Syllabus Analisi Matematica 1

DOMANDE DI TEORIA:

1. Scrivere la definizione di maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo

inferiore per un sottoinsieme di numeri reali.

Maggiorante e minorante:

Sia X un campo ordinato (X=Q o X=R), sia Ø ≠ E c X. Si dice che k ϵ X è un maggiorante (minorante) per E se

∀x ϵ E x ≤ k (x ≥ k).

Massimi e minimi:

Sia X un campo ordinato (X=Q o X=R), sia Ø ≠ E c X. M (m) si dice massimo (minimo) se è maggiorante

(minorante) di E ed appartiene all'insieme.

Estremo superiore e estremo inferiore:

Sia X un campo ordinato (X=Q o X=R), sia Ø ≠ E c X. Si dice estremo inferiore (superiore) di E il massimo

∃).

(minimo) dei minoranti (maggioranti) di E (se Se E è inferiormente (superiormente) illimitato (cioè se

∀k ∃x

ϵ X ϵ E tale che k < x (k > x)) l'estremo inferiore (superiore) è - ∞ (+ ∞).

2. Scrivere la definizione di estremo superiore ed estremo inferiore per un sottoinsieme di numeri reali.

Enunciare la proprietà caratteristica di estremo superiore e estremo inferiore per insieme di numeri reali.

Estremo superiore e estremo inferiore:

Sia X un campo ordinato (X=Q o X=R), sia Ø ≠ E c X. Si dice estremo inferiore (superiore) di E il massimo

∃).

(minimo) dei minoranti (maggioranti) di E (se Se E è inferiormente (superiormente) illimitato (cioè se

∀k ∃x

ϵ X ϵ E tale che k < x (k > x)) l'estremo inferiore (superiore) è - ∞ (+ ∞). ∀x

Considerando il sottoinsieme E, m (M) è estremo inferiore (superiore) se e solo se m ≤ x (M ≥ x) ϵ E, e

∀ε ∃

> 0 x ϵ E tale che x < (m + ε) (x > (M – ε)).

ε ε ε

3. Enunciare il Principio di Induzione. (Facoltativo: esibire un esempio di applicazione)

Principio di induzione:

Sia P(n) una proprietà che dipende da n ϵ N e n ϵ N, supponiamo che:

0

1) P(n ) sia vera (passo base).

0

∀n

2) ≥ n si ha: P(n) vera ≥ P(n + 1) vera (passo induttivo).

0 ∀n

allora P(n) è vera ≥ n .

0

Esempio: ∀n

Dimostrare che ≥ 1 (+1)

(+1)

=1

∑ = } P(n) P(n) <=> 1 + 2 + 3 + 4 … + n = 2

2

Per induzione

1) Passo base: P(1) è vera?

P(1) <=> 1 = (1*2)/2 = 1 ok!

2) Passo induttivo: (+1)(+1+1)

(+1)

=1 +1

∑ ∑

= =

Ipotesi: => Tesi: =1

2 2 (+1)(+2)

(+1) (+1)+2(+1)

+1

∑ ∑ (

= + ( + 1) = + + 1) = =

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

=1 =1 2 2 2

Quindi anche P(n+1) è vera.

4. Scrivere la definizione di fattoriale e di coefficiente binomiale. Enunciare la formula del binomio di

Newton.

n! (si legge n fattoriale) rappresenta il numero di permutazioni di n oggetti distinti (cioè il numero di casi in cui

possono essere ordinati). !

( ) =

Il coefficiente binomiale è il numero di sottoinsieme di cardinalità k su n elementi dato 0 ≤ k ≤ n !(−)!

=0

−

∑

( + ) = ( )

Binomio di Newton:

a, b numeri reali, n > o. Essa equivale all'elevazione a qualsiasi potenza di un binomio.

5. Scrivere la definizione di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Scrivere la definizione di funzione

inversa. Dato il grafico di una funzione invertibile, dire come si disegna il grafico della sua inversa.

Data una funzione f: X -> Y, f si dice iniettiva se vale una delle seguenti proprietà equivalenti:

∀x ≠ ≠

- , x ϵ X se x x allora f(x ) f(x )

1 2 1 2 1 2

∀x

- , x ϵ X se f(x ) = f(x ) se x = x

1 2 1 2 1 2

∀y -1

- ϵ Y f (y) è o vuoto o contiene solo un elemento.

∀y ∃ ≠ Ø ∀y

-1

Data una funzione f: X -> Y, f si dice suriettiva se ϵ Y x ϵ X e f(x) =y, cioè f (y) ϵ Y

∀y ∃

Data una funzione f: X -> Y, f si dice biettiva se è sia iniettiva sia suriettiva, cioè se ϵ Y unico x ϵ X tale che

-1 -1 -1

f(x) = y. Si chiama tale x = f (y) e f è la funzione inversa di f equivale a f : Y -> X.

Dato il grafico di una funzione invertibile, il grafico della sua inversa è simmetrica rispetto alla bisettrice del

primo e del terzo quadrante rispetto alla f.

6. Scrivere la definizione di funzione limitata, funzione monotona, funzione simmetrica e funzione periodica.

∀tipo

Disegnare un grafico di funzione.

Funzione limitata: ∃ ∀x

Sia f: D c R -> R, f si dice limitata se l'insieme f(D) è limitato, cioè m, M tali che: m ≤ f(x) ≤ M ϵ D.

Funzione monotona:

Sia f: D c R -> R, f si dice:

∀x

- monotona crescente se , x ϵ D con x < x si ha f(x ) ≤ f(x ) (se invece f(x ) < f(x ) si dice monotona

1 2 1 2 1 2 1 2

strettamente crescente) ∀x

- monotona decrescente se , x ϵ D con x < x si ha f(x ) ≥ f(x ) (se invece f(x ) > f(x ) si dice monotona

1 2 1 2 1 2 1 2

strettamente decrescente).

Funzione simmetrica:

Sia f: D c R -> R con D tale che se x ϵ D allora -x ϵ D si dice che:

∀x

-f è pari se f(x) = f(-x) ϵ D.

∀x

-f è dispari se f(x) = -f(-x) ϵ D.

Funzione periodica:

Sia f: D c R -> R, f si dice periodica di periodo T > 0 se T è il più piccolo reale tale che dato x ϵ D con x-T, x+ T ϵ D

si ha: f(x) = f(x + T) = f(x- T).

7. Dimostrare che la stretta monotonia implica l’invertibilità di una funzione, considerata dal suo dominio al

suo insieme immagine.

La condizione di invertibilità di una funzione è il fatto che sia biettiva, ovvero che sia iniettiva e suriettiva.

Sia f: D c R -> R strettamente monotona, quindi

x < x si ha f(x ) < f(x ) o x > x si ha f(x ) > f(x )

1 2 1 2 1 2 1 2

f(x ) ≠ f(x ), quindi la funzione è iniettiva.

1 2

Se f è iniettiva allora f definita (D -> R) se f: D -> Y è iniettiva allora f: D -> f(D) c Y è anche suriettiva e quindi

invertibile.

8. Scrivere la definizione di successione convergente e di limite per una successione.

∃ ∀

Sia {a } una successione, diremo che a è convergente se un numero reale l, tale che ε > 0 la proprietà

n n ϵ N n

P (n) = {| a - l| < ε} è definitivamente vera.

ε n

In tal caso si dirà che il limite per n che tende a +∞ di a è l scrivendo:

n

lim = ∀ ∃ ∀

se e solo se ε > 0 una n tale che l - ε < a < l + ε n > n .

ε n ε

→+∞

9. Scrivere la definizione di successione convergente, divergente ed irregolare. Esibire un esempio per tipo.

Data {a } si dirà che:

n n ϵ N ∀

- {a } converge ad un numero reale l se ε > 0 la proprietà P (n) = {| a - l| < ε} è definitivamente vera.

n ε n

∀

- {a } diverge a + ∞ se M > 0, la proprietà P (n) = {a > M} è definitivamente vera, in questo caso si scrive

n m n

lim = +∞

→+∞ ∀

- {a } diverge a - ∞ se M > 0, la proprietà P (n) = {a < -M} è definitivamente vera, in questo caso si scrive

n m n

lim = −∞

→+∞ lim =

- {a } è irregolare quando

n →+∞

+ esempi

10. Scrivere la definizione di successione limitata. Dimostrare che se una successione è convergente, allora

essa è anche limitata. Dire se è vero il viceversa. (in caso contrario, dare un controesempio)

∃ ∀

Data {a } diremo che essa è limitata se un minorante m e un maggiorante M tale che m ≤ a ≤ M n, essa

n n ϵ N n

può essere o convergente o irregolare.

Se {a } è convergente allora essa è limitata poiché se la successione è convergente sappiamo che il suo

n n ϵ N

limite è l, ∃ ∀

fissiamo ε = 1, allora n ϵ N tale che l - 1 < a < l + 1 n ≥ n .

1 n 1

Sia A l'insieme che comprende tutti i punti della successione {a } (prima di a ) = {a , a , ..., a , l + 1, l - 1 }, A è

n 1 0 1 n-1

∀

un insieme finito quindi ammette massimo (M) e minimo (m). Quindi m ≤ a ≤ M n ϵ N.

n

n

Il viceversa non è vero, esempio a : (-1) .

n

11. Enunciare e dimostrare il teorema dell’unicità del limite per le successioni. Se {a } è una successione

n

convergente a l, allora l è unico.

Se {a } è una successione convergente a l allora l è unico.

n n ϵ N

Dimostrazione:

supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti l ≠ l (l < l ).

1 2 1 2

Prendiamo ε < | l - l | /3 in modo che

1 2

I

- = (l - ε, l + ε)

1 1 1

I

- = (l - ε, l + ε)

2 2 2

∩

I l = Ø

1 2 lim = ∃ ∀n I

poiché , allora n , tale che ≥ n , {a } ϵ ,

1 1 1 n 1

→+∞

lim = ∃ ∀n l

poiché , allora n , tale che ≥ n , {a } ϵ ,

2 2 2 n 2

→+∞

∀n I I l ∩ l

> max{n , n }, {a } ϵ e , cioè {a } ϵ , ma essa è l'Ø, quindi è assurdo.

1 2 n 1 2 n 1 2

12. Scrivere la definizione di successioni monotone. Enunciare e dimostrare il Teorema sul limite delle

successioni monotone. ∀(n+1)

Data {a } una successione, {a } si dice crescente (decrescente) se > n, allora a (n+1)≥ a (a (n+1)≤ a ).

n n n n n n

∀(n+1)

Data {a } una successione, {an} si dice strettamente crescente (decrescente) se > n, allora a (n+1)> a

n n n

(a (n+1)< a ).

n n

Sia {a } una successione monotona, allora la successione è regolare. In particolare:

n lim =

se {a } è crescente sup{a tale che n ϵ N}

n n

→+∞

lim =

se {a } è decrescente inf{a tale che n ϵ N}

n n

→+∞

Dimostrazione:

Se la successione è monotona crescente l'estremo superiore può essere

1) + ∞

∀M ∃

> 0 a tale che a > M, se n > n allora a ≥ a > M

n n M n n

M M M

∀M ∃ ∀n lim = +∞

> 0 n tale che a > M ≥ n =>

M n M →+∞

2) numero finito l

∃ un maggiorante l tale che a ≤ l

n

∀ε ∃

quindi > 0 a tale che l - ε ≤ a

nε nε

se n ≥ n allora a ≥ a > l - ε

ε n nε ∀n

quindi l - ε < a ≤ a ≤ l < l + ε ≥ n

nε n ε

lim =

→+∞

13. Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni e dimostrarlo nel caso del limite della somma

o del prodotto.

Algebra dei limiti 1 lim = lim =

Siano {a } e {b } due successioni convergenti e allora:

n n ϵ N n n ϵ N →+∞ →+∞

lim ± = ±

1)

→+∞

lim ∙ = ∙

2)

→+∞

lim =

3) se b ≠ 0 e b ≠ 0

n

→+∞

Dimostrazione del prodotto:

lim = lim =

Ipotesi: e

→+∞ →+∞

lim ∙ = ∙

Tesi:

→+∞ ∀ε ∃ ∙ − ∀n

quindi si deve dimostrare che > 0 n tale che | | < ε ≥ n

ε ε

lim = ∃ − ∀n

a a

<=> data ε > 0 n tale che | | ≤ ε ≥ n

ε ε

→+∞

lim = ∃ − ∀n

b b

<=> data ε > 0 n tale che | | ≤ ε ≥ n

ε ε

→+∞

∙ − ∙ − ∙ + ∙ − |

| | = |

( − ) + ( − )| ( − )| + |( − )|

| ≤ |

| ||

( − )| + |( − )| | − | + | − ||

| = |

∃

siccome { } è convergente allora { } è limitata quindi n > 0 tale che | | ≤ M

||

∙ − | − | + | − |

| ≤ M|

Si fissa ε > 0 ε ε

lim = ∃ ∀n −

si considera ε = poiché n tale che ≥ n | | <

1 ε1 ε1

2 2

→+∞

ε ε

lim = ∃ ∀n −

si considera ε = poiché n tale che ≥ n | | <

2 ε2 ε2

2|| 2||

→+∞

sia n = max{ n , n }

ε ε1 ε2 ε ε

||

∙ − | − | + | − | ε

se n ≥ n | ≤ M| < M + |b| =

ε 2 2||

14. Enunciare e dimostrare il Teorema della permanenza del segno per successioni, nelle due forme.

Teorema della permanenza del segno:

I forma: lim = > 0 ∃ ∀n ∀n

data { a } se allora n’ tale che a > 0 ≥ n' se a < 0 => a < 0 ≥ n'

n n ϵ N n n

→+∞

Dimostrazione:

lim = > 0

→+∞

∃ ∀n

dato ε = n tale che ≥ n => | a - a | <

ε ε n

2 2

3

= a - < a < a + =

n

2 2 2 2

∀n

in particolare a ≥ > 0 ≥ n

n ε

2

II forma: ∀n lim = ≥ 0

se a ≥ 0 allora

n →+∞

∀n lim = ≤ 0

se a ≥ 0 allora

n →+∞

Dimostrazione: lim = ≥ 0

se a ≥ 0 =>

n →+∞ ∀n

se pur essendo a < 0, allora per il teorema della permanenza del segno (I forma) si avrebbe a < 0 ≥ n'

n

contraddicendo l'ipotesi che a > 0.

n

15. Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (detto anche dei due Carabinieri) per successioni.

Teorema del confronto:

siano {a }, {b }, {c } tre successioni tali che:

n n n

∀n

1) a ≤ c ≤ b

n n n

lim = = lim

2)

→+∞ →+∞ lim =

allora {c } è convergente e

n →+∞

Dimostrazione: lim =

L ϵ R, da dimostrare che

→+∞

∀ε ∃ ∀n

cioè > 0 n tale che l - ε ≤ c ≤ l + ε ≥ n .

ε n ε

lim = , ∀ε ∃ ∀n

1) > 0 n tale che l - ε ≤ a ≤ l + ε ≥ n

1 n 1

→+∞

lim = , ∀ε ∃ ∀n

2) > 0 n tale che l - ε ≤ b ≤ l + ε ≥ n

2 n 2

→+∞ ∀n

sia n = max{n , n } abbiamo ≥ n

ε 1 2 ε

l-ε ≤ a ≤ c ≤ b ≤ l+ε

n n n ∀n

l-ε ≤ c ≤ l + ε ≥ n

n ε ∪

16. Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni in R {±∞} (”algebra degli infiniti”).

Fare esempi di forme indeterminate.

Data {a } e {b } si ha:

n n

lim = + ∞ lim + = + ∞

1) se e {b } è inferiormente limitato, allora

n

→+∞ →+∞

lim = − ∞ lim + = − ∞

2) se e {b } è superiormente limitato, allora

n

→+∞ →+∞

(−

lim = + ∞ ∞) lim = b ≠ 0, lim ∙ = ()∞ ∙ (−sgn(a) ∞)

3) se e allora

→+∞ →+∞ →+∞

in particolare a --> + ∞ b --> + ∞ a + b --> + ∞

n n n n

b --> b a + b --> + ∞

n n n

1

4) se | a | --> + ∞ allora --> 0

n

5) sia {a } infinitesima,

n 1

+

lim = 0 lim = + ∞

se , allora

→+∞ →+∞

1

−

lim = 0 lim = − ∞

se , allora

→+∞ →+∞

(fare esempi di forma indeterminate)

17. Enunciare e dimostrare il Criterio del rapporto per successioni positive.

Criterio del rapporto per successioni positive: +1

∃ lim = l

Sia {a } una successione con a > 0, se ϵ R U {+∞}

n n +

→+∞

allora si ha:

1) se L < 1 la successione è infinitesima

2) se L > 1 la successione è infinita

3) se L = 1 non si può concludere nulla

Dimostrazione: