Tecnica delle Costruzioni - lezione 3

POLITECNICO DI TORINO

Appunti Tecnica delle Costruzioni

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Professore Giuseppe Mancini

CORSO di TECNICA delle COSTRUZIONI

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Lezione 3: Sicurezza Strutturale (III parte).

Gli argomenti della lezione saranno:

1. Metodi probabilistici.

METODO PROBABILISTICO di LIVELLO 2

Quando avevamo trattato l’argomento del livello 3, avevamo conchiuso che ci sono una serie di problematiche nell’utilizzazione del livello 3. Per questa ragione si passa al livello 2 nelle applicazioni pratiche. Il livello 3 esprime il concetto generale della valutazione della sicurezza, il livello 2 lo rende possibile in termini applicativi.

Per fare ciò dobbiamo operare sulla funzione di stato limite, la funzione g delle sollecitazioni e resistenze è uguale a zero. Tale funzione è quella che esprime l’evento nullo. In termini matematici scriviamo che:

g(S,R) = 0

Noi, se vogliamo operare, dobbiamo approssimarla, questo perchè noi vogliamo una valutazione numerica. Abbiamo diversi modi di approssimarla:

• FORM: metodo di sicurezza per la valutazione della sicurezza di primo ordine che è lineare.
• SORM: procedura non lineare in quanto è un metodo alla valutazione della sicurezza basato su approssimazioni di secondo ordine.

Noi generalmente lavoreremo con queste 2 famiglie. Nel caso del FORM noi possiamo ancora individuare il

le zone in cui la R ≤ S_i; al di sopra della retta r-s-0 abbiamo le zone di insuccesso perché lì le S_i > R. Un punto alle coordinate (r*, s*) è un punto delle zone limite, come ,es. nel grafico scelgo il punto A. Andiamo adesso a trasformare le coordinate usando quelle standardizzate S' e R', avremo allora la seguente rappresentazione:

La distanza delle retta (a matrice) dall'origine è l’indice di sicurezza β; questo indice viene spesso contraddistinto da 2 ped ici H e L xchè in questa rappresentazione indica il cosiddetto Hσster Lindi, che significa. Vediamo ora l’indice di sicurezza βHL, che continua essere:

β_HL = ^{η_R - η_S}/_{√σηR² + σηS²}

Le variabili standardizzate saranno definite dalle seguenti formuIe: R' = ^{R - η_R}/_σηR ; S' = ^{S - η_S}/_σηS

Definite queste variabili le funzioni di stato limite diventano:

ση_RR' - ση_SS' + η_R - η_S = 0

METODO PROBABILISTICO di LIVELLO 1

Noi abbiamo detto che il livello 2 è un livello non ancora operativo per la progettazione ma per i normatori. E i normatori lo usano per tarare i coefficienti di sicurezza dei livelli probabilistici più bassi che sono poi quelli che vanno in mano ai progettisti.

Il livello 1 consiste nel rimpiangare ancora l'approccio probabilistico e nel limitare il confronto tra R e S, anziché all'intera funzione, limitarlo a 2 valori semplificativi delle R e S. Facciamo dunque il confronto tra questi 2 punti. Dobbiamo scegliere dei valori di Real che per noi sono rappresentativi delle intere funzioni, quindi scegliamo dei valori al calcolo per le resistenze. Assumiamo il simbolo Real:

Real = g_R (X_1ESTRE, X_1ESTE, ..., X_mESTRE)

Valori estremi delle RESISTENZE: valori che noi riteniamo estremi.

Lo stesso vale per le sollecitazioni:

Sol = g_S (X_m+1ESTR, Xm+2ESTE, ..., X_nESTRE)

Proprio perché usiamo dei valori estremi tale metodo viene chiamato anche METODO dei FUNZIONALI ESTREMI.

Abbiamo una verifica positiva quando:

Real > Sol

Se noi vogliamo effettuare il confronto correttamente noi dobbiamo mappare le (n-m) variabili che rappresentano le sollec

"CORSO di TECNICA delle COSTRUZIONI"

Lezione 02: Sicurezza Strutturale (Parte II) 22/3/2014

Gli argomenti della lezione sono:

• Metodi probabilistici (livello 1, livello 2 e livello 3)

"METODO PROBABILISTICO di LIVELLO 3"

Immaginiamo che:

• {X_i} sia il vettore delle n variabili aleatorie determinanti la sicurezza.
• f_X è la densità di probabilità congiunta di {X_i}.
• D_i dominio di insuccesso, cioè il dominio all'interno del quale un verifica non è soddisfatta.

Per funzione di densità di probabilità congiunta intentiamo dire che la f_X che farei funzione delle funzioni (X₁, X₂,... X_n) in dX₁, dX₂,... dX_n rappresenta la probabilità che le variabile X₁ assume un valore compreso tra X₁ e X₁ + dX₁ e contemporaneamente (n) la variabile X₂ assume un valore compreso tra X₂ e X₂ + dX₂ e, nello stesso tempo X_n sia compreso tra X_n e X_n + dX_n.

Riassumendo in termini matematici scriveremo che:

f_X(X₁,X₂,...,X_n) dX₁, dX₂,... dX_n = = P[(X₁ < X₁ < X₁ + dX₁) ∩ ... (X₂ < X₂ < X₂ + dX₂) ∩ ... ∩ (X_n < X_n < X_n + dX_n)]

Esprimiamo allora la probabilità di rottura avendo che:

Situazione normale

Facendo queste assunzioni abbiamo che R ed S sono completamente note se io conosco le funzioni N_R e N_S.

R → N_R (η_R; σ_R) S → N_S (η_S; σ_S)

Dove:

• η: indica una media;
• σ: indica lo scarto quadratico medio.

Se vogliamo pensare alla funzione esito che chiamiamo Z allora scriviamo che :

Z = R - S → N_Z (η_Z; σ_Z)

Estraendo una differrenza tra due distribuzioni gaussiane sarà anch'essa una gaussiana.

Proviamo a fare una rappresentazione grafica:

Gaussiana relativa alla funzione esito.

• R_Z = 0
• R_Z = η_Z + η_Z

μ - η_Z / σ_Z μ - 0

1) μ = η_Z + η_Z

dopo la traslazione.

Guardiamo prima il S_R contraint dall'insieme da assi continui. La gaussiana in figura dovrebbe essere una curva simmetrica. Le probabilità di insuccesso, e descritta dalla funzione esito negativa, quali dall'esito esteso della curva e ricostruiamo

2:

_{NR - NS} / _FR

Torniamo ora di nuovo ai fattori di sicurezza e all'ordine degli altri; se ciò non va bene, possiamo usare:

_RF / _SF ; _Ral = R_al / _Sal

O: valori caratteristici, ovvero, valore a confrontare quei frattili delle funzioni della distribuzione di frequenza; valori che tengano conto né della media che della dispersione. O: frattile inferiore e _RC di design che semplifica calcolo.

Vediamo ora se tali coefficienti sono valori a descrivere la sicurezza.

_γk è chiamato coefficiente di sicurezza caratteristico. _γal è chiamato coefficiente di sicurezza al calcolo.

Iniziamo da _γk:

_γk = _RF / _SF = _{NR - KS FR} / _{NS + KS FS} = _NR / _NS =

includiamo il frattile, noi useremo il 5%

= γo_{1-KS CR} / _{1 + FS CS}

includiamo il frattile maggiorato il 95%

Definiamo ora _γal con le seguenti modalità:

frattile all'ordine inferiore pari al 5%

_γal = _Ral / _Sal = _{NR - ALE FR} / _{NS + KS FS} = _NR / _NS = γo_{1 - ALE CR} / _{1 + KS CS}