Tecnica delle Costruzioni - lezione 3

Politecnico di Torino

Appunti Tecnica delle Costruzioni

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

Data: 25 | 3 | 14

Lezione 3: Sicurezza strutturale (III parte)

Gli argomenti della lezione saranno:

1. Metodi probabilistici

Metodo probabilistico di livello 2

Quando avevamo trattato l'argomento del livello 3, avevamo concluso che ci sono una serie di problematiche nell'utilizzazione del livello 3. Per questa ragione si passa al livello 2 nelle applicazioni pratiche. Il livello 3 esprime il concetto generale della valutazione della sicurezza, il livello 2 lo rende possibile in termini applicativi.

Per fare ciò dobbiamo operare sulla funzione di stato limite, la funzione g delle sollecitazioni e resistenze è uguale a zero. Tale funzione è quella che esprime il resto nullo. In termini matematici si scriverà che:

g(S,r) = 0

Noi, se vogliamo operare, dobbiamo approssimarla, questo perché noi vogliamo una valutazione numerica.

Abbiamo diversi modi di approssimarla:

• FORM: metodo di sicurezza per la valutazione alla sicurezza di primo ordine che è lineare.
• SORM: procedura non lineare in quanto è il metodo alla valutazione della sicurezza basata su approssimazioni di secondo ordine.

Noi essenzialmente lavoreremo con queste 2 famiglie. Nel caso del FORM noi possiamo ancora individuare il FOSM e l'AFOSM.

Nel FOSM entrano in gioco dei momenti di primo ordine e di secondo ordine, che sono delle medie e delle varianze. Nell'AFOSM, che è la procedura lineare alternativa, abbiamo una procedura avanzata.

Il livello 2 non è ancora un metodo operativo utilizzato nei progetti, sì, ma è un metodo operativo che codificatori, che normatori, cioè chi fissa dei coefficienti di sicurezza opera il livello 2 per decidere i livelli di sicurezza. Quindi il livello 2 significa che strutture molto complesse, grandi opere, che non possono essere progettate con una valutazione della sicurezza di livello 3 e livello 1.

FORM

Il FORM quando lo consideriamo come FOSM, consiste nell'introdurre un'ottimizzazione al primo ordine in serie di Taylor della funzione linearizzata ai valori medi. Funzione che chiaramente è la funzione di stato limite. Per fare ciò usiamo le medie e le covarianze delle variabili corrispondenti. Le variabili casuali per queste variabili sono normali o log-normali (queste ultime in genere usate per le resistenze). Le variabili normali in genere sono simmetriche rispetto all'asse cioè vanno da -∞ a +∞.

La funzione è che altrimenti l'esto può essere definita così:

z = g(x) - g(x₁, x₂, ..., x_n)

Variabili che intervengono nella definizione della sicurezza.

Queste variabile 'z' rappresenta l'equazione di stato limite, cioè la famosa detta esto, che in generale non è una retta, ma una...(2) ovvero qualunque. Questa funzione di stato limite viene approssimata allora in serie di Taylor recando la seguente espressione che rappresenta medie e varianze:

\(z = g(n_k) + \sum_{l=1}^{n} \frac{\partial g}{\partial x_l} (x_l - n_x_l) + \frac{1}{2} \sum_{l=1}^{n} \sum_{j=1}^{l} \frac{\partial^2 g}{\partial x_l \partial x_j} (x_i - n_x_l) (x_j - n_x_j) + ...\) e così via...

La funzione che vogliamo rappresentare come funzione di stato limite viene rappresentata in modo semplificato tramite lo sviluppo in serie di Taylor fermato a questo livello.

Concludiamo dicendo che se accettiamo una rappresentazione di questo tipo vuol dire che praticamente la media di questa funzione è circa una funzione delle diverse medie al partenza:

n_z ≈ g(n_x1, n_x2, ..., n_xn)

Mentre lo scarto quadratico medio è rappresentato come circa una doppia sommatoria di:

\(\sigma_z^2 ≈ \sum_{l=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial g}{\partial x_i} \frac{\partial g}{\partial x_j} \text{cov}(x_i, x_j)\) (covarianza)

Questo è il tipo di approssimazione che stiamo facendo. Se le variabili \(x_i\) possono essere rimosse indipendenti, allora in pratica, lo scarto quadratico medio è:

\(\sigma_z^2 ≈ \sum_{j=1}^{n} \left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)^2 \text{var}(x_i)\) (varianza)

Una volta rappresentata le nostre funzione di stato limite con questa approssimazione del FOSM, possiamo rappresentare o meglio valutare immediatamente il β, perché eravamo arrivati a ottenere 2 espressioni una che ci dava la media η_s e l’altra la varianza τ_s. Quindi il β è valutato come il rapporto tra:

β = ^η_s/_τs

È possibile, grazie ad una tabella, noto β calcolare Pr, mentre se è nota la Pr calcolare β.