Riassunto esame Sistemi dinamici e strategia d'impresa, Prof Bernuzzi

FORMULA TEMPI DI ATTESA PER UN SISTEMA DI SERVERS MULTIPLI

Da notare che mentre la formula per un solo server fornisce una soluzione esatta, nel caso di server multipli

la formula fornisce una soluzione approssimata. La formula, tuttavia, funziona bene nella maggior parte dei

casi pratici.

In termini più formali si può dire che i risultati sono affidabili quando il rapporto è alto

(u/m=grande)

Dove:

Fattore capacità→ tempo medio di processo del sistema = (p/m). La domanda non influenza

questo fattore

Fattore utilizzazione → La domanda influenza questo fattore perchè l’utilizzazione è

il rapporto fra domanda e capacità .

Fattore variabilità → Più variabilità nel sistema determina tempi di attesa più lunghi

• Supponiamo:

– a = 35 secondi, p = 120 secondi, m = 4

– Utilizzazione = p / (a x m) = 85.7%

– CV = 1, CV = 1 (processo M/M/4)

a p    



  2 2

  2(m 1) 1 CV CV

tempo processo Utilizzazi one

   

  

  a p

Tempo in coda  

 

 

m 1 - Utilizzazi one 2

 

 

 

   



  2(4 1) 1 2 2

120 0.857 1 1

   

   

  150

 

 

   

4 1 - 0.857 2

  59

• Pertanto Flow time = 150 + 120 = 270 secondi.

– In media il cliente passerà 270 secondi nel sistema (parte in attesa, parte essendo servito)

RIASSUNTO CALCOLI TEMPO DI ATTESA

1. Raccogliere i seguenti dati:

• # servers « m »

• tempo processo « p »

• intearrival time « a »

• coefficiente variazione interarrival time CV , tempo processo CV

a p

dove

2. Calcolare l'utilizzazione

3. Calcolare T q    



  2 2

  2 ( m 1

) 1 CV CV

tempo servizio utilizzazi

one

   

  

  a p

Tempo in coda  

 



 

m 1 utilizzazi

one 2

 

 

4. Note T calcolare gli atri parametri

q

• T = T + p

q

• I = m x u (l’utilizzazione di ciascuna risorsa presa singolarmente = utilizzazione del processo in quanto

p

ciascuna risorsa processa la domanda alla stessa rate)

• I =T /a

q q

• I = I +I

p q

QUANTI CLIENTI NEL SISTEMA? • Legge di Little I = R x T

• R = Flow Rate = (1/a)

– La flow rate è uguale alla demand rate perchè

utilizzazione < 100% e pertanto il sistema e demand constrained

• I = (1/a) x T = T / a

q q q

• I = (1/a) x p = p / a

p – Da notare che il tempo di servizio non dipende dal

numero dei servers perchè quando un cliente è servito da un solo

server

UTILIZZAZIONE E PERFOMANCE DEL SISTEMA

   



  2 2

  2 ( m 1

) 1 CV CV

tempo servizio utilizzazi

one

   

  

  a p

Tempo in coda  

 



 

m 1 utilizzazi

one 2

 

 

NB. Il tempo di attesa cresce in modo drammatico quando l'utilizzazione si avvicina al 100% 60

Modello mentale del cliente → Per i clienti il "valore" è l'esperienza personale

I clienti non sono interessati al tempo medio di attesa, ma sono fortemente influenzati dalla loro esperiènza

personale.

Pensare all’effetto che avrebbe dire ad un cliente, in attesa da 20’ in linea: I nostri operatori sono

momentaneamente occupati, la informiamo comunque che il tempo medio d’attesa è di 5 minuti. Grazie

per la sua pazienza.

Siccome da un punto di vista di business siamo interessati a non perdere chiamate è fondamentale

conoscere la probabilità che il tempo di attesa sia piu’ lungo di un certo valore obbiettivo (considerato

accettabile) TWT (Target Wait Time)

Ad esempio il Call Center reclami delle ferrovie tedesche ha un TWT di 20’ secondi e un obbiettivo di

rispondere all’80% delle chiamate in un tempo ≤ 20 sec

Un TWT basso comporta dei costi di staffing e pertanto il driver per decidere quanto esso deve essere è

essenzialmente la competitività del mercato.

Valore = Expectations x Experience

Experience = f(process, outcome)

Se le aspettative sono alte e l'esperienza non è buona è peggio che se ho basse aspettative.

LIVELLO DI SERVIZIO, definizione formale:

Il livello di servizio , per un certo TWT (Target Wait Time), è la percentuale di clienti che inizia il servizio in

un tempo ≤ TWT

Livello di servizio = Probabilità {Waiting TimeTWT}

Per M/M/1:  

  

     (

1 ) t

SL 1 P (

T t ) 1 e

q  

  

  (

1 ) t

P (

T t ) e

q

Ad esempio un livello di servizio del 95% per un TWT di 2 minuti significa che il 95% dei clienti devono

aspettare in coda 2 minuti o meno.

Grafico empirico dei tempi di attesa al call center (campione di uno specifico intervallo di tempo). Il grafico

si costruisce analogamente a quanto visto precedentemente per gli interarrival times.

IL 65% dei clienti non hanno attesa, mentre il rimanente 35% hanno un’attesa variabile (distribuzione

esponenziale).

Per un TWT = 30 secondi il livello di servizio = 90%

Il livello di servizio, come definito sopra, è una misura di performance comune per le società che erogano

servizi come i call centers. 61

CONSEGUENZE ECONOMICHE DELL'ATTESA - CREAZIONE DI UN PIANO DI STAFFING

Ricorda che la domanda varia nel corso della giornata

Dal punto di vista manageriale la domanda a cui rispondere è: quanti addetti avere in servizio in ogni

momento della giornata ?

Il trade-off è fra i costi generati dall’attesa (mettiamo per il momento on hold il costo del thoughput perso

perchè lo esamineremo nelle prossime lezioni) ed il costo della capacità

Per trovare quanti addetti sono necessari bisogna decidere prima quanto « responsive » vogliamo essere.

Possiamo alternativamente

(a) definire un tempo medio di attesa (es T medio < 10 sec)

q

(b) definire un livello di servizio (es 95% dei clienti serviti con un T < 20 sec)

q

Nel caso del ns. call center, calcoliamo il livello di staffing usando il target (a) nell’intervallo fra le 8.00 e le

8.15. Notare che il numero minimo di addetti è 8, altrimenti u > 100%

p = 90 sec

a = 11.39 Per raggiungere il target di servizio definito il call center

Utilizzazione ha bisogno di 12 addetti.

u= p/(m * a)

# Addetti T medio (sec)

q Così otteniamo il numero di operatori necessario tre le 8

e le 8:15 e si ottiene un grafico come questo.

8 0.99 1220.84 Ovvimante possiamo ripetere questo processo per ogni

9 0.88 72.41 intervallo.

10 0.79 24.97

11 0.72 11.10

12 0.66 5.50

13 0.61 2.89

14 0.56 1.58

Supponiamo che

• il costo per addetto sia € 10/ora =16.66 cent/min

• il costo linea telefonica € 0.05/min

NB: c'è una linea per addetto: quando è occupata/c'è attesa cosa, quando è libera il costo è 0

quindi possiamo dire che il costo della linea telefonica è legato a:

- tempo di servizio

- ma anche al tempo di attesa.

Costo lavoro = Salario totale per unità di tempo/flow rate

Flow rate = 1/a (a = interarrival time medio)

Salario totale per unità di tempo = # addetti * salario 62

(1)

Siccome l’equazione (1) puo’ essere riscritta come

(2)

Questo ci permette di capire meglio quale sia il costo del lavoro, inflazionato per un fattore 1/u che

considera il tempo di inattività dell'operatore (quindi dipende dall'utilizzazione)

costo linea €/min 0.05

p(sec) 90

a(sec) 11.39 Utilizzazione Costo Lavoro Costo linea Costo totale

u= p/(m * a) per chiamata € per chiamata € per chiamata

# Addetti T medio (sec)

q

8 0.99 1220.84 0.2530 1.092 1.3454

9 0.88 72.41 0.2846 0.135 0.4200

10 0.79 24.97 0.3163 0.096 0.4121

11 0.72 11.10 0.3479 0.084 0.4321

12 0.66 5.50 0.3795 0.080 0.4591

13 0.61 2.89 0.4111 0.077 0.4886

14 0.56 1.58 0.4428 0.076 0.5191

Il costo totale è minimo quando si hanno 10 operatori, tuttavia

• non si sono considerati i costi generati dalla perdita di throughput

• non si è considerato l’impatto reputazionale (costi sostenuti dal cliente)

Si è visto in precedenza che per ottenere il livello di servizio desiderato erano necessari 12 addetti, la

differenza fra €0.4591 e €0.4121 rappresenta il costo di trade-off fra servizio ed efficienza (costi).

A seconda della strategia si sceglie se posizionarsi sui costi (scegliendo la situazione con 10 addetti) oppure

sul servizio (12 addetti). Questa scelta è puramente manageriale e non esiste una cosa giusta in assoluto.

Se ripetiamo l’analisi fatta per l’intervallo fra le 8.00 e le 8.15 su tutti gli slot, otteniamo il piano di staffing

giornaliero

DISCIPLINA DI SERVIZIO DELLE FILE DI ATTESA Discipline che

Discipline che dipendono dal

non dipendono tempo di servizio.

dal temo di - SPT (Short

servizio Processing First)

- FIFO (Fisrt-In- → si serve prima

First-Out) quello con tempo

- Priority List di servizio

inferoiore

• Shortest Processing Time

- minimizza il tempo di attesa (in assoluto)

- il problema è conoscere a priori il vero tempo di servizio

• First-In-Firs-Out (anche conosciuta come First-Come-First-Serve)

- di facile implementazione

- percepita come fair

- minimizza il flow time fra le discipline non dipendenti dal tempo di servizio 63

• Disciplina basata sull’ordine di importanza (Priority list)

- emergenze

- flow units profittevoli (fast track negli aerei)

- aumenta il flow time medio

Per ridurre al minimo il tempo di attesa uso SPT.

NB: qualsiasi disciplina che non sia il FIFO è considerata dalla persone in coda come ingiusta anche se

esistono sistemi più efficienti.

COME RIDURRE LE FILE DI ATTESA: POOLING

3 casi:

1. Polled → una coda, 4 servers

2. Parzialmente polled → 2 code con 2 servers ciascuna

3. Code separate → 4 code con un server ciascuna

Es. autostrada

Per tutti i sistemi

La variabilità è la stessa CV = 1, CV = 1

a p

La domanda totale è la stessa 1/35 clienti/secondo

Il tempo di servizio è lo stesso p = 120 sec

Utilizzazione è la stessa : p / a x m = 85.7%

La probabilità che un server sia occupato è la stessa = 0.857

Quindi:

possiamo concl