Tecnica delle costruzioni - lezione 13

Appunti tecnica delle costruzioni

Anno accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

Lezione 13: Plasticità (I parte)

Gli argomenti della lezione sono:

1. Cerniere plastiche

Cerniere plastiche

Riprendiamo l’analisi di una sezione rettangolare metallica. Avevamo più commentato questo diagramma σ-ε di un acciaio. Nella soglia plastica la tensione di snervamento rimane costante, il materiale si snerva e dà luogo a grandi deformazioni plastiche fino al raggiungimento di una deformazione ε_i, al di là della quale si ha un incremento di resistenza, cioè una fase di incrudimento del materiale che porta alla rottura.

Se andiamo nel dettaglio possiamo apprezzare che questo tratto AB è molto grande rispetto al tratto O-ε_sy, cioè la ε_i » ε_sy. Quindi, l’acciaio come materiale da costruzione ha grandi risorse plastiche. Possiamo dire che per gli acciai da costruzione:

ε_i≥ 10ε_sy

Quindi, in conclusione possiamo dire che l’acciaio è un ottimo materiale da costruzione.

Risposta del trave elemento 1

Re del trave soggetto a flessione può essere così rappresentato: immaginiamo che la faccia arancione sia una faccia incastrata, mentre alla faccia verde sia applicato un momento flettente. Quindi progressivamente tale faccia ruota, descrivendo delle deformate di ampiezza crescente. Le deformazioni di spostamento corrispondono a una delle situazioni intermedie, ovvero quelle che ho disegnato con il tratteggio. Sul diagramma tensionale abbiamo una linearità di risposta, perché siamo sui tratti lineare δ - ε, in particolare avremo una δ_sy solo nelle fibre estreme.

1. Diagramma delle deformazioni;
2. Diagramma delle tensioni;
3. Diagramma bilanciato che idealmente rappresentiamo alla fine.

La formazione delle cerniere plastiche è un periodo progressivo, dal momento in cui cominciamo a introdurre deformazioni plastiche nella sezione, quindi il diagramma comincia a essere plafonato (fissare un limite) in termini tensionali fino a quando c'è la plasticizzazione completa. Alla formazione delle cerniere plastiche si raggiunge il momento plastico; si ha la plasticizzazione completa. In tutto il percorso intermedio noi abbiamo il passaggio dallo stato elastico a quello completamente plastico tramite una plasticizzazione progressiva.

Considerazioni di equilibrio

Urbio della sezione (deformazioni indeterminate) risulta che: per ipotesi noi stiamo considerando che le due tensioni di snervamento (quella di trazione e quella di compressione) sono uguali, e questo succede nell’acciaio. L’asse neutro (a.n.) divide la sezione in due parti: una di area Ω₁ tutta tesa, una di area Ω₂ tutta compressa. Noi possiamo isolare un d’area elementare sia nella zona tesa che nella zona compressa e possiamo scrivere le seguenti equazioni di equilibrio:

Ω = Ω₁ + Ω₂

N=0

∫_Ω σ dΩ = 0

∫_Ω1 σ dΩ + ∫_Ω2 σ dΩ = 0

Dove: Ω è l'area totale; N è la forza normale, risultante delle tensioni = 0 perché noi abbiamo applicato solo un M.F. Se N ≠ 0 allora vuol dire che l’integrale esteso a tutta l’area delle σ dΩ deve essere uguale a 0. Quindi noi possiamo esprimere l’integrale in due integrali ovvero gli integrali sulle due Ω: Ω₁ e Ω₂ e poru anch’esso = 0. Ma a relore completamente inaccia(3).

Tolta le σ sono le σ_sy alla trazione e la σ_sy di compressione, che sono costanti su tutta la sezione, quindi li porto fuori dall’∫_Ω1 dΩ - ∫_Ω2 dΩ = 0. TRAZIONE COMPRESSIONE Questi due integrali sono rispettivamente Ω₂ e Ω₂, quindi avrei:

σ_sy Ω₁ - σ_sy Ω₂ = 0, ricordando che σ_sy e -σ_sy sono uguali avrei σ_sy (Ω₂ - Ω₂) = 0. Dato che σ_sy ≠ 0 per ipotesi ≠ 0 quindi deve essere che:

Ω₂ - Ω₂ = 0 = Ω₂ + Ω₂. Da qui, si ottiene che: l'asse neutro plastico divide la sezione in aree uguali (qualunque sia la forma dello sezione). Questo è diverso rispetto a quello che succede in campo elastico perché in campo elastico abbiamo che l'asse neutro elastico divide la sezione in aree con momenti totali uguali. Ne consegue che, in generale, l'asse neutro elastico ed asse neutro plastico sono distinti.

Esempio di una sezione a T

Vediamo l'esempio di una sezione a T dove possiamo vedere le diverse posizioni degli assi: θ. plastico 2. elastico. Nel passaggio dalla fase elastica alla fase plastica si ha una migrazione dell'a.n.

Equilibrio alla rotazione

Scriviamo adesso un'equazione ottenare di equilibrio che è quella alla rotazione, nel momento m ho rappresento il momento plastico, così ho plastciato completamente la sezione f_sy.

M_p = ∫_Ω ϕ dΩ = ϕ_y (∫_Ω y dΩ - ∫_Ω y dΩ) = ϕ_y (|S₁|+|S₂|)

ϕ: tensioni di snervamento del materiale;

- momento statico dell’area tesa, rispetto all’a.n. plastico;

∫: momento statico dell’area compressa rispetto all’a.n. plastico.

Il secondo integrale ha che ϕ_y che le y negative. Chiamiamo ora questa somma dei moduli dei momenti statici delle aree tese e compresse come: Z = |S₁| + |S₂| MODULO PLASTICO della SEZIONE.

Nel campo elastico lineare tale Z assume il significato di modulo resistente, perché avrei che:

M_p = ϕ_sy Z

Allora ϕ_sy = _Mp /_Z. In elasticità e al limite quando raggiungo la ϕ_sy in una fibra delle sezione io ho che:

ϕ_el o ϕ_sy = _Mel / _W

Dove il W è: J -> momento di inerzia rispetto all’a.n. W = Y_max -> distanza della fibra estrema della sezione rispetto all’a.n. Se consideriamo il campo plastico invece ho:

σ_sy = \(\frac{MP}{z}\)

Dove: z = | s1 | + | s2 |. Questo implica che tutte le fibre della sezione siano allo snervamento. Possiamo definire il seguente coefficiente:

φ = \(\frac{z}{W}\) > 1

φ: viene chiamato coefficiente di forma, mi dà un'idea delle risorse plastiche che sono disponibili all'interno della sezione. Calcoliamo tale coefficiente ad esempio per una sezione rettangolare:

W = \(\frac{bh^2}{6}\) ; z = \(\frac{bh}{2}\) - \(\frac{h}{4}\) - \(\frac{bh^2}{4}\)

\(\frac{z}{W}\) = φ = \(\frac{bh^2}{4}\) \(\frac{6}{bh^2}\) = 1.5

Possiamo concludere dicendo che se il φ è elevato allora la sezione è dotata di molte risorse plastiche (quindi è poco sfruttata in campo elastico). Se invece abbiamo un φ ridotto allora la sezione ha poche risorse plastiche ed è molto sfruttata in campo elastico. Nel caso si utilizzino materiali con differenti tensioni di snervamento a trazione e compressione abbiamo che:

σ_syt + σ_syc

Dovrà comunque risultare che N = 0 quindi l'a.n. plastico dovrà individuare aree in rapporto inverso a quello ottenibile. Sia: in una sezione rettangolare per esempio: rapporto inverso, equazione che devo dimostrare.

Cemento armato

Vediamo adesso cosa succede nel cemento armato. Il cemento armato è una delle situazioni in cui si sfruttano meglio le risorse plastiche. Questo perché: il cls da solo è un materiale tendenzialmente fragile, ha poche risorse plastiche, ma quando è accoppiato con l'acciaio, il quale lavora a trazione e quindi non si destabilizza, usa le risorse plastiche dell'acciaio per dare duttilità (comportamento cioè con risorse plastiche a tutta la sezione). Consideriamo:

σ_cr.b.x = As.σ_sy

Ricaviamo x:

x = As.σ_sy / σ_cr.b

Dove: σ_cr è la σ di rottura.

Quindi il momento di rottura della trave sarà:

M_p = As . f_yd ( 0.9h - x / 2 )

- generalmente il baricentro delle armature sono messe a 0.9 dell'altezza totale.

– distanza tra i due risultanti. In questo caso abbiamo fatto l'ipotesi di comportamento elasto completo del cls. Potremmo anche usare leggi diverse, ad es. usare dei legami non lineari.

Comportamento della trave isolata

Vediamo adesso il comportamento della trave isolata durante la plasticizzazione di una zona, cioè la formazione di una cerniera plastica. Vediamo passo dopo passo quello che succede:

= MOMENTO

= CURVATURA 1 / r limite elastico

= DEFORMATA

Tratto "pressoché" rettilineo Zona a forte curvatura Man mano che si plasticizza cedo che le curvature crescono molto questa zona diventa molto deformabile, ed ecco che ho un picco nel legame delle curvature con l'accusa della sezione.

La trave, quando si forma la cerniera plastica, è come se fosse costituita da tronchi rigidi collegate alle cerniere che sono le cerniere plastiche. Nella zona a forte plastificazione tutto avviene come se vi fosse concentrato una cerniera dotata di attrito. Per M = M_p mantiene il valore del momento plastico e consente la rotazione relativa a due tronchi di trave.

Presenza del taglio insieme alla flessione

Vediamo un'eventuale problema che abbiamo però, cioè: "PRESENZA DEL TAGLIO ASSIEME ALLA FLESSIONE". Noi sappiamo che per le strutture metalliche si considera una combinazione di sforzamento mutuo in termini di comportamenti normali e tangenziali di tensione:

σ₂ + ατ² ≥ σ_sy (CRITERIO di TRESCA)

È un criterio generico di resistenza che assume α = 2. Se mettiamo il valore α = √3 otteniamo il criterio di Von Mises. La presa in conto del taglio è significativo solo per pesanti con ψ poco maggiore di 1 (IPE, HE,...) e può essere valutata imponendo che il collasso avvenga solo per σ nelle piattabonde e per combinazioni di σ e τ nelle anime. In rilievo peraltro che qualche il taglio sia sufficientemente basso da comportare tensioni tangenziali non molto prossime al limite σ_sy/α, l'influenza del taglio sulle valutazione del momento plastico è del tutto trascurabile.

Non ancora completamente definito l'effetto del taglio sul momento plastico nel caso delle strutture in cemento armato.

Calcolo del carico di collasso in strutture iperstatiche

Consideriamo una trave continua e tre appoggi.

DIAGRAMMA DI MOMENTO

Siamo sotto l'ipotesi che q cresce progressivamente fino a collasso. Facendo crescere progressivamente, capiamo subito che se la resistenza è uniforme nella trave allora la cerniera plastica si formerà nel punto B. La cerniera è quello colicato in rosso, si formerà lì perché il MF- è decisamente maggiore rispetto al MF+. Si forma la prima cerniera plastica sull'appoggio centrale e per gli ulteriori incrementi del carico la struttura è isostatica. Andando avanti con gli ulteriori incrementi del carico abbiamo la formazione della successiva cerniera plastica, che trasforma la struttura in un meccanismo, il che vuol dire avere il collasso della struttura.

Possiamo allora dire in generale che: in una struttura n volte iperstatica occorrono n+1 cerniere plastiche per raggiungere il collasso. Questa è una regola del tutto generale perché poi ci ottine eccezioni: vediamo la prima. La prima eccezione corrisponde alla formazione di un collasso parziale immaginando di avere una struttura di questo tipo: n-6 (grado di iperstaticità). Se io formo in sequenza le cerniere 1, 2, 3 e 4, ecco che il tel to ola 1 a 4 è diventato labile, quindi io sono arrivato a collasso di una parte della struttura con la formazione di 4 cerniere plastiche. Quindi con un n=6 mi aspetto 7 cerniere plastiche per arrivare al collasso. Una volta arrivati al collasso devo interrompere il processo di carico perché mi è crollata parte oblui struttura.

Vediamo ora un caso che riguarda il collasso più che completo. Prima si forma la cerniere 1, poi siccome siamo in un caso di simmetria fi formano contemporaneamente sia la cerniera 2a che la 2b. Nel aveni^o n=1 ci aspettaremmo ben 2 cerniere plastiche che portano al collasso, in realtà vado a collasso con la formazione di 3 cerniere plastiche. Questo per la venta è un caso del tutto tecnico perché in realtà le 2 cerniere non si formeranno contemporaneamente.

In definitiva noi possiamo dire che la presenza della plasticità induce due ordini di benefici:

• Dal carattere locale legato alla formazione della cerniera plastica e quindi alla presenza di un modulo plastico Z > W. Questo permette di sfruttare le risorse plastiche locali.
• Incremento della capacità portante al di là del collasso.