Tecnica delle costruzioni - lezione 11

Appunti di tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2013/2014

Eleonora Magnotta

Professore Giuseppe Mancini

Corso di tecnica delle costruzioni

18/04/2014 - Lezione 11: Effetti strutturali del fluage (I parte).

Argomenti della lezione

Gli argomenti della lezione sono:

1. Valutazione dei parametri di ritiro e fluage;

Ci occuperemo in dettaglio della conoscenza numerica di questi parametri e degli effetti indotti dal ritiro nelle strutture.

Ritiro differenziale tra trave e soletta

A = 2000 cm²; At = 2000 cm²; I_trt = 5,3·10⁶ cm⁴

Tipologie strutturali che corrispondono nell'accoppiare una trave in cls con una soletta tramite delle armature ad aderenza.

Esempio numerico

In questo caso svolgeremo un esempio numerico fino in fondo per avere anche un'analisi del gradiente C dei risultati.

Immaginiamo che la trave sia molto stagionata, per esempio: c'è stato un'interruzione nell'esecuzione dei lavori per cui le travi che sono state montate sono rimaste lì in opera per mesi o per anni, e dopo sono ripresi i lavori. Possiamo allora immaginare che la trave abbia esaurito il suo ritiro quindi avrà che Ec_s = 0.

Per quanto riguarda la soletta, dato che la gettiamo in opera, ha un ritiro Ec_s ≠ 0, iniziato a ritirarsi qualche ora o giorno dopo del getto. Il ritiro della soletta può essere immaginato come una deformazione impressa.

Abbiamo già trattato le deformazioni... quindi dobbiamo vedere le barre congruenti e/o compatibili, altrimenti dobbiamo applicare le deformazioni elastiche complementari. Allora nella soletta abbiamo una deformazione impressa:① ε_t = ε_cs (che è il ritiro che non abbiamo nelle travi).

Ricordiamo però che tra le travi e le solette abbiamo una connessione, quindi vogliamo che travi e soletta siano solidali. Pertanto, la deformazione impressa applicata alla soletta interessa il complesso travi + soletta perché non vogliamo degli scorrimenti, a livelli dello ξ che nella pagina precedente è colorato in rosa. Noi vogliamo che le barre restino integre.

Allora in questa condizione la deformazione impressa ε_t non è congruente nel rispetto del complesso travi + soletta. Questo perché, se facessimo ritirare liberamente la soletta, questa romperebbe la connessione, quindi non rispetterebbe le condizioni di congruenza in corrispondenza di questa connessione per l'intero reticolo.

In questi casi allora nascerà un sistema di deformazioni elastiche complementari tali che la deformazione totale, che è la somma di quelle impresse non congruente e di quelle elastiche o complementari, globalmente... luogo ad una deformazione congruente.

Esprimiamo questo concetto così: ② ε_t = ε_t + λε + μγ.

Tale equazione significa sostanzialmente che stiamo immaginando che la deformazione dell'intero reticolo non sia di tipo lineare, cioè che la sezione resti piana, e quindi stiamo pensando all'essere in ipotesi di validità degli approcci di Bernoulli/Navier con una soletta solidale alle travi.

Per intendere questo ② è un elemento snello. Se vale l'equazione ②, che è l'equazione di congruenza, dove λ esprime la deformazione assiale a livello della fibra baricentrica, μ consente di valutare l'effetto della rotazione globale della trave, noi possiamo trasformare tale equazione, scritta in termini di E tenendo conto che le ε_a sono di natura elastica, possiamo definire in funzione delle σ che insorgono.

Bisogna dire che qui abbiamo in assenza di carichi esterni, quindi lo stato di tensione che insorge all'interno delle trave, cioè lo stato di tensione σ_z, deve essere autoequilibrato. Se è autoequilibrato allora:

Sostituendo a σ_z l'espressione che abbiamo visto in precedenza possiamo scrivere che: è un parametro del materiale, quindi costante, quindi posso portarlo fuori dal segno di integrazione.

Esame dei contributi nell'integrale

Esaminiamo ora i contributi in questo integrale; esaminando tale integrale vediamo che possiamo scomporlo in 3 contributi:

• Primo contributo: è per definizione = 0, il μ è una costante perché non influenza la rotazione della trave, quindi sta fuori dal segno di integrazione e è il momento statico rispetto al baricentro. Tale integrale per definizione è uguale a zero.

Spezziamo in 3 l'integrale iniziale: λ _A y dA + μ _A y² dA - ⊂E_z y dA = 0

1. In generale ha un valore ≠ 0;
2. In generale ha un valore = 0;
3. In generale ha un valore ≠ 0.

Annullando il termine ², io posso ottenere immediatamente che λ _A dA = area della sezione: λ · A = ⊂A√_Ez dA.

Allora così facendo posso ricavare il parametro λ: λ = 1/A ⊂A√_Ez dA

Valutazione del secondo parametro

Adesso andiamo a valutare il secondo parametro, poiché siamo di nuovo in condizioni di stati di tensori autoequilibrati abbiamo che:

⊂A√_Ez y dA = 0

Quindi ho di nuovo che:

E^z ⊂A(λ + μ y - ⊂E_z) y dA = 0

Questa volta abbiamo che:

⊂Aλ y dA = 0

È nullo perché, portando fuori dall'integrale la costante λ, rimane ⊂A y dA che è il momento statico rispetto al baricentro che per definizione è nullo. Avendo in questa seconda operazione resta che: = 0

Il secondo integrale rappresenta, portando fuori il μ dal segno di integrazione, il momento di inerzia della sezione rispetto all'asse baricentrico:

Da questa espressione posso ricavare μ: così facendo ho determinato i 2 parametri che controllano completamente la deformazione della sezione.

Passiamo ora ad introdurre dei numeri al posto di queste espressioni analitiche. Immaginiamo che: allora avremo che: y: distanza tra il baricentro della sezione globale e il baricentro della soletta. Abbiamo individuato completamente lo stato deformativo della sezione.

Calcolo delle tensioni

Possiamo ora calcolare le tensioni: nella trave non c'è coazione quindi le T nelle trave sono:

σ_z,_tr = E (λ + μ₁)

Individua la rata deformativa. Nella soletta c'è anche la deformazione impressa quindi avremo:

σ_z,_sol = E (λ+ μ₁ - ε_T)

Diagrammi tensionali

Proviamo a tracciare i diagrammi tensionali:

• 1) Diagramma tensionale della trave, la trave è inflette ha una deformazione non nulla a livello del baricentro, questo primo diagramma è l'effetto delle tensioni indotte su tutta la sezione fittizia come tuttora recepiti dal ritiro deformazionale della soletta. In più, nella soletta dobbiamo ricordarci che c'è la ε_T, quindi nella soletta c'è in più un termine addizionale.
• 2) 3) Diagramma finale.

Possiamo osservare che per effetto del ritiro della soletta, la trave va in trazione inferiormente, va in compressione superiormente fino al livello della soletta, dopodiché l'inserzione delle trazioni delle deformazioni impresse della soletta fa sì che la soletta vada in trazione. Noi ci troviamo una tavola in cui una parte della resistenza è consumata dall'interferenza della soletta che si ritira, e la soletta stessa per effetto del ritiro si trova ad essere tesa.

Tale valutazione numerica è una valutazione elastica, quindi in realtà non tiene conto che contemporaneamente c'è del fluage. Il fluage lavora allo stesso modo in trazione e in compressione, tale ipotesi l'abbiamo fatta noi quando abbiamo parlato del principio di Mac-Henry. Quindi né la fase in cui la soletta è in trazione in realtà il fluage interviene e smorza gli effetti elastici indotti dalla soletta. Su ciò che questo calcolo completamente elastico che noi abbiamo fatto su un'ipotesi di deformazione impressa, in realtà è stavorvole. Il fluage in questo caso gioca a nostro favore perché gli effetti elastici sono molto indotti dalla presenza del fluage, per cui i valori tensionali finali sono circa il 40% di quelli che possiamo utilizzare con un'analisi puramente elastica.

Coazione armature - CLS nei pilastri

Ac: area della sezione trasversale del pilastro; As: area dell'armatura.

Che cosa succede quando interviene il ritiro? Immaginiamo che la superficie inferiore ① sia fissa, cioè che è ad una parte più costuita, mentre, la superficie superiore ② sia libera, per effetto del ritiro il cls tende ad accorciarsi, la faccia esterna ① tenderebbe a spostarsi di una lunghezza Δlcs, però l'armatura vuole impedirlo.

Se vogliamo che l'armatura non sia rispetto al CLS, ma che resti valida come richiede. Poi il nostro meccanismo resistente allora l'armatura non subisce un movimento relativo al cls, ma ne segue le deformazioni. Seppure che le deformazioni si oppongono all'accorciamento del cls, perché l'acciaio non ha ritiro, mantenendo alle deformazioni del cls in pratica fa in modo che il cls si accorcia almeno di quanto invece avrebbe il ritiro. L'accorciamento finale allora non è Δl_s, ma Δl_S.

Tutto avviene come se l'acciaio si accorciasse di Δl_s, mentre il cls è come se si accorciasse di Δl_c, ma poi ti allunghes se al Δl_c, per tornare nella posizione ³ e rimane in deformazione congruente con l'acciaio.

Cerchiamo di scrivere allora questo equilibrio di congruenza che è dettato dall'aderenza tra questi due materiali:

Δl_cs = Δl_c + Δl_s

Se anziché scriverlo in termini di Δl noi ora lo riferiamo ad ε, l'intera lunghezza allora abbiamo che:

ε_S - ε_CS - ε_c = ε_S^- - ε_CS - ε_c^- induce un sistema di deformazioni elastiche nell'acciaio, quindi è ε_S/E_S.

Deformazione di ritiro del cls. Deformazioni elastiche indotte dal Δl_c. Possiamo ancora andare avanti e sviluppare queste espressioni in termini di forze, quindi al posto della σ io posso scrivere:

N (E_SA_S - ε_CS - E_cA_c) Raccogliendo il N abbiamo:

N ( ¹/_ESAS + ¹/_EcAc ) = ε_cs

Possiamo allora a questo punto ricavare il valore del N.

N = Ecs(1/EsAs + 1/EcAc)

Tale N rappresenta anche lo sforzo normale interno scambiato tra acciaio e cls per via dell'aderenza che costringe il cls ad accorciarsi per nitro meno di quello che avrebbe richiesto il solo nitro e costringe l'acciaio anche ad accorciarsi.

Introduzione dei numeri

Proviamo adesso ad introdurre dei numeri:

Ecs = 0,3 ∙ 10^-3; As = 2 cm² (1Ø16); Ac = 900 cm² (30x30 cm²)

Con tali valori risulta che:

N = 0,3 ∙ 10^-3 / (1/2.10⁶ ∙ 2 + 1/250.000 ∙ 900) = 1179 Kg

Dopo aver calcolato il valore che acciaio e cls si scambiano calcoliamo le tensioni corrispondenti:

• σ_s = N/As = 1179/2 = 589,5 Kg/cm² (Resistenza acciaio in compressione)
• σ_c = N/Ac = 1179/900 = 1,31 Kg/cm² (Resistenza cls in trazione)

Ricalcolando l'armatura abbiamo che:

N = 2311 Kg

• σ_s = 579 Kg/cm² (è praticamente invariata)
• σ_c = 2,57 Kg/cm² (rispetto a prima sale)

Tale evoluzione dei parametri, per un solo cambio ali '%', geometriadi armatura ci indica chiaramente che se noi andiamo ad armare i pilastri in modo significativo la fg tenderebbe a crescere sempre di più. Ciò può spiegare in assenza di carico.