Tecnica delle costruzioni - lezione 14

Politecnico di Torino

Appunti Tecnica delle Costruzioni
Anno Accademico 2013/2014
Eleonora Magnotta
Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

Lezione 14: Plasticità (III parte)

Gli argomenti della lezione saranno:

1. Teoremi della plasticità.

Teoremi della plasticità

Prima di dimostrare questi teoremi cerchiamo di trarre delle conclusioni di carattere generale ed operativo su quanto abbiamo visto in precedenza. Posso concludere da quanto abbiamo esaminato parlando dei cerchi plastici che in definitiva la presenza della plasticità induce due ordini di benefici:

1. Di carattere locale: le risorse plastiche locali nelle sezioni fanno sì che sulle sezioni stesse si possa raggiungere un M_p, tale che: ^M_p/_Mel>1 (φ)
2. Di carattere globale sulla struttura: non c’è sempre, ma spesso intervengono delle riallocazioni dei momenti elastici.

Il vantaggio dovuto alle risorse plastiche delle strutture lo vediamo soltanto nelle strutture iperstatiche; nelle strutture isostatiche infatti il raggiungimento delle il cerchio plastico comporta il collasso della struttura. Non è sempre vero che nelle strutture iperstatiche abbiamo sempre delle riallocazioni.

Vediamo il seguente caso:

Diagramma elastico.

Quando noi superiamo il limite elastico cosa succede? Succede che le 3 cerniere plastiche (o) si formano contemporaneamente. Cioè noi passiamo dallo schema iperstatico allo schema labile in un solo passo perché le 3 cerniere plastiche si formano allo stesso livello del carico. Quindi noi abbiamo ridistribuito dei momenti che avevamo in campo elastico.

I vantaggi in questo irrigidimenti in quanto di raggiungere sulle diverse porzioni il M plastico. Questo è però un caso limite, in generale queste risorse plastiche sono irripetibili.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Una conseguenza del fatto che una volta formata la 1^a cerniera plastica noi dobbiamo cambiare lo schema strutturale, e quindi applicare gli ulteriori incrementi di carico su uno schema strutturale diverso fa sì che il principio di sovrapposizione degli effetti non è più applicabile. Non è più applicabile in quanto al sistema non è più isostatico. Non è possibile di conseguenza utilizzare le linee di influenza che sono delle linee che rappresentano il variare di una caratteristica di sollecitazione o di spostamento in funzione delle posizioni di un carico unitario che si muove lungo la struttura stessa.

Ipotesi semplificative

Per ottenere la teoria delle plasticità dobbiamo introdurre le ipotesi semplificative, che determineranno il campo operativo.

1. In ogni sezione è possibile raggiungere un momento plastico M_p = f_sy·A che è anche il massimo momento raggiungibile.
2. Si suppone che le cerniere plastiche siano concentrate in una singola sezione anche se di fatto sono distribuite su un tratto finito di contorno.
3. Il materiale rimane duttile fino al collasso.
4. Il momento plastico non è influenzato dalla presenza di N_eT e da forze concentrate, agenti nella sezione in cui viene raggiunto.
5. Assenza di fenomeni di instabilità locale e di insieme fino al raggiungimento del meccanismo plastico di collasso.
6. Carichi crescenti tutti proporzionalmente.
7. Le deformazioni "a collasso" sono influenti sulla geometria delle azioni.
8. Le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico.

Facciamo ora qualche commento su queste ipotesi: L'ipotesi 4 non è in genere soddisfatta; occorre disporre di rinforzi locali nei protratti perché in genere lo sia. Ciò vale anche per il punto 5.

Teoremi fondamentali dell'analisi limite

I teoremi sono sostanzialmente 2: il teorema statico e il teorema cinematico, dovuti rispettivamente a Greenberg e Prager.

Il teorema statico consente di determinare il campo di collasso della struttura, però non è il carico vero, ma un carico approssimato per difetto. Ciò significa che il carico che noi dobbiamo andare a trovare è ragionevolmente inferiore o al più uguale al carico di collasso della struttura.

Il teorema cinematico invece consente di determinare il carico di collasso che è invece approssimato per eccesso - cioè il carico che noi troveremo è sicuramente superiore a quello del collasso reale della struttura, al massimo pari uguale.

Il primo teorema è dal lato della sicurezza, il secondo teoricamente, invece, è dal lato dell’insicurezza.

Per entrare nei meriti dei 2 teoremi dobbiamo fare dei richiami sul P.L.V.; in particolare consideriamo una struttura deformabile in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne e sottoposto ad un sistema di spostamenti virtuali (congruenti e compatibili). Tali spostamenti sono del tutto indipendenti dal sistema di forze che agiscono.

In questo caso il lavoro che compiono le forze esterne (Le) deve equiparare il lavoro che compiono le sollecitazioni interne (Li):

Le = Li

Se ci limitassimo a trattare una struttura piana composta da travi e caricata nel suo piano avrei:

Le = _^∑i=1^k p_i . δ_i

Dove:
k: numero di forze p_i;
δ_i: componente reazione p_i dello spostamento δ_i.

Il lavoro interno è compiuto dovute caratteristiche di sollecitazione N, M, T, associate agli spostamenti ad essi coniugati. Se ci riferiamo ad un tronco elementare di lunghezza dx ed integrando lungo tutto il sistema, si ottiene:

L = _sistema ∫ (NΔαls + Tαly + MΔαlp)

- Δαls è la variazione di spostamento lungo l'asse dovuta alla forza normale N applicata
- αly è lo spostamento relativo tra 2 facce contigue lungo l'asse
- Δαlp è la rotazione delle facce estreme del concio che stiamo considerando

Come abbiamo già detto precedentemente, noi possiamo ammettere che le aste siano composte da tronchi rigidi connessi da cerniere plastiche nelle quali si concentra il lavoro interno. Ne consegue che in presenza di carichi concentrati:

_k∑ P_i · δ_pi = _m∑ M^s_J · θ_J ^{i=1    J=1}

lavoro esterno lavoro compiuto all'interna della struttura

m: numero cerniere plastiche; θ_J: rotazioni plastiche nelle cerniere plastiche; M^s_J: momenti plastici;

Se i carichi sono distribuiti, l'espressione del principio dei lavori virtuali diventa:

∫ _sistema p δαlx = _m∑ M^s_J θ_J           ^J=1

m: numero cerniere plastiche - In questo caso cambia solo il termine del lavoro esterno

Questo ci consente di aggiungere il P.V. ad un caso semplice in cui le condizioni di simmetria strutturale e di carico consentono noi di individuare facilmente la posizione delle cerniere plastiche. Consideriamo il nostro solito caso:

Meccanismo di collasso

Indichiamo con θ generica la rotazione plastica in corrispondenza del 1° e del 2° incastro (per simmetria); in corrispondenza delle 3^a cerniera in mezzeria abbiamo una rotazione di 2θ.

_θ P L/2 P L/2 _{q L} 4 2θ _{q L} 4 P L/2: interfante carico tratto AB e tratto BC.

Esprimiamo ora Li e L_e: L_i = _PL 2 + _PLθ 4

L_e = _PL 4 + _PLθ 4 L_e = M_pθ + M_p2θ + M_pθ - 4M_pθ L_e - L_i ⇒ P L . V. ⇒ _PLθ - 4M_pθ

Ricaviamo allora P: P = _{16 Mp} L²

Risultato che avevamo già trovato per altre vie precedentemente. Dobbiamo notare che i termini bbc lavoro interno sono relativi in quanto in tutte le cerniere ha luogo lavoro interno positivo. Lavoro π positivo perché le rotazioni sono concordi ai momenti plastici.

L'angolo θ, individuato la configurazione ultima, è sufficientemente piccolo da poterlo confondere con la sua tangente. Tra l'altro questa è un'ipotesi che abbiamo fatto naturalmente. Operando su tronchi rigidi, il lavoro dell'arco distribuito può essere sostituito con quello della fune risultante. Non è però sempre così agevole la determinazione delle posizioni delle cerniere plastiche.

Teorema statico

Viene anche definito come primo teorema dell'analisi limite. Immaginiamo di avere uno schema composto ovvero uno schema n volte ripetuto includiamo con λ il moltiplicatore dei carichi (λ=1 carichi di esercizio). Noi faremo crescere i carichi dall'esercizio fino al collasso. Ora partendo da λ=1 scegliamo arbitrariamente una distribuzione di azioni interne che equilibrano le forze esterne (configurazione equilibrata, ma non congruente). Incrementiamo λ fino al valore λ₁ per il quale si raggiunge la plasticizzazione di una cerniera. λ₁ rappresenta il valore limite di λ per la distribuzione assegnata di sollecitazioni. Introduciamo ora in questa cerniera plastica uno stato di aut tensione che scarichi la cerniera plasticizzata ed incrementiamo ulteriormente i carichi fino al moltiplicatore λ₂ per il quale si raggiunge una nuova plasticizzazione (λ₂>λ₁). Questo vuol dire che noi praticamente mettiamo una cerniera e ai lati della cerniera mettiamo 2 momenti e sol equosi tali da ripristinare il momento plastico in quella cerniera stessa. Ritorniamo ora l'operazione cioè si introdurlo un nuovo stato di...