Riassunto esame statistica, docente Oropallo, libro consigliato Statistica e metodologia per le scienze economiche e sociali, Borra/Di Ciaccio

Capitolo 6: Analisi dell'Associazione tra 2 Caratteri

• Distribuzioni doppie di frequenza.

La determinazione di due caratteri su di un collettivo, quantitativi o qualitativi, possono essere organizzate sotto forma di distribuzione unitaria doppia. Per tale organizzazione è necessario sintetizzare la determinazione dei caratteri tramite una tabella di frequenza a doppia entrata detta anche distribuzione doppia di frequenze.

Dati due caratteri, definiamo tabella di frequenza a doppia entrata o distribuzione doppia di frequenze, l'insieme delle frequenze congiunte m_ij, ovvero le frequenze assolute delle unità che presentano congiuntamente la modalità i-ésima del primo carattere e la j-ésima del secondo carattere.

La colonna e la riga dei totali sono distribuzioni marginali e corrispondono alle distribuzioni di frequenze semplici, relative ai 2 caratteri:

• La colonna del totale è la distribuzione semplice del carattere Y_j e il termine generico m_ij indica la frequenza assoluta delle unità che presentano nel carattere la modalità x_i;
• La riga del totale indica la distribuzione semplice del carattere X_i e il termine m_ij è la frequenza assoluta delle unità che presentano la modalità ij_j;

Le righe e le colonne interne identificano le distribuzioni confrontate.

La prima riga per esempio, ci dice come si distribuiscono secondo il carattere Y, le sole unità che presentano la modalità x₁ del carattere X per questo viene detta distribuzione condizionata della Y rispetto alla modalità x_i del carattere X.

Analogamente la prima colonna, ci dice come si distribuiscono secondo il carattere X, le sole unità che presentano la modalità y₁ del carattere Y per questo viene detta distribuzione condizionata della X rispetto alla modalità y_j del carattere Y.

Come per le distribuzioni di frequenze semplici, possiamo considerare distribuzioni doppie di frequenze relative e percentuali; dove il generico elemento interno alla tabella a doppia entrata è espresso da:

f_ij = ^m_ij/_m

e p_ij = f_ij · 100

% RIGA: p_ij = f_ij · 100 = ^m_ij/_mi· · 100

% COLONNA: p_ij = f_ij · 100 = ^m_ij/_m·j · 100

% TOTALE: p_ij = f_ij · 100 = ^m_ij/_m.. · 100

Le distribuzioni marginali relative si ottengono dividendo le frequenze assolute marginali per il totale (moltiplicando per 100, quelle percentuali).

Le distribuzioni relative condizionate della X e della Y si ottengono rispettivamente rapportando le distribuzioni condizionate per i corrispondenti totali di riga o per i corrispondenti totali di colonna.

Proprietà per la tabella di frequenza a doppia entrata:

m_.. = ^h_{Σ j=1} m_ij per i = 1, 2, ..., h

Dipendenza Perfetta:

Un carattere Y₁ dipende perfettamente da X₁ quando ad ogni modalità di X₁ è associata una sola modalità di Y₁, cioè quando in una tabella doppia, per ogni i, c'è solo un j per il quale m_ij≠0

Esempio:

y₂ y₃ y₄ TOT x₁ 43 0 0 43 x₂ 0 15 0 15 x₃ 0 0 20 20 x₄ 0 0 52 52 TOT 43 52 35 130

Non è vero il viceversa, infatti alla modalità y₃ corrispondono le modalità x₁ e x₃.

This relazione di dipendenza perfetta di un carattere da un altro, è sempre di tipo unidirezionale, in quanto dalla conoscenza della modalità di un carattere, si può prevedere la modalità dell'altro ma non è vero il contrario.

Interdipendenza Perfetta:

È una relazione di tipo bidirezionale.

Tra due caratteri c'è interdipendenza perfetta se ad ogni modalità di uno dei due caratteri corrisponde una ed una sola modalità dell'altro carattere, e viceversa.

Assumiamo che le frequenze marginali siano ≠0, la condizione di interdipendenza puoi esistere solo se la tabella è quadrata (righe = colonne m).

In sostanza, in condizioni di interdipendenza perfetta, si deve avere per ogni riga e per ogni colonna della tabella, a cui non corrisponda una frequenza marginale nulla, una sola cella con frequenza non nulla.

Esempio:

χ² = 169,18

→ Φ² = 169,18 / 365 = 0,4635

V = √_{min [(c - 1), (r - 1)]} = √_{min [(c - 1), (r - 1)]}

QUESTO INDICE PUÒ VARIARE TRA 0 E 1, QUELLO OTTENUTO È CIRCA LA METÀ → SUSSISTE UN LIVELLO MEDIO DI ASSOCIAZIONE.

MISURA DELLA DIPENDENZA DI UN CARATTERE QUANTITATIVO DA UN CARATTERE QUALITATIVO O QUANTITATIVO DISCRETO.

PER ANALIZZARE LA DIPENDENZA DOBBIAMO CONFRONTARE LE DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE DEL CARATTERE Y IN CORRISPONDENZA DELLE DIVERSE MODALITÀ DEL CARATTERE X.

OGNUNA DI QUESTE DISTRIBUZIONI PUÒ ESSERE SINTETIZZATA TRAMITE LA CORRISPONDENTE MEDIA E VARIANZA CONDIZIONATA:

Proprietà del coefficiente di correlazione lineare.

1. -1 ≤ ρ_xy ≤ 1;
2. ρ_xy = 1 se tra x e y sussiste un perfetto legame lineare e i due caratteri sono concordi;
3. ρ_xy = -1 sono discordi;
4. ρ_xy = 0 se i caratteri sono indipendenti, oppure se la loro relazione non è lineare.

Riguardare il grafico di dispersione come si fa.

Le diverse concezioni della probabilità:

1. Concezione frequentista → si basa sulla ripetibilità della prova
2. Soggettivista → la probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce al verificarsi dell'evento in base alle informazioni in suo possesso.

La funzione di ripartizione per una v.c. continua è simile a quella di una discreta. Data una v.c. continua X, la funzione che fa corrispondere ai valori x_c le probabilità cumulate P(x < x_c), viene detta funzione di ripartizione e indicata con:

F(x) = P(X < x) = ∫_-∞^x f(x) dx

gode delle stesse proprietà di quella di una v.c. discreta e inoltre:

1. se X è una v.c. continua, F(x) è una funzione assolutamente crescente;
2. le proprietà delle funzioni di densità sono:
   • non può mai assumere valori negativi, ossia f(x)^c > 0, o altrimenti che la probabilità che X assuma X in qualsiasi intervallo sia non-negativa;
   • l’area totale sottesa alla funzione è equivalente a 1, ossia: ∫_-∞^∞ f(x) dx = 1.

Valore atteso e varianza di una variabile casuale

Il valore atteso è il valore medio che una v.c. può assumere in un gran numero di prove, è indicato con E(x), ed è definito come:

E(X) = ∑ x_i p(x_i) se v.c. è discreta

E(x) = ∫_-∞^∞ x g(x) dx se V.C. continua

Esempio (discreta)

X_i = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X) = ¹/₃₆ ²/₃₆ ³/₃₆ ⁴/₃₆ ⁵/₃₆ ⁶/₃₆ ⁵/₃₆ ⁴/₃₆ ³/₃₆ ²/₃₆ ¹/₃₆

E(X) = ²/₃₆ + ^3x2/₃₆ + ^4x3/₃₆ + ^5x4/₃₆ + ^6x5/₃₆ + ^7x6/₃₆ + ^8x5/₃₆ + ^9x4/₃₆ + ^10x3/₃₆ + ^11x2/₃₆ + ^12x1/₃₆ = ⁷

La varianza V(X) di una v.c. X è definita come:

V(X) = ∑ (x_i - E(X))² p(x) discreta

V(X) = ∫_-∞^∞ [x - E(X)]² g(x) dx continua

La varianza misura la differenza quadratica tra i possibili valori della V.C. e il suo valore atteso, e in effetti il valore atteso della V.C. [x - E(X)]² e si può scrivere: