Sviluppi di Taylor (con esempi)

Polinomio di Taylor e approssimazione locale

Sappiamo che: se f è derivabile in x₀, allora f è approssimata dalla retta tangente.

La retta tangente è un polinomio di 1° grado: q = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).

Cercando di approssimare la funzione con polinomi di grado maggiore, mi limito sempre di più ad un'approssimazione "verticale".

Approssimazione con grado 2

Proviamo con grado 2 (parabola):

T₂(x) = a₀ + a₁(x - x₀) + a₂(x - x₀)².

Cerchiamo valori a₀, a₁, a₂ in modo tale che T₂ abbia in comune con f, il valore nel punto, il valore di f' nel punto ed il valore di f'' nel punto.

→ In questo modo ho la parabola che meglio approssima la funzione.

T₂(x₀) = f(x₀).

T'₂(x₀) = f'(x₀).

T''₂(x₀) = f''(x₀).

T₂(x₀) = a₀ + a₁ 0 + a₂ 0 = a₀ ⇒ a₀ = f(x₀).

T'₂(x₀) = a₁ + 2a₂ 0 = a₁ ⇒ a₁ = f'(x₀).

T''₂(x₀) = 2a₂ ⇒ 2a₂ = f''(x₀).

Ripresa dell’approssimazione con parabola

Sappiamo che: se f è derivabile in x₀, allora f è approssimata dalla retta tangente.

La retta tangente è un polinomio di 1° grado: q = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).

Cercando di approssimare la funzione con polinomi di grado maggiore, mi unisco sempre di più ad un'approssimazione "verticale".

Proviamo con grado 2 (parabola):

T₂(x) = a₀ + a₁(x - x₀) + a₂(x - x₀)².

Cerchiamo valori a₀, a₁, a₂ in modo tale che T₂ abbia in comune con f, il valore nel punto, il valore di f' nel punto ed il valore di f'' nel punto.

→ In questo modo ho la parabola che meglio approssima la funzione.

T₂(x₀) = f(x₀) ⇒ a₀ = f(x₀).

T₂'(x₀) = f'(x₀) ⇒ a₁ = f'(x₀).

T₂''(x₀) = f''(x₀) ⇒ 2a₂ = f''(x₀).

L'unico polinomio di grado ≤ 2 che abbia in comune con f i valori di: f(x₀), f'(x₀), f''(x₀) è il seguente:

T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x–x0) + f''(x0)(x–x0)22.

Polinomio che esprime la tangente.

Definizione generale del polinomio di Taylor

In generale, si potrà dimostrare che l'unico polinomio di grado ≤ n che ha in comune con f, derivabile n volte in x₀, i valori delle derivate da quella di ordine no a quella di ordine n, è il polinomio:

Tn(x) = f(x0) + f'(x0)(x–x0) + f''(x0)(x–x0)22 + ... + f(n)(x0)(x–x0)nn! = Σnk=0 f(k)(x0)k!(x–x0)k.

Questo polinomio è detto polinomio di Taylor di ordine n centrato in x₀, della funzione f.

Sarebbe più corretto indicato con T_{n, x 0}(x), [se è chiaro dal contesto, si omette il pedice x₀].

Nel caso x₀ = 0, il polinomio è detto polinomio di Maclaurin.

Teorema: formula di Taylor con resto di Peano

Teorema. (formula di Taylor con resto di Peano)

Ip. Sia f definita in un intorno di x₀ e derivabile almeno n-volte in x₀.

Tl: ∃! un polinomio P_n(x) di grado ≤ n tale che f(x) = P_n(x) + o (x–x₀)ⁿ per x → x₀.

Risulta inoltre che P_n(x) = T_n(x), dove T_n(x) è il polinomio di Taylor di ordine n di f, centrato in x₀.

Il termine o (x–x₀)ⁿ è detto di resto di Peano.

Nota: la formula di Taylor viene anche detta sviluppo di Taylor.

Come applicare questo risultato?

• Grafico.
• Limiti.

Applicazione ai grafici locali

Applicazione ai grafici locali:

1. f(x) = ¹/_{x² - x}.

Calcoliamo la formula di Taylor al secondo ordine, con resto di Peano, centrata in x₀ = 2, per la funzione f. Dedurne un grafico locale:

f(x) = (x² - x)^-1.

f(2) = ¹/₄ = ¹/₂.

f'(x) = -¹/_{2 (x - 2)} (x² - x)^-2.

f''(x) = 2 (x² - x)^-3.

f'(2) = -¹/₄ 9 (-2) ¹/₈ = ¹/₂ + ⁹/₄ = ⁷/₄.

f(x) = ¹/₂ + ³/₄ (x - 2) + ⁷/₄ (x - 2)² o (x - 2)² x → 2.

Ora vogliamo costruire un "grafico locale".

Per grafico locale, si intende un grafico che, in un intorno di x₀, abbia la stessa tangente al grafico di f e la stessa posizione rispetto alla tangente stessa.

Retta tangente in x = 2 al grafico di f è:

y = T₁(x₀) = f(x₀) + f'(x) (x - x₀) = ¹/₂ + ³/₄ (x - 2).

f(x) - T₁(x)_{x = ¹/8 (x - 2)² + o (x - 2)² ∼ ⁷/8 (x - 2)² x → 0}.

(x - 2)² > 0 ∀x ≠ 2.

Dato che le funzioni asintotiche hanno stesso segno nell’intorno di x₀, allora:

⇒ in un intorno di x₀ = 2: f(x) - T₁(x) > 0 ⇒ f(x) > T₁(x).

Esempio con sviluppo al secondo ordine

Supponiamo che f∈C²(ℝ) abbia sviluppo al 2° ordine:

f(x) = 3 + (x - 1)² + O((x - 1)²) + o(x - 1)² x → 1.

Si può tracciare il grafico locale qualitativo in base allo sviluppo.

Tangente in x = 1:

y = T₁(x) = 3 + (x - 1).

Differenza:

f(x) - T₁(x) = 0(x - 1)².

⇒ Non è possibile tracciare il grafico locale.

Supponiamo che al 3° ordine:

f(x) = 3 + (x - 1) + O((x - 1)²) + 3(x - 1)³ + o(x - 1)² x → 1.

È possibile in questo caso?

Tangente:

T₁(x) = 3 + Cx - 1.

Differenza:

f(x) - T₁(x) = 3(x-1)³ + o(x-1)³ ≃ 3(x-1)³ > 0   x > 1.

In un intorno destro di x=1: f(x) ≥ T₁(x).

" " sinistro di x=1: f(x) ≤ T₁(x).

x = 1 flesso ascendente.

Esempio con sviluppo al quarto ordine

Supponiamo che al 4° ordine (per una funzione f ∈ C^∞(R)):

f(x) = -1 + (x+1) + π(x-1)⁴ + o(x-1)⁴   x → 1.

Tracciare un profilo locale:

Tangente: T₁(x) = -1 + (x+1).

Differenza:

f(x) - T₁(x) = π(x-1)⁴ + o(x-1)⁴ ≃ π(x-1)⁴ > 0   ∀ x ≠ 1.

Nell'intorno di: x=1 ho f(x) > T₁(x).

Oss: f''(x)=0, ma x=1 non è (punto di flesso).

La condizione sulla f''(x)=0 è necessaria, ma non sufficiente per l'esistenza del flesso.

È stato necessario lo sviluppo al 6° ordine.

PS. L'esponente di o((x-x₀))ⁿ sto guardando uno sviluppo di ordine n.

Applicazione al calcolo di stime asintotiche e di limiti

Applicazione al calcolo di stime asintotiche e di limiti.

(a) Calcolare lo sviluppo di MacLaurin al 3° ordine, della funzione f(x)=arctg(x).

(b) Calcolare lim_x→0⁺g_α(x) al variare di α∈ℝ, essendo g_α(x) = ^{arctg x - x}/_x^α.

Sviluppo di MacLaurin di arctg

(a)

f(0) = 0.

f'(x) = ¹/_{1 + x²}.

f'(0) = 1.

f''(x) = - ^(2x)/_{(1 + x²)²}.

f''(0) = 0.

f⁽ⁿ⁾(x) = - ^{2(1 + x2)2 - 2x • 2x(1 + x2)}/_{(1 + x²)⁴}.

f^''(0) = -2.

Lo sviluppo è:

f(x) = 0 + 1 x + ⁰/_2! + ^-2/_3! x³ + o(x)³ = x - ^1/3 x³ + o(x)³.

Limite con arctg e parametro α

(b)

arctg x - x = > No!

arctg x - x = x³/3 + o(x)³.

x x³/3 + o(x)³ x x x³/3.

arctg x - x / x x³/3x { 0 α=31/3 α=3-∞ α>3}.

Oss. Se 0 < α ≤ 1 potevo fare, anche senza Taylor:

f_α(x) = arctg x - x / x x^-α = (arctg x / x - 1) x^-α (1-1)(0)=0.

Se α > 1 non l'avrei potuto fare -→ Non avrei raggiunto la soluzione "totale" -2).

Limite con seno e sviluppo di Taylor

Per x → 0 vogliamo calcolare lim x → 0 (sin x/x)^1/x → F.I. 1⁰.

f(x) = (sin x/x)^1/x = (ex ln (sin x/x) )^1/x = e1/x ln (sin x/x) → F.I. e0/0.

e1/x ln (sin x/x) 1/x (sin x - x / x) = sin x - x / x³ = x⁶/6 + 0(x)³ x³ x³ x x³ - 1/6.

lim x → 0 (sin x/x)^1/x = e-1/6.

Calcoliamo lo sviluppo di Taylor.

Chiamando g(x) = sinx.

g(0) = 0.

g'(x) = cosx.

g'(0) = 1.

g''(x) = -sinx.

g''(0) = 0.

g'''(x) = -cosx.

g'''(0) = -1.

T₃(x) = x - 1/3! x³ + o(x³) == x - x³/6 + o(x³).

Sviluppo di sinx al 3° ordine.

Guardiamo lo sviluppo di sinx.

Ordine 3: x - x³/3! + x⁵/5! + o(x)⁵.

Ordine 6: x - x³/3! + x⁵/5! + o(x)⁶.

In generale, all’ordine n = 2m+1 (dispari)

sinx = x - x³/3! + ... + (-1)^mx^2m+1/(2m+1)! + o(x^2m+1).

Questo è uno sviluppo notevole!

Altri sviluppi notevoli, sono:

• Cosx.
• E^x.
• Log(1 + x).
• (1 + x)^α (α ≠ 0).
• Sh x.
• Ch x.

Oss. su 2: Con lo sviluppo al secondo ordine, avrei avuto:

= k + o(x)² ≠ o(x)².

Non basta lo sviluppo al secondo ordine.

Sviluppi notevoli e funzioni più complesse

Si possono utilizzare gli sviluppi notevoli per calcolare sviluppi di funzioni più complesse.

ES: f(x) = sin x³, da:

sin t = t - ^t3⁄₆ + o(t)³ sostituendo t=x³:

sin x³ = x³ - ^x9⁄₆ + o(x)⁹ ↦ sviluppo di ordine 9 di sin x³.

Derivabilità da destra in x=0

Stabilire se f(x) = e^√x - 1 - √x - ^x⁄₂ è derivabile da dx in x=0.

f(x) - f(0) = ^{e√x - 1 - √x - x⁄₂ - 0}⁄_x.

Sviluppo dell'esponenziale:

e^t = 1 + t + ^t2⁄₂ + ^t3⁄_3! + ... + ^tn⁄_n! + o(t)ⁿ t→0.

n=2: Con t=√x: e^√x = 1 + √x + ^x⁄₂ + o(x).

(*) ^{√x +x⁄₂ + o(x) - 1 - √x - x⁄₂}⁄_x = ^o(x)⁄_x.

x →0⁺= 0 ↔ è derivabile da destra in x=0 con f₊'(0) = 0.