale attuariale di una prestazione assicurativa sulla morte

a vita intera è dato da: +∞

2 3 k +1

A q v · q · q v · q ;

∑

➢ =E(Y )=v· + +v +...=

x 0/ 1 x 1/ 1 x 2/ 1 x k/ 1 x

k=0

l l l

−l −l

x+k x+k x+k x+k x+k

Con che rappresenta la

+u +u

q p · q ·

= = =

k x k x u x+k l l l

/u x x+ k x

probabilità di morte diferita, ovvero la probabilità che un individuo

di età x muoia nell’intervallo . Questa probabilità è

, x u]

[x +t +t+

data dal prodotto tra la probabilità che una testa di età x viva per

almeno altri k anni, e la probabilità che una testa di età x+k muoia

nei prossimi u anni. L’unica diferenza di notazione rispetto al caso

continuo è data dalla mancanza della barra orizzontale sopra ad A.

Se assumiamo che l’età massima che un individuo può raggiungere

sia comunque minore di un certo valore , allora:

ω

ω−x−1 k .

+1

A v · q

∑

➢ =

x k x

/1

k=0 x+1 x+k

Se consideriamo il commutatore possiamo

+1

C d d

=v ⇒C =v

x x x+ k x+k

ridefnire il valore attuale attuariale come segue:

C M

ω−x−1 ω−x−1

x+k x x

; con ,

A M C

∑ ∑ D v

➢ = = =C +C +...+C = =l

x x

x x x x+1 x+k

D D ω−1

k=0 k=0

x x

Caso diferito (u-year deferred whole life insurance): si ricava il

◦ caso diferito in maniera del tutto simile a quella vista in precedenza: il

primo estremo della sommatoria non è più k=0 ma k=u>x. Abbiamo

perciò il seguente valore attuale attuariale:

u +ω−x−1

+∞ k k+1

oppure .

+1 A v · q

∑

A v · q

∑

➢ =

= u/ x k x

u/ x k x /1

/1

k=u k=u

Di nuovo, la polizza diferita equivale alla diferenza tra due polizze

temporanee: .

A A A

= −

➢ u/ x x u x

/

Caso temporaneo :

• Caso non diferito (discrete n-year term life insurance): il

◦ capitale è pagato solo se il soggetto muore entro i prossimi n anni.

Defniamo il valore attuale attuariale come segue:

n−1 k ; si usa no1 come estremo della sommatoria

+1

A v · q

∑

➢ =

x k x

/n /1

k=0

perché se k=n signifca che l’assicurato muore in n, e quindi cade

al di fuori della copertura assicurativa. Le notazioni alternative sono

simili al caso continuo, ma senza barra, ovvero e, in

A

n x

1

notazione anglosassone .

A ¯

x: n|

Riprendiamo anche in questo caso il commutatore , e

C x

riformuliamo il valore attuale attuariale come:

n−1 C M −M

x+k x x+ n .

A ∑

➢ = =

x D D

/n k=0 x x

Caso diferito (discrete u-year deferred n-year term life

◦ insurance): in questo caso il valore attuale attuariale è dato da:

u +n−1 k+1 1

; o in notazione anglosassone

A v · q

∑ A

➢ = u/

u/ n x k x x : n̄|

/1

k=u

Usando i commutatori la polizza temporanea diferita è

rappresentabile come segue:

M −M

x x

+u +u+n

A

➢ =

u/ n x D x

Ancora, la polizza diferita è esprimibile come diferenza tra polizze

temporanee:

A A A

= −

➢ u/ n x n+u x u x

/ /

Per calcolare i valori attuali attuariali per polizze caso morte discrete, si

possono usare anche le cosiddette formule ricorsive:

Caso temporaneo non diferito: riprendiamo la formula e sviluppiamo

• i calcoli: n−1 n−1 n−1 n−1

k k+1 k+1 k+1

A v · q v · p · q v · p · q v · p · p · q

+1

∑ ∑ ∑ ∑

➢ = = =vq + =vq + =

x k 1 x k x x x k x x x x k−1 x+1 x+ k

/n / +k +k

k=0 k=0 k=1 k=1

n−1 k+1 ; si prosegue poi facendo partire la

p v · p · q

∑

=vq + +

x x k−1 x+1 x+k

k=1

sommatoria da k=0 fno a no2:

n−2 n−2

k k

+2 +1

vq p v · p · q vp v · p ·q · A

∑ ∑

+ + =vq + + =vq +vp

x x k x+1 x+k+ 1 x x k x+1 x x x n−1 x+1

+k+1 /

k=0 k =0

Quindi, in conclusione, abbiamo:

.

A · A

=vq +vp

➢ x x x n−1 x+1

/n /

Caso vita intera non diferito: seguendo lo stesso procedimento, si

• ottiene:

A · A

=vq +vp

➢ x x x x+1

1.4: ASSICURAZIONI CASO MORTE (CASO FRAZIONATO).

Continuiamo in questo paragrafo, considerando il caso frazionato, ovvero il

caso in cui i pagamenti avvengono alla fne di un periodo (con 1 anno suddiviso

in m periodi). Per esempio, se m=12, il singolo periodo è uguale ad un mese.

Si defnisce durata residua di vita abbreviata alla frazione di

(m )

K = (T )

x x

anno. Se allora signifca che la morte avviene in un istante compreso

(m )

K =k

x 1

nell’intervallo . Ora procediamo, considerando proprio il caso in cui la

, k

[k + ]

m

somma assicurata viene pagata alla fne del mese in cui avviene il decesso

(poiché stiamo ragionando su intervalli di un mese allora abbiamo m=12). La

1

(12)

prestazione (unitaria) è pagata al tempo , per cui il valore attuale

K +

x 12

della prestazione è dato da:

1

(12)

(k + )

x 12 .

Y =v

➢

Distinguiamo nuovamente le polizze a vita intera da quelle temporanee:

Caso vita intera :

• Caso non diferito (m-thly payable whole life insurance): vista

◦ la formula per i calcolo del valore attuale, possiamo concludere che

1

questo è pari a: se la testa muore prima di un mese (con

/12

v 2

probabilità ); se la testa muore dopo un mese e prima di

q /12

v

1 x

0 / 12 3

due mesi (con probabilità ); se la testa muore dopo due

q /12

v

1 1 x

/

12 12

mesi e prima di tre mesi (con probabilità ; e così via… Per cui

q

2 1 x

/

12 12

si ottiene il valore attuale attuariale come segue:

k 1

+∞ ( + )

m m

(m) .

A v · q

∑

=E (Y )=

➢ x k 1 x

/

k=0 m m

Caso diferito (m-thly payable u-year deferred whole life

◦ insurance): si calcola il valore attuale attuariale come segue:

k 1

+∞ ( + )

m m

(m ) ;

A v · q

∑

=E(Y )=

➢ u/ x k 1 x

/

k=u m m

Come sempre, la polizza diferita è rappresentabile come diferenza

tra polizze temporanee:

.

(m ) (m) (m )

A A A

➢ = −

u/ x x x

/u

Caso temporaneo :

• Caso non diferito (m-thly payable n-year term life insurance):

◦ il valore attuale attuariale è dato da:

mn−1 k 1

( + )

m m

(m ) ; esprimibile anche con notazioni alternative

A v · q

∑

=

➢ x k 1 x

/n /

k=0 m m

o in notazione anglosassone .

(m) (m)1

A A

n x ¯

x : n|

Caso diferito (m-thly payable u-year deferred n-year term life

◦ insurance): seguendo l’impostazione usata nei casi precedenti, il

valore attuale attuariale è:

u+mn−1 k 1

( + )

m m

(m ) ; o in notazione anglosassone ( .

A v · q

∑ (m )1

A

=

➢ u/

u/ n x k 1 x ¯

x: n|

/

k=u m m

Espresso come diferenza di polizze temporanee è dato da:

.

(m ) (m) (m )

A A A

➢ = −

u/ n x x u x

/n +u /

1.5: POLIZZE MISTE.

Vi sono numerose tipologie di polizze miste. Vediamone alcune qui di seguito.

Polizza mista semplice (Caso continuo), (endowment insurance):

• Tra n anni, se l’assicurato è in vita, viene pagata una somma (unitaria nel

nostro caso). Inoltre, se l’assicurato muore entro i prossimi n anni, viene

pagata una somma (unitaria) alla data di morte (immediatamente

quindi). Ci sono quindi due prestazioni:

Una di capitale diferito di n anni.

◦ Una di caso morte temporanea continua per n anni.

◦

Il valore attuale attuariale si ottiene come segue:

; dato che è la composizione di una polizza di capitale

Ā Ā E

= +

➢ n x n x

¯

x: n| /

diferito e di una caso morte temporanea continua. Vi è anche la

notazione alternativa: . Quella anglosassone è identica.

Ā x, n̄|

Possiamo comunque riscrivere il secondo membro in notazione

1 1

anglosassone: Ā Ā A

= +

¯ ¯

x: n| x : n̄| x: n|

Polizza mista semplice (Caso discreto), (discrete endowment

• insurance): tra n anni, se l’assicurato è in vita, viene pagata una somma

(unitaria nel nostro caso). Inoltre, se l’assicurato muore entro i prossimi n

anni, viene pagata una somma (unitaria) alla fne dell’anno di morte. Ci

sono quindi due prestazioni:

Una di capitale diferito di n anni.

◦ Una di caso morte temporanea discreta per n anni.

◦

Il valore attuale attuariale per questo tipo di polizza è:

; dato che è la composizione di una polizza di capitale

A A E

= +

➢ n x n x

¯

x: n| /

diferito e di una caso morte temporanea. Vi è anche notazione

alternativa (la notazione anglosassone del primo membro è identica):

. Possiamo comunque riscrivere il secondo membro in notazione

A x, n̄| 1 1

anglosassone, ottenendo: .

A A A

= +

¯ ¯

x: n| x : n̄| x: n|

Polizza mista combinata: Prevedono il pagamento di un capitale

• (unitario nel nostro caso) in caso di morte, e un capitale pari a 1+k in

caso di sopravvivenza (con k>0), tra n anni.

Il valore attuale attuariale è dato da: 1 1

; o in notazione anglosassone .

U= A k) · E U= A k) · A

➢ +(1+ +(1+

n x n x x : n̄| x : n̄|

/

essenzialmente, quindi, questa polizza è identica a quella mista

semplice in caso discreto, se non per il fatto che il capitale pagato in

caso di sopravvivenza viene moltiplicato per (1+k).

Polizza mista a capitale raddoppiato: prevede il pagamento di un

• capitale raddoppiato in caso di morte e un capitale (unitario nel nostro

caso) in caso di sopravvivenza, tra n anni.

Il valore attuale attuariale è: 1 1

; o in notazione anglosassone

U=2 · A E U=2 · A A

+

➢ +

n x n x ¯

x: n̄| x : n|

/

Si può dimostrare che (vedi sezione dimostrazioni): .

A A A

≤ ≤

x x x : n̄|

/n

1.6: POLIZZE A TERMINE FISSO.

Prevedono il pagamento di un capitale (unitario nel nostro caso) tra n anni sia

in caso di morte che in caso di vita. Dato che l’assicuratore al tempo n deve

comunque pagare la prestazione, questa non ha carattere di ale