Tecnica delle costruzioni (4)

Gusci Cilindrici

Definizione

Solido caricato simmetricamente generato dalla rotazione di un segmento

• L lunghezza finita
• S spessore
• Θ angolo di rotazione
• R raggio

Convenzione di Positività Azioni Interne

Forze interne membranali (dentro al cilindro)

Sforzi che passano all'interno di un parallelo

Equilibrio di un Concetto Infinitesimo

Carico in direzione radiale (oltre che ho fatto ellitticità del carico simmetrica)

Su questa superficie agisce una pressione interna P

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO LUNGO Z

momento in direzione radiale

R

Sull'arco tra due interfacce

per dx, facciamo agire su piccola

porzione

n₀dx

Bisogna equilibrare la componente

tangenziale principale esterna che lavora

sull'ascissa di

P

PdxRδθ

L'equilibrio prevede di considerare PdxRδθ già nella direzione z e proiettare ho abolizione

z

per proiettare devo utilizzare seno T ≈ T

Θ → 0

senso

Θ

nΘ

Θ

proiettando ottengo n₀dx δ□

L'equazione diventa

Pdx dΘ R - 2n₀ dx dΘ + (- ½ dx dΘ)

Rδθ = 0

Negl due

Pdx dΘ R = 2n₀ dx dΘ - (½ q_x dx R dΘ)

R - nΘ - ½ q_x dx = 0

Divido per R e porto P dall'altra parte e

mi risulto

dq_x

dx

nΘ ─────

R

= - P(x)

Ora devo mettere mx e no e passo alle soluzioni dell'equazione differenziale

dell'equilibrio

^{σ₂ mx}/_dx² +^mσ/_R = p(x)

{mx = Bx + B^d2W/_dx²}

{no = E₅ e = E₅ W/R

esurcidio di flego che ^βd2w/_dx⁴ + ^E₅/_R² W = p(x)

E₅ W un'analogia alla travi su albero elastico

R² e dura costante e la citatura β

^d4w/_dx⁴ + ^β/_B W = ^p(x)/_B

moltiplicando α = √^4/β/_4B e √^{β(1 - ν2)}/_R²S²

posso risolvere le equazione

^d4w/_dx⁴ + 4α⁴w = ^P(x)/_B equilibrio

congruienza e

iequame constnativo

esempio

ν = 0.28 α = 1.13/√RS

posso dimostrare nota λ = 2π/α = 2π/1.3 √RS

per un cilindro di acciaio fino R = 8/100

λ = 0.5R / se S = R/1 → λ = 1.5R

M(n) = 2t_o d_(x) momento all'incastro

M = ^βW_o / _2α²

= ^{9 R2 β} / _{Cs 2α²}

= ¹ / _2α²R

così ho il nucleo di relazione lo sforzo normale

e quello flessionale

ponendo ¹/_R² = 1,3² → M = RzS N_o = 0,3 N_o s

M_max = 0,3 N_oS

ESERCIZIO Nucleo di base e mantello

ESERCIZIO

Wo su sommità ^{σR 2}/_Es

al acl fluidi da X anche

Se non equilibrato le

vincolo dalle 2ase

NOVITA: E_o e non piu m_o

Wo = ^{t 2α}

t = ^{Wo β}/_2α

introdocendo lo sforzo membranale aulso

t = ^{W_o β}/_2α = ^{RN_o β} /_{Es 2α} = ^RN_oEs /_{ES 2α} = ^N_o /_2αR

Il andamiento del momenti coni ordinata x

sara’ con Winkler

m(x)

M_max = ^t/_3α + ^N_o/_6α²R − ^{N_o R_s}/_{6α 1,3²R} = ^N_o /_{6 1,3²}

Geometria del Guscio

asse x: lungo il meridiano

asse z: lungo la normale

asse y: ortogonale di asse x e z.

R: raggio della circonferenza che otterrei tagliando il guscio in A

M = R/seno: raggio del parallelo

Rx: raggio di curvatura sul piano xz

Ry: raggio di curvatura sul piano yz

O1: centro della curvatura nel piano xz

O2: centro della curvatura nel piano yz

I centri di curvatura stanno sull’asse z.

Rx e Ry sono il raggio minimo e il raggio massimo possibile

1^ª relazione

Vado ora a considerare un altro equilibrio.

Considero le forze omogeneamente distribuite, ed opero sui lati z proiettando da distribuzione le facce e poi sommo:

\ Scaune nx dΘ fatto il riferimento ad una lunghezza unitaria, allora moltiplicano questo valore per la larghezza effettiva dell’elemento infinitesimo: \\ \

Dobbiamo ora ricavare la seconda componente dello sforzo assiale diretto lungo y e precisamente: \

Θ=0 n_y=-¹/₂

Θ=90° n_y=1

E' un valore positivo quindi e' trazione (+)

Se soggetta a peso proprio la tavola ma e' soggetta allo sforzo

n_x = σ_x / S

n_y = σ_y / S

Se mi trovo in coincidenza di due parti da calotta

p_z=0 Θ=π/2 n_x=n_y con segno opposto

(III)

Calcolare una calotta con un carico verticale uniforme

μ calotta uniforme

Q_Θ sarà solamente questa parte di carico

quindi Q_Θ = p₀πR²senΘ

n_xf = - p₀ΤR * senΘ / 2πR * sen²Θ = - p₀R / 2

mentre n_y lo ricavo dalla seconda equazione

Ma: cos’e’ p_z?

Dalla seconda equazione -dmx + tx∙dx = 0

micaov

tx = ^dmx/_dx

che sostituito in ^dtx/_dx + Ny/R = 0 sarà

^d2mx/_dx² + Ny/R = 0

Ora, prendendo in considerazione il piano z chiamiamo W lo spostamento lungo z.

Come abbiamo fatto in precedenza

χ = ^d2w/_dx2

Considero un materiale isotropo che reagisce ugualmente a trazione e compressione

γ = ^2εx/_s

Ponendo in relazione quindi le deformazioni εx con le tensioni attraverso le leggi costitutive

[^εx/_ε ^{1 - ν}/_-ν 0] [σx] [^εy/_ε -ν 1 0] [σy] [^γxy/_ε 0 0 1] [τxy]

εx = ¹/_ε (σx - νσy)

Σ e omoge ca equilibrio εy = ¹/_ε (σy - νσx) tende a zero perché il regime è pianonare ed un contributo trascurabile

Ma se εy = 0 : ¹/_ε σy - ν/ε σx

σy = νσx

e lo vado a sostituire in εx ottenendo

εx = ^σx/_ε (1 - ν²) ⟶ σx = ^E/_1-ν² εx

Ora devo collegare le tensioni con le forze esterne.

Se abbiamo una sezione generica a c cui è applicato un momento M_t, tramite l'equazione di Navier possiamo trovare una relazione che lega M, σ e lo spessore

I termini con derivata seconda sono termini

più piccoli rispetto quelli da cui ce il dominio.

Potrei scrivere: dτ - e^-αt senδs

Se ne faccio una derivata ottengo s legato ad

Θ ed R, una: s · Θ = s₀ - Θ quindi

s = Θ R - s₀ - Θ R

dτ = e^-βt - β τ e^-βt.....

Se parto da una funzione esponenziale negativa

per una variabile e ne faccio la derivata

ottengo derivata la prima volta dτt = τt e

con via

Se faccio riferimento alla seconda equazione

- Se cotθ non e` un numero troppo grande

• dθ cotg sarà minore di dψ²
• dθ

e anche 1/cotφ sarà minore di dψ² quindi

sarà entrambi trascurabili

Faccio la stessa considerazione per la prima

equazione.

Questo calcolo non vale se θ non è piccolo, per

esempio se prendo nel caso del variamento dsu.

avere via

ellouda in smorz; prima che Θdiventi piccolo succede quandoela cupola e´ rifasnata

Rimani

una coppia di equazioni con scritto:

d²τ = - E^τ_ψ

ds²

d2ψ = - R2τds2 β

Le riscrivo un

funzione di s assuma

Spenore

d²τ = E_s^ψ

ds² R² τ_ψ

d²ψ =

ds² - τ

_β

Assuma