Riassunto esame Statistica, prof. Rosato, libro consigliato Introduzione alla statistica per la ricerca sociale, Albano,Testa

Per statistica monovariata si intende l’insieme degli strumenti statistici che

permettono di rispondere a domande relative a una singola variabile.

La distribuzione semplice di frequenze è un modo di organizzare i dati che

affianca a ogni modalità della variabile in esame la frequenza con cui essa si è

manifestata nel collettivo. A seconda del tipo di variabile la distribuzione di

frequenza assume nomi diversi: serie sconnessa di frequenze, se la variabile è

categoriale; serie ordinata di frequenza, se la variabile è ordinale e seriazione di

frequenze se la variabile è cardinale.

Per sintetizzare e meglio cogliere l’informazione contenuta in una distribuzione

di frequenze, si possono utilizzare anche delle rappresentazioni grafiche. Per

ogni tipo di variabile esistono diversi formati grafici. Per le serie sconnesse di

frequenze i grafici più utilizzati sono il diagramma a barre e il diagramma a

torta. Nel diagramma a barre le modalità della variabile sono rappresentate da

rettangoli aventi tutti la stessa base e una altezza proporzionale alla frequenza

con cui la modalità si è manifestata nel collettivo. Nel grafico possono essere

riportate le frequenze assolute, quelle relative o quelle percentuali. Al grafico a

barre è preferibile il diagramma a torta. Quest’ultimo ha il vantaggio di non

indurre il lettore ad intravedere tra le modalità un ordine da sinistra verso

destra. Nel diagramma a torta sono riportati tanti settori quante sono le modalità

e l’area di ciascun settore è proporzionale alla frequenza della modalità

corrispondente. La rappresentazione grafica di una serie ordinata di frequenze

avviene solitamente attraverso un istogramma. Un istogramma differisce da un

diagramma a barre per il fatto che in esso i rettangoli sono accostati uno all’altro,

senza spazi intermedi, per sottolineare la contiguità fra le categorie, cosa che ha

senso solo quando queste presentano un ordine. Attraverso l’istogramma si

possono rappresentare frequenze assolute, relative o percentuali. Anche delle

frequenze cumulate è possibile dare una rappresentazione grafica, attraverso

quella che viene chiamata spezzata a gradini. La rappresentazione grafica di una

seriazione di frequenze avviene anch’essa attraverso un istogramma, in questo

caso però, la base dei rettangoli è proporzionale all’ampiezza di classe e l’altezza

non rappresenta le frequenze, bensì le densità di frequenza. Talvolta

all’istogramma si preferisce la poligonale di frequenze. La poligonale di

frequenze può essere ottenuta a partire dall’istogramma, congiungendo con una

spezzata i valori centrali delle basi superiori di ciascuna classe. Il ricorso alla

poligonale, in alternativa all’istogramma, è utile quando si debbano confrontare

le distribuzioni di due o più collettivi riferite alla medesima variabile, nel qual

caso la sovrapposizione di rettangoli potrebbe rendere di non facile lettura il

grafico, oppure nel caso in cui le classi siano molto numerose. Quando il

collettivo è molto ampio e le classi hanno un’ampiezza molto piccola la

poligonale tende ad assumere l’aspetto di una curva continua. Le curve continue

spesso vengono utilizzate come modelli teorici per descrivere distribuzioni

empiriche. Una curva molto utilizzata a questi fini è la curva normale detta

anche di Gauss, un particolare tipo di curva a campana. Anche nel caso di

variabili cardinali è possibile dare una rappresentazione delle frequenze

cumulate mediante una poligonale, che in questo caso prende il nome di ogiva.

L’ogiva costruita a partire dai dati effettivamente rilevati è una linea spezzata;

anche in questo caso, quando il collettivo è molto ampio e le classi hanno una

ampiezza molto piccola la poligonale tende ad assumere l’aspetto di una curva

continua. Le distribuzioni di frequenze costituiscono solo uno dei modi possibili

per sintetizzare le informazioni relative a un collettivo. Spesso le informazioni

relative a una distribuzione (vettori) vengono riassunte in un singolo scalare

(numero). La perdita di informazioni che questa operazione necessariamente

comporta è compensata dalla maggior facilità con cui è possibile valutare come

un determinato fenomeno cambi nel tempo o nello spazio. Gli operatori

statistici monovariati sono quei dispositivi che sintetizzano la distribuzione di

una variabile in uno scalare. Si distinguono solitamente tre classi principali di

operatori monovariati:

Operatori che servono a valutare la tendenza centrale;

• Operatori che servono a valutare la dispersione;

• Operatori che servono a valutare la forma.

•

Gli operatori di tendenza centrale restituiscono uno scalare che ha il compito di

esprimere sinteticamente come si è manifestata la proprietà in esame nel

collettivo considerato. Una misura di tendenza centrale è un valore che

rappresenta al meglio la distribuzione intera; esso può essere rappresentativo

(centrale) in quanto è il più frequente oppure perché occupa una posizione

intermedia nella distribuzione o ancora perché costituisce un vero e proprio

centro geometrico della distribuzione in esame. Una proprietà che accomuna

tutti gli operatori di tendenza centrale è il fatto di produrre un valore che è

compreso tra quelli che la variabile può assumere. Una misura di tendenza

centrale, in altre parole, deve rispettare il criterio di internalità.

Gli operatori di dispersione hanno il compito di restituire uno scalare che

informi circa la diversità esistente tra le osservazioni. Quando le variabili sono

cardinali, gli indici di forma valutano la simmetria o asimmetria della

distribuzione.

Quando una variabile è categoriale l’operatore di tendenza centrale adeguato a

rappresentare la distribuzione è la moda (o norma), ovvero la modalità più

ricorrente della variabile. La moda può essere calcolata anche per variabili

ordinali e cardinali. In questo caso, parliamo di distribuzioni unimodali se esse

hanno un solo punto di massimo; parliamo di distribuzioni bi-modali (o k-

modali) se esse hanno due (o k) massimi relativi.

Per le variabili ordinali si dispone di una ulteriore misura di tendenza centrale: la

mediana. Quando l’ampiezza del collettivo (N) è un numero dispari, la mediana

è la modalità a cui appartiene quel caso che chiameremo caso mediano, che

divide esattamente a metà la distribuzione.

Con un procedimento analogo al calcolo della mediana è possibile suddividere

una distribuzione in più parti uguali, originando quelli che vengono definiti

quantili o operatori di posizione. Gli operatori di posizione, tra i quali rientra

anche la mediana, possono essere applicati quando le variabili sono almeno

ordinali. I quantili sono una famiglia di misure e si distinguono a seconda del

numero di parti uguali in cui suddividono una distribuzione. I quantili vengono

detti quartili se suddividono la distribuzione in quattro parti uguali. I quartili

sono tre: il 1° quartile, che corrisponde alla modalità contenente il caso al di

sotto e al di sopra del quale cadono rispettivamente il 25% e il 75% dei casi; il 2°

quartile, che origina due distribuzioni parziali contenenti ognuna il 50% delle

osservazioni, e coincide quindi con la mediana; infine il 3° quartile, che è il valore

al di sotto del quale ricade il 75% dei casi e al di sopra il 25%.

Un operatore di dispersione produce uno scalare con cui si valuta

sinteticamente la diversità esistente tra le osservazioni. La dispersione assume

nomi differenti a seconda del livello di scala della variabile. Per le variabili

categoriali si parla di eterogeneità di una distribuzione o, adottando un punto di

vista speculare, di omogeneità. Per i livelli di scala superiori si parla di

variabilità, distinguendola a sua volta in variabilità non metrica, se le variabili

sono ordinali, e in variabilità metrica, se le variabili sono cardinali. Per ciascun

tipo di variabile è possibile distinguere tra operatori che restituiscono valori

assoluti (ossia valori dipendenti dall’unità di misura o, nel caso di variabili

categoriali, dal numero delle modalità) e operatori che restituiscono valori

relativi (valori che variano all’interno di un medesimo intervallo, a prescindere

dall’unità di misura o dal numero di modalità delle variabili).

Si definisce distribuzione simmetrica una distribuzione nella quale le modalità

che sono equidistanti dalla mediana hanno la stessa frequenza. In una

distribuzione simmetrica media e mediana coincidono; se la distribuzione è

unimodale anche la moda coincide con la media e la mediana. La curva normale è

il più importante esempio di curva simmetrica. La distribuzione di molti

fenomeni appare simile a quella della normale, ma risulta più appuntita o più

piatta. La curtosi è una misura di quanto la distribuzione è più appuntita di

quella normale – in questo caso la distribuzione viene detta leptocurtica – o più

piatta -, in quest’ultimo caso la distribuzione viene detta platicurtica.

Spesso è utile trasformare una variabile cardinale con una determinata media e

varianza in un’altra con media e varianza specificate dal ricercatore.

L’operazione che consente questa trasformazione viene detta

standardizzazione. Generalmente le distribuzioni standardizzate si

caratterizzano per il fatto di avere media pari a zero e varianza pari a uno.

Statistica descrittiva multivariata

Lo stereogramma è un esempio di grafico utilizzato per le distribuzioni doppie

di frequenza. La rappresentazione avviene in uno spazio a tre dimensioni (x, y e

z) nel quale sono riportate sui primi due assi le modalità delle due variabili e sul

terzo le frequenze con cui ciascuna coppia di modalità si è presentata nel

collettivo.

Il diagramma di dispersione è un diagramma cartesiano nel quale i punti

rappresentano i casi e le variabili costituiscono gli assi; in esso è del tutto assente

l’informazione sulla distribuzione di frequenza congiunta.

Un operatore statistico bivariato è un procedimento di calcolo che considera

due variabili e sintetizza l’informazione sulla loro distribuzione congiunta in uno

scalare. Gli operatori bivariati principali possono essere distinti in tre classi:

Operatori che servono a valutare la connessione;

• Operatori che servono a valutare la concordanza;

• Operatori che servono a valutare la determinazione.

•

Gli operatori di concordanza, nel caso di variabili sia categoriali, sia ordinali o

cardinali, si caratterizzano per la presenza di