Riassunto esame statistica, docente Giordano, libro consigliato Introduzione alla statistica per le applicazioni economiche (volume 1 e 2), Cosimo D. Vitale

CAPITOLO 1

RILEVAZIONI STATISTICHE E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

LA STATISTICA STUDIA INSIEMI DI FENOMENI, DETTI COLLETTIVI (cioè che si ripetono su più unità), ALL'INTERNO DEI QUALI CERCA DI INDIVIDUARE DELLE REGOLARITÀ. DOPO AVER RACCOLTO E ANALIZZATO LE INFORMAZIONI TRAMITE STRUMENTI PRECISI LE INFORMAZIONI DI BASE SONO LE RILEVAZIONI STATISTICHE.

RILEVAZIONE STATISTICA

- Raccolta di informazioni su uno o più fenomeni attraverso strumenti statistici.

RILEVAZIONE DI POPOLAZIONI (TOTALE) (es. Il censimento)

Il fenomeno viene osservato sull’intera popolazione, intesa come insieme di elementi (persone - animali) che hanno in comune una o più caratteristiche prefissate.

Prima si deve definire:

• Unità di rilevazione - oggetti su cui vengono raccolte le informazioni.
• Caratteri - fenomeni dell’unità di rilevazione su cui si vuole raccogliere informazioni.

Rilevazioni campionarie (parziali)

Il fenomeno viene osservato solo su una parte delle unità statistiche.

Rilevazione semplice

Per ogni unità statistica si assegnano informazioni su un solo carattere (ad es "reddito").

Rilevazione multipla

Su più di un carattere simultaneamente.

Le rilevazioni statistiche si possono classificare anche in base al tipo di carattere che viene rilevato:

• Qualitativo -> Mutabile -> le cui modalità sono qualitate
• Quantitativo -> Variabile -> quantitative (cioè si manifestano con 1 numero)

Quindi le rilevazioni possono generare variabili e mutabili. Le variabili possono essere discrete o continue a seconda che il carattere possa assumere un num. infinito, finito di valori. Le mutabili sono sempre discrete.

Es.:

• X = num di figli = variabile discreta (perché una famiglia non può avere 1,5 figli)
• X = reddito = continua

m_i

Carattere sulla forma di distribuzione assoluta

f_i

Insieme frequenze relative

Partendo dalle frequenze assolute ottengo le f_i, ma conoscendo solo le f_i non posso arrivare alle M_i se non conosco N.

f_i

Distribuz. con frequenze relative

F_i

Distribuz. con frequenze relative cumulate

Conoscendo le f_i posso arrivare a F_i, e viceversa. Sono equivalenti:

• f₂=F₁
• f₂=F₂-F₁

Esempio

0 < f < 1

Monotona non decrescente

La media non cambia

La variabile discreta perché tra 2 e 3 non c’è nulla

Come giustifichiamo allora M_x = 2,9?

Questo valore è rappresentativo della variabile, che è discreto cioè non posso avere un’osservazione 2,9 ma si può avere un indice 2,9si fa riferimento alle unità statistiche, all’osservazione che può assumere essere certi indici.

Medie con distribuzione di frequenza semplice per classi

Aprossimazione:

X₀ + X₁ = C₁ valore centrale

X_k-1 + X_k - C_k

di base aver calcolato tutti i valori centrali

M_x = 1/N Σ_i=1^k C_i M_i

Es (5) Proprietà

(DATI NON RAGGRUPPATI)

• X
• Y -> esprimiamo i redditi in migliaia di €

• 800 --> 0,8
• 1000 --> 1
• 1200 --> 1,2
• 3000 --> 3

M_x = 1000

M_y = 1

È una trasformaz lineare perchè:

a = 0

b = 1/1000

Y₁ = 1/1000 • 800 = 0,8

Per la 5^a proprietà : M_y = a + b • 1000 = 1/1000 • 1000 = 1

MEDIANA DISTRIBUZ DI FREQUENZA PER CLASSI

PER TROVARE LA MEDIANA CONSIDERIAMO UN'IPOTESI DI LINEARITÀ: LE DISTRIB SONO EQUIDISTRIBUITE CIOÈ SONO RAPPRESENTATE DA UNA RETTA

Prendiamo sull'asse y il valore 0.5, ricordando che Fi ≥ 0.5

Devo trovare sull'asse X quel punto che corrisponde all'ordinata pari a 0.5 (cioè Me)

Lo trovo utilizzando la geometria euclidea, considerando il triangolo ABC e il suo simile A'B'C'

• AB: X_i - X_i-1
• AB': Me - X_i-1
• BC: Fi - F_i-1
• B'C': 0.5 - F_i-1

AB : AB' = BC : B'C'

(X_i - X_i-1) : (Me - X_i-1) = (F_i - F_i-1) : (0.5 - F_i-1)

Me - X_i-1 = (X_i - X_i-1) . 0.5 - F_i-1 / Fi - F_i-1

Me = (X_i - X_i-1) . 0.5 - F_i-1 / Fi - F_i-1 + X_i-1

* Per definiz la Mediana è quel valore che divide a metà, cioè corrisponde a una Fi=0.5

2 casi:

H₂ ≥ M non esistono valori eccezionalmente grandi H₂ ≤ M almeno 1 osservaz. è più grande di H₂

Es:

0.7, 0.8, 0.8, 1.1, 1.1, 1.3, 1.5, 2.5…N = 10 m = 0.7   Q₁ = 0.8   Q₂ = M = 1   Q₃ = 1.3   M = 2.5 H₁ = 0.8 - 1.5 (1.3 - 0.8) = 0.05 H₂ = 2.05

Poichè b non dipende da i lo mettiamo in evidenza rispetto alla E:

CASO PARTICOLARE (TRASFORMAZ. LINEARE)

(supponiamo che sia strettam positiva, cioè la varianza anche se di poco c'è)

x: VAR. STATISTICA

DISTRIBUZ. TRASFORMATA Z:

^{x - M_x}/_σx . Z_i = ^{X_i - M_x}/_σx

^{Z - M_x}/_σx + ¹/_σx

PARTICOLARE TIPO DI TRASFORMAZ. LINEARE, DETTA STANDARDIZZAZIONE

Poichè M_y = a + b M_x → M_z = ^M_x/_σx + ¹/_σx

σ²_z - (¹/_σx)² σ²_x = 1

LA MEDIA DELLA VAR. STANDARDIZZATA E’ SEMPRE 0, LA VARIANZA È SEMPRE 1

La Curtosi (Kurtosi)

Indagando la pesantezza delle code (cosa a quanto sono elaborate, fluttuano dalle medie)

Una coda si dice pesante quando ha una distanza dall'asse x maggiore rispetto ad un'altra (le sue frequenze sono più alte, e ci sono più unità statistiche che hanno un certo carattere).

La curtosi a dice quanto è rappresentativa la media aritmetica, infatte quando la coda è pesante, ciò dice che ci sono molte unità statistiche che hanno valori molto diversi dalla media, di conseguenza la media rappresenta poco l'intera distribuzione.

Indice di curtosi:

Y₂ = (1 / Nσ_x⁴) Σ (X_i - M_x)⁴ m_i - 3.

1/N Σ_i=1^k ((X_i - M_x) / σ_x)⁴ m_i - 3 = 1/N Σ_i=1^k z_i⁴ - 3

1/N Σ_i=1^k z_i⁴ m_i = 0

Y₂

• < 0: distribuzione platicurtica = poche osservazioni lontano dalle medie
• = 0: " mesocurtica =
• > 0: " leptocurtica = curtosi elevata: molte osservazioni lontane delle medie

Limite inferiore di y₂:

Y₂ > -2

Y₂ > 1/N Σ z_i⁴ m_i - 1

(anche in questo caso prendendo una distribuzione a parte ti rendi conto che M = 0 e σ_i = 1