Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Siccome la distanza media e’ 0.5 m, si hanno in media λ = 2 difetti per metro, per cui, applicando la

seconda equazione della slide precedente

  

3

P (

T 1

.

5

) e 0

.

050

Calcolare la probabilità che il primo difetto si trovi fra 0.6 m e 0.8 m

 

       

1

.

6 1

.

2

P (

T 0

.

8

) P (

T 0

.

6

) (

1 e ) (

1 e ) 0

.

099

Posso calcolare quanto tempo passa tra un arrivo e l'atro = distribuzione esponenziale diversa dalla

variabile di Poisson ( = distribuzione discreta). Con una distribuzione esponenziale è più probabile che i

numeri siano molto piccoli.

→ La distribuzione esponenziale è senza memoria

Una particolare proprietà della distribuzione esponenziale consiste nel fatto che se tagliamo una parte di

essa (partendo da sinistra),, una volta rinormalizzata ad un’area = 1, la distribuzione rimane la stessa.

Questo e’ noto anche come la mancanza di memoria di un processo di Poisson. In effetti la probabilità che

un evento accada nelle future unità di tempo « b »e’ indipendente da quanto successo nel passato

probabilità indipendente dalla parte

precedente

Se il processo è senza memoria allora anche il

processo di Poisson è casuale.

L’assenza di memoria si può esprimere analiticamente con la seguente relazione:

    

P

[

T ( a b ) | T a )] P (

T b )

SISTEMA DI FILA D’ATTESA

Facciamo l'ipotesi iniziale che tutti gli arrivi seguano un processo di Poisson.

Il serbatoio contiene tutti clienti potenziali (es esempio per Vodafone la flow unit è rappresentata da tutti i

suoi clienti). Questi ancora non sono entrati nel sistema.

Nel inflow avvengono ad esempio le chiamate che cliente di Vodafone con un problema. Questo viene

quindi fatto entrare nel sistema e verrà messo in coda con gli altri utenti.

I clienti saranno serviti dai servers, ovvero coloro che servono i clienti.

Nel momento in cui il cliente è servito si forma il quadrato e si prepara ad uscire dal sistema come un

outflow. 38

IL CONCETTO DI INTER-ARRIVAL TIME (TEMPO FRA GLI ARRIVI)

Per inter-arrival time intendiamo il tempo che passa tra un arrivo e l'altro

PARAMETRI CHE DETERMINANO IL COMPORTAMENTO DEL SISTEMA

1. Processo di arrivo delle flow units → inflow = come arrivano le flow unit

– Si assume che gli inter-arrival times siano indipendenti ed abbiano una distribuzione di

probabilità esponenziale. Il che significa che le flow units arrivano secondo un processo di

Poisson.

2. Comportamento delle flow-units

– le flow units (clienti) possono restare in attesa (anche per tempi lunghi) oppure possono

decidere di lasciare la coda prima di essere serviti → in pratica le flow unit nel sistema

possono avere comportamenti diversi

3. Service times

– si assume che i tempi di servizio (tempi di processo) siano indipendenti ed abbiano una

distribuzione probabilità di cui siano note almeno media e varianza. Essi sono anche

indipendenti dagli inter-arrival times → tempo che impiega il server a servire il cliente, che

in questi processi non sarà determinato ma varierà da cliente a cliente

4. Numero di Servers

5. Capacità della coda → può essere finita o infinita

altro parametro è la disciplina delle file d'attesa

Il comportamento dei sistemi di fila d’attesa, oltre che dalle proprietà/parametri della slide precedente, è

influenzato anche dalla disciplina di servizio

Le discipline di servizio piu’ comuni sono :

– FIFO (First in , First out )

– LIFO (Last in, First out)

– SIRO (service in random orders)

– SPT (short processing first) → servo prima i clienti che hanno una procedura più rapida

– PR (priority list) → si stabiliscono dei criteri per compiere il servizio

Come descriviamo le file d'attesa?? Risp:

LA NOTAZIONE DI KENDALL

La notazione di Kendall permette di descrivere in modo conciso una fila d’attesa 39

A/B/m/N/S

– A distribuzione di probabilità degli inter-arrival time

– B distribuzione di probabilità dei tempi di servizio

– m numero dei servers

– N dimensione massima della fila d’attesa (se N = ∞, si omette)

– S disciplina del servizio (se la disciplina è FIFO si omette)

• Notazione per le distribuzioni di probabilità per descrivere A e B

– M (Markov) denota una distribuzione esponenziale

– D (Deterministica) → costate

– G (General) denota una distribuzione generale non meglio specificate di cui sono note media e

varianza

– Ek (Erlang) La distribuzione di Erlang si applica ai tempi di servizio ed è un caso itermedio fra la

distribuzione deterministica (SD= 0) e la distribuzione esponenziale (SD = 1/ λ grande )

M/M/1

Sistema Single-server , capacità di coda illimitata. gli inter-arrival times e i tempi di servizio sono

distribuiti esponenzialmente

ALTRI ESEMPI

Parrucchiere con 3 poltrone per il taglio capelli e 5 sedie per l’attesa , no appuntamento

- M/M/3/5

M= inter-arrival time; M = tempo di servizio; 3 = poltrone; 5 = sedie d'attesa

Coda per pagare alla mensa dello studente, inter-arrival times distribuiti esponenzialmente , tempo

- di servizio costante e tre casse per pagare M/D/3

D = tempo di servizio costante

6 macchine da supervisionare, 1 meccanico, guasti e tempi di servizio disribuiti esponenzialmente

- M/M/1/16

MISURE di PERFORMANCE di UN SISTEMA A FILA D’ATTESA

Quali parametri ci permettono di capire come funziona la fila d'attesa

• Utilizzazione ρ (utilizzazione del server, % di tempo che il server è occupato). Es, se il server è

sempre occupato ρ=1

• Probabilità di avere n flow-units nel sistema ( )

• Numero medio di flow units nel sistema (servizio e coda ) ( )

• Numero medio di flow units in coda )

• Tempo medio speso da una flow unit nel sistema (servizio e coda ) ( )

• Tempo medio speso da una flow unit in coda ( )

I parametri fisici possono essere collegati a indici di costo e performance economica; infatti associati ad

ogni sistema a coda ci sono costi variabili generati dai tempi di attesa e costi fissi generati dal numero dei

servers.

LEGGE DI LITTLE E SISTEMI DI FILA D’ATTESA

• La legge di Little è un teorema sviluppato per le file d’attesa

• Come si è visto è una legge generale, che è valida per ogni tipo di fila d’attesa, (G/G/x)

• Letta in un altro modo (piu’ teorico) essa stabilisce la relazione fra il numero medio di flow units nel

sistema, la rate di arrivo media ed il tempo medio speso da una flow unit nel sistema , quando il

sistema è in uno stato stazionario 

N T tempo speso nel sistema 40

rate di arrivo

– : rate arrivo flow-units

– : numero medio flow units nel sistema

– : tempo medio speso da una flow unit nel sistema

IL PROCESSO DI NASCITA-MORTE - CATENE DI MARKOV

• La maggior parte dei modelli teorici che descrivono il comportamento delle file d’attesa si basano

sull’ipotesi che gli inputs (arrivo flow units) e gli outputs (partenza flow units) si comportino come

processi di nascita-morte

• Lo stato del sistema N(t), è il numero di flow units presenti nel sistema al tempo t. Il processo

nascita-morte descrive, in termini probabilistici, come N(t) varia al variare di t. → descritto dai

processi nascita-morte

• Gli assunti di un modello di nascita-morte sono i seguenti

– Assunto 1: Dato N(t)= n la distribuzione di probabilità del tempo rimanente prima della

prossima nascita (arrivo) è esponenziale con parametro variabile causale esponenziale

= inter-arrival time.

– Assunto 2: Dato N(t) = n la distribuzione di probabilità del tempo rimanente prima della

prossima morte (partenza ) è esponenziale con parametro

– Assunto 3; le variabili casuali di cui all’assunto 1 e 2 sono indipendenti

– Assunto 4: la prossima transizione nello stato del sistema può essere solo n -----> n + 1

(singola nascita) o n ------> n – 1 (singola morte)

nascita

morte

In un sistema di fila d’attesa e rappresentano la media della rate degli arrivi e la media del

tempo di servizio quando ci sono n flow units nel sistema

Nei casi più semplici λ and μ sono uguali per tutti i valori di n, tuttavia ciò non è vero in generale

Un esempio di quando λ and μ possono variare con n sono situazioni dove le flow units rifiutano di

entrare nel sistema perchè la coda è troppo lunga

→ se ci sono unità che rifiutano di entrare nel sistema perchè la fila è troppo lunga

I processi di nascita-morte possono essere analizzati solamente quando sono in uno stato stazionario.

Il sistema è in « uno stato stazionario » quando la probabilità di trovarsi in uno stato k è P dove

k

Dove P (t) denota la probabilità (dipendente dal tempo) che nel sistema ci siano k flow units al tempo t.

k 41

Notare la probabilità la probabilità di stato stazionario NON dipende da t

Tipico esempio: sistemi in avvio ce NON sono in uno stato stazionario

PROPRIETÀ PASTA

• Per sistemi di fila d’attesa con arrivi di Poisson (M/*/*), vale la proprietà che la frazione di flow

units che, all’arrivo, trovano il sistema in un certo stato A è uguale alla frazione di tempo che il

sistema passa nello stato A Questa proprietà vale solo per processi di arrivo di Poisson (inter-arrival

times distribuiti esponenzialmente)

• Questa proprietà non è valida in generale, ma vale solo per i processi di Poisson. Ad esempio in un

sistema D/D/1 che è vuoto a t = 0 , e con arrivi a t = 1, 3, 5, ......... e tempo di servizio = 1, ogni flow

unit in arrivo trova un sistema vuoto, mentre la frazione di tempo in cui il sistema è vuoto è 0.5.

arriva in 1 ... → ... parte in 2 ... → ... arriva in 3 ect quindi il 50% del tempo è vuoto.

• Questa proprietà è nota come PASTA che è l’acronimo di Poisson Arrivals See Time Averages.

(PASTA). Il fatto che siano Poisson Arrivals già ci fa capire che sarà esponenziale.

La coda M/M/1 (coda infinita) → 1

• La coda M/M/1 ha inter-arrival times, distribuiti esponenzialmente con parametro λ e tempi di

servizio distribuiti esponenzialmente con parametro μ .

• Il sistema ha un solo server e usa una disciplina FIFO .

• La fila d’attesa è infinita .

E’ facile identificare la catena di Markov che descrive il sistema. Come variabile di stato si usa il numero di

flow units nel sistema

• Il sistema M/M/1 è un sistema puro di nascita-morte. → con la semplificazione che per tutti

gli stati

• Il seguente assunto è applicabile: in ogni momento solamente un evento di nascita o morte puo’

avvenire ( arrivo o partenza di una flow unit)

• Ciò che rende il sistema M/M/1 semplice è il fatto che la rate degli arrivi e delle partenze non

dipendono dallo stato in cui si trova il sistema ( λ e μ sono uguali per ogni n)

l sistema è in « uno stato stazionario » quando la probabilità di trovarsi in uno stato k è P dove

k

Dove (t) denota la probabilità (dipendente dal tempo) che nel sistema ci siano k flow units al tempo t.

Notare la probabilità la probabilità di stato stazionario non dipende da t

Se λ e μ non dipendono dallo stato del sistema ed il sistema è in uno stato stazionario si può provare che

 

P 1 

0 k

 

 

P P

 

k 0

  42

k

 

 

 

 

 

 

P 1

 

 

 

k  

 

Attraverso M/M/1 riusciamo a calcolare tutte le probabilità del sistema, dato λ e μ.

P esiste solo se λ<μ. (quindi arrivi < partenze)

0

Questa è la condizione di stabilità per il sistema M/M/1.

Domanda : cosa succede se λ>μ ? cioè se arrivi > partenze. Il sistema sarebbe instabile e il continuerebbe a

crescere, come la popolazione mondiale negli ultimi anni. La quantità e risulterebbe un numero

negativo, il problema è che P non può essere occupato.

0

NB:

λ>μ significa che arrivano più flow units di quante il sistema possa servirne, la coda diventa infinita.

Lo stesso vale se μ = 0

Se λ = 0 ( non arrivano flow unit) la probabilità che sistema sia nello stato k = 0 e Po = 1 (certezza)

La coda M/M/1 - misure di perfomance

Utilizzazione → percentuale di tempo in cui il server è occupato, ovvero 1 meno la probabilità che il server

sia vuoto.

L’utilizzazione fornisce la frazione di tempo in cui il server è occupato . Nel caso di una coda M/M/1 è

l’evento complementare al caso in cui il sistema è vuoto. L’utilizzazione e’ la probabilità di stato stazionario

in cui il sistema non è vuoto . 

  

Utilizzazi

one 1 P

0

 

Sostituendo il valore di P 1 

0 

 

Utilizzazi

one 

stabile se l'utilizzazione è minore o al massimo uguale a 1

NUMERO MEDIO DI FLOW UNITS NEL SISTEMA

Il numero medio di flow units nel sistema è una funzione non lineare di ρ

 

 

N   

 

1

30 N Anche graficamente si vede che man mano che le

utilizzazioni si avvicinano a 1, nel M/M/1 il

20 numero di utilizzazioni tende a infinito

10 Utilization

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Per utilizzazioni elevate il sistema tende a diventare instabile. Il trend è particolarmente evidente per

utilizzazioni superiori al 70%

Ricorda la funzione non può mai esistere per

TEMPO MEDIO DI UNA FLOW UNIT NEL SISTEMA (TEMPO MEDIO DI RISPOSTA , MEAN RESPONSE

TIME)

Comprende il tempo passato in attesa ed il tempo di servizio.

Puo’ essere calcolato usando le Legge di Little, considerato che 43

M/M/1 - Riassunto misure di performance

  

   

N P 1

   

  0

1 

N 1 1 /

  

T    

  k

 

1  

P P

 

k 0

 

 1

  

T T

   

q ( )

 

2 2 k

 

 

 

   

 

 

N P 1

 

 

   

 

q  

( ) 1 k  

 

Utilizzando le distribuzioni di probabilità è anche possibile calcolare la probabilità che il tempo medio di

risposta ed il tempo speso in coda sia maggiore tempo t  

  

 

  (

1 ) t

 

  P (

T t ) e

(

1 ) t

P (

T t ) e q

IL SISTEMA M/M/1 - ESEMPIO

• Ad una stazione di servizio c’è una sola pompa per il gasolio. → 1 server

• Le auto arrivano seguendo un processo di Poisson con una rate di 20 auto/ora → = rate, quindi M/

• Le auto sono servite in ordine di arrivo (FIFO)

• Il tempo di servizio è distribuito esponenzialmente con una media si 2 min → la rate a cui le auto

possono uscire è 1 ogni 2 minuti (in totale in 1ora, 30 auto)

Questo vuol dire complessivamente M/M/1 → serviti con FIFO

Determinare :

1. La probabilità che alla stazione di servizio siano presenti k auto e la media del numero di auto alla

stazione di servizio

λ=20 -rate arrivo- μ = 30 -rate uscita- 

 

p 1 

0

dove è il numero di auto in servizio

2. Il tempo medio nel sistema ed il tempo medio speso in coda

3. la frazione di auto che devono attendere più di 2 minuti 44

IL SISTEMA M/G/1

• Gli arrival times sono distribuiti esponenzialmente (gli arrivi seguono un processo di Poisson)

• I tempi di servizio hanno una distribuzione sconosciuta (G) , però conosciamo media μ e varianza

2

σ

• I parametri per il sistema in stato stazionario possono essere ricavati per analogia alla coda M/M/1

 

2 2

(

1 C )

  B

N 

2

(

1 )

 

2 2

1 (

1 C )

  B

T   

2 (

1 )

B2

dove C è il quadrato del coefficiente di variazione della variabile casuale che rappresenta il tempo di

servizio

Se C = 1 si torna al caso M/M/1

B

• Le due equazioni sono conosciute come Pollaczek-Khintchine Mean Value Formulas

 

 

2 2 2 2

(

1 C ) 1 (

1 C )

   

B B

N T

   

 

2

(

1 ) 2 (

1 )

Analizzando le due equazioni possiamo vedere che :

• i sistemi M/G/1 diventano instabili quanto l’utilizzazione si avvicina a 1→ Se tende a 1 il numero

medio di elementi e il tempo nel sistema tendono a infinito.

• Il coefficiente di variazione del tempo di servizio ha un effetto significativo sui valori medi.

Ricordiamo che una distribuzione deterministica (tempo di servizio costante) ha varianza uguale a

zero e pertanto il coefficiente di variazione è anche zero . Per questa ragione i livelli di servizio

migliori si ottengono con tempo di servizio costante.

10 N

9

8

7

6 SD = 0.5

SD = 1

5 SD = 2

4

3

2

1 Utilization

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Tre le curve cambia la variabilità del tempo di servizio.

Effetto della variabilità del tempo di servizio sul numero di flow units presenti nel sistema a diverse

utilizzazioni (tempo di servizio medio costante, arrival rate costante).

Dalla curva viola a quella rossa l'SD raddoppia, da quella rossa a quella blu più che raddoppia.

All'aumentare della variabilità del tempo di servizio, le prestazioni di sistema di deteriorano.

Esempio: utilizzazione all'80% → mediamente 3 unità nel sistema a causa di SD bassa.

Raddoppiando la SD aumentano le unità trattate, quindi questo deteriora le prestazioni del sistema.

INSIGHTS PER I MANAGER

OPZIONI PER RIDURRE IL NUMERO DI FLOW UNIT NEL SISTEMA (migliorare il servizio

al cliente)

• Ridurre gli arrivi (↓ ) per unità di tempo, però vuol dire generalente perdere clienti

• Ridurre il tempo di servizio medio

• Diminuire la variabilità del tempo di servizio . Es: procedure operative standard. 45

diminuisce il tempo medio di attesa e diminuisce il numero di utenti in attesa.

• …… e naturalmente aumentare il numero dei servers (ridurre l’utilizzazione). Però costa quindi

questa è l'ultima opzione.

La variabilità. Implicazioni sulla performance dei processi: Tempi di attesa.

BUSINESS CASE CALL CENTER

GENESI DEI TEMPI DI ATTESA

Tempi di attesa si verificano quando la rate della domanda è maggiore della capacità (intuitivo). Ciò è vero

anche in presenza di processi puramente deterministici.

NB: i processi deterministici D/D/1 hanno la domanda inferiore alla capacità, quindi non si generano file di

attesa!

In altre parole si può dire che qualora la utilizzazione implicita di una risorsa è superiore del 100%, tempi

di attesa sono inevitabili (ricordare esercizio aeroporto).

Tempi di attesa si possono verificare anche con utilizzazione implicita delle risorse inferiore al 100% a

causa della variabilità. La variabilità può riguardare sia il processo di arrivo della domanda che i tempi di

servizio.

Si possono generare code anche quando la domanda è maggiore della capacità in alcuni momenti della

giornata anche se poi mediamente la domanda è inferiore alla capacità

- momenti in cui la domanda > capacità

- momenti in cui non ho domanda, quindi la capacità risulta inutilizzata

La presenza di code è il sintomo di una malattia (mismatch/disallineamento fra supply e domanda). La

malattia può essere curata conoscendone le cause. Bisogna analizzare se siamo in presenza di un problema

di capacità, per risolvere il quale si usano le metodologie viste in precedenza, o di un problema di variabilità

per gestire il quale avremo bisogno strumenti diversi

ESEMPIO: Un call center (non molto realistico ma utile):

1 addetto presente dalle 7.00 alle 8.00

Domanda 12 chiamate/ora

Tempo di risposta 4 minuti , Flow rate = capacità = 15 risposte ora

Utilizzazione = domanda/flow rate = 12/15 =80% 46

Cominciamo costruendo una baseline. e consideriamo allo scopo un call center con 1 solo addetto

presente dalle 7.00 alle 8.00.

Arrivano in media 12 chiamate/ora (una ogni 5 minuti) ed, in media, il tempo necessario per la risposta è

di 4 minuti (Flow rate = capacità = 15

risposte/ora)

In questo caso la capacità è superiore alla

domanda e l’utilizzazione è inferiore al

100%.

Se le chiamate arrivano esattamente una

ogni 5 minuti e il tempo di risposta è

esattamente di 4 minuti non c’è alcun

tempo di attesa per i clienti. Questa

situazione è altamente inverosimile, ma

partire da qui ci aiuterà a capire cosa

succede in una situazione reale

Un processo più aderente alla realtà

Guardando il tempo di arrivo vedo che è in modo casuale

Se si esamina in dettaglio la situazione si vede che pur rimanendo la demand rate media a 12 chiamate/ora

l’intervallo di tempo fra gli arrivi non è costante (5 minuti) ma varia fra 2 e 9 minuti. Lo stesso vale per il

tempo di servizio alla chiamate che non è costante (4 minuti) ma varia fra 2 e 7 minuti

La distribuzione della variabilità dei tempi di servizio è riportata nell’istogramma.

La variabilità genera tempi di attesa anche con capacità sufficiente: 47

Con l’aiuto dei grafici esaminiamo nel dettaglio cosa succede.

La prima chiamata arriva alle 7.00 e viene lavorata senza attesa per il cliente in 5 minuti.

La seconda chiamata arriva alle 7.07. Come conseguenza l’operatore resta per due minuti – dalle 7.05 alle

7.07, inattivo e si verifica il primo mismatch fra supply e domanda. La seconda chiamata richiede 6 minuti

per la risposta (dalle 7.07 alle 7.13),

La terza chiamata arriva alle 7.09 e viene messa in attesa dalle 7.09 alle 7.13. Il cliente deve quindi

attendere 4 minuti in linea prima di parlare con l’operatore e si verifica il secondo mismatch fra supply e

domanda. La terza chiamata richiede 7 minuti per la risposta dalle 7.13 alle 7.20.

La quarta chiamata arriva alle 7.12 e si trova in coda dietro la chiamata 2 (in lavorazione) e la chiamata 3 (in

attesa). L’operatore può rispondere alla quarta chiamata alle 8.20 generando un’ attesa per il cliente di 8

minuti...........

Nel grafico sotto è riportato il numero di clienti (utenti) nel sistema. Nel sistema significa che sono, o in

attesa, o in corso di essere serviti. Il primo è un diagramma di Gant

Tra la prima barra blu e la seconda (quindi tra il primo e il secondo arrivo) c'è un mismatch, quindi ho

capacità ma non ho domanda da servire, questo vuol dire che l'operatore non viene utilizzato.

Inter

arrival

time

0

7

2

3

6

4

3

5

6

9

La terza chiamata risulta in attesa (pezzo rosso) perchè l'operatore sta servendo il cliente 2. Così come la

quarta chiamata, arrivando dopo 3 minuti dalla precedente, si troverà ad essere in coda (totale utenti in

coda = 2, quello della terza e quello della quarta chiamata).

Da un sistema deterministico (domanda < capacità) si passa ad uno reale dove la variazione dell'arrivo e dei

tempi di servizio determinano tempi di attesa.

NB: tutti i valori superiori o inferiori a 1 sono di mismatching perchè un operatore può rispondere a un solo

utente per volta, quindi:

- < 1 = capacità inutilizzata

- >1 = over loop

OSSERVAZIONI:

La maggioranza dei clienti ha tempi di attesa (più o meno lunghi) malgrado, in media, il fattore di

utilizzazione della capacità sia significativamente inferiore al 100%, infatti è pari all'80%.

Il call center non è in grado di fornire un livello di qualità costante (qualità in termini di tempo di attesa) in

quanto alcuni clienti devono attendere mentre altri sono serviti immediatamente

Malgrado tempi di attesa lunghi e lunghe code, l’operatore è sotto utilizzato (tempo inattivo) 48

PERCHE' LE MEDIE NON FUNZIONANO?

Si osserva che, nell’esempio del call center, l’operatore può servire un cliente solo in presenza di domanda,

cioè se domanda e capacità sono presenti simultaneamente.

In altre parole la capacità non può mai anticipare la domanda, mentre la domanda può, nel quale caso c’è

un mismatch fra domanda e capacità e come conseguenza si formano le code.

Se vediamo le code come inventories , ciò ci richiama il concetto in cui gli inventories sono buffers usati

per disaccoppiare il processo di supply dalla domanda (buffer or suffer). In questo caso il « buffer » sono i

clienti

NB: Se i modelli basati sulle medie non funzionano per descrivere le dinamiche dei processi, dobbiamo

introdurre dei modelli matematici che permettano di considerare gli effetti della variabilità.

FONTI DI VARIABILITA'

Si possono identificare quattro principali fonti di variabilità:

(a) Variabilità negli arrivi delle flow unit. Nella maggior parte dei processi gli arrivi sono casuali, cioè

non si conosce con esattezza quando una flow unit si presenterà. Si possono avere inoltre problemi

di qualità (es. passeggero con il passaporto scaduto ) per cui la flow unit non può entrare nel

processo, e da ultimo le flow unit possono costituire un mix di prodotti (esempio dello studio

tributario: nuovi clienti vs. vecchi clienti, dichiarazioni semplici vs. dichiarazioni complicate)

(b) variabilità nei tempi di servizio. Le ragioni di questa variabilità sono principalmente legate alla

variabilità dei comportamenti umani.

(c) variabilità legata alla disponibilità delle risorse. Le persone sono soggette ad assenteismo e le

macchine possono guastarsi.

Percorsi casuali. Se il cammino che una certa flow unit prende è casuale gli arrivi ad ogni risorsa del

processo sono anch’essi casuali. Per spiegare questo concetto consideriamo il pronto soccorso di un

ospedale. Le flow unit arrivano e sono sottoposte a triage prima di essere instradate su percorsi differenti.

Anche se gli arrivi fossero deterministici, questo instradamento casuale è sufficiente a generare variabilità.

ANALISI DELLA VARIABILITA' DI UN PROCESSO DI ARRIVI 49

Definizione

Inter-arrival time (IA) è la differenza (in unità di tempo) fra due arrivi consecutivi → IA è la differenza di

t

tempo fra l’arrivo t e l’attivo t+1

NB: con le ore e i minuti gli interv-arrival time non sono ma decimali!

Per analizzare la variabilità degli arrivi si utilizzano gli inter-arrival times (tempi fra gli arrivi)

Prima di sviluppare ed applicare il modello matematico in grado di predire gli effetti della variabilità

(derivato dalla teoria delle file d’attesa ) è necessario analizzare i dati degli inter-arrival times per

verificare:

(a) che il processo degli arrivi sia stazionario

(b) che i dati abbiano una distribuzione esponenziale

MISURARE LA VARIABILITA'

La più comune misura della variabilità è la deviazione standard.

La deviazione standard fornisce una misura assoluta della variabilità, è infatti espressa nelle stesse unità di

misura delle singole misure (e della media).

Per avere una misura relativa della variabilità si considera il coefficiente di variazione: misura relativa di

variabilità e ci permette di confrontare anche processi molto diversi.

CV x

Siccome deviazione standard e la media hanno le stesse unità di misura il CV è adimensionale.

VARIABILITA' ASSOLUTA E RELATIVA

• La deviazione standard è una misura assoluta di variabilità .

• I due processi rappresentati sotto hanno la stessa SD , quello a sinistra sembra più variabile di

quello a destra (non si può dire con certezza assoluta perchè i grafici usano scale diverse)

Average = 100 Stdev = 10

Average = 10 Stdev = 10 120

50

45 100

(min) (min)

40

35 80

time time

30

25 60

Inter-arrival Inter-arrival

20 40

15

10 20

5

0 0

Observation Observation

NB: hanno medie diverse nonostante abbiano SD(Stdev - deviazione standard) uguali.

• Se si normalizzano rispetto alla loro media e si usa la stessa scala possiamo confrontare dati

omogenei e concludere che il processo a sinistra è più variabile di quello a destra.

Average = 100 Stdev = 10

Average = 10 Stdev = 10 5.0

5.0 4.5

4.5 /Average

/Average 4.0

4.0

3.5 3.5

3.0 3.0

time

time 2.5

2.5 Inter-arrival

Inter-arrival 50

2.0

2.0 1.5

1.5

1.0 1.0

0.5 0.5

0.0 0.0

Observation Observation

IL COEFFICIENTE di VARIAZIONE SD IA

CV

a Media IA

Ricorda:

Ranges Coefficente Variazione

- [0,0.75] → “bassa” stocasticità

- [0.75,1.30] →“moderata stocasticità”

- [1.30, ∞] → “elevata stocasticità

VERIFICA IPOTESI DI STAZIONARIETA'

Supponiamo che il processo degli arrivi, nell’arco delle 24 ore,

delle chiamate al nostro call center sia rappresentato nella

figura.

Si osserva un andamento di « stagionalità » durante la

giornata. Il numero di chiamate in un intervallo di 15 minuti

non è costante. = sistema non stazionario

DEFINIZIONE:

Un processo de »gli arrivi si definisce stazionario se, per ogni

intervallo di tempo (ex. 15 min) il numero degli arrivi attesi è,

in media, costante.

Il processo degli arrivi nel nostro call center NON è un

processo stazionario, di conseguenza non possiamo usare

Markof (ovvero il processo nascita -morte) → intervalli di tempo lunghi raramente sono stazionari,

Soluzione: cercare la stazionarietà in intervalli di tempo più brevi. Se neanche così si trova la stazionarietà si

abbandona l'idea di cercare un modello con le equazioni, per utilizzare la simulazione.

Nel caso in esame si può dividere il processo in intervalli di 3 ore. Anche in questo caso non c'è

stazionarietà perchè il numero di arrivi dipende da

quando arrivano le persone. 51

La stazionarietà del processo può essere testata usando un semplice metodo grafico.

Procedimento:

1. si ordinano i tempi di arrivo (minuti chi chiamata) in modo crescente (nota bene: tempi di arrivo

non gli inter-arrival times!);

2. si costruisce il grafico con tempi di arrivo (sulle x) e numero cumulato degli arrivi (sulle y);

3. traccio la retta da 0 al punto dell'ultimo arrivo;

4. se il sistema è stazionario, c’e’ da attendersi un incremento lineare e pertanto le chiamate in arrivo

stanno sulla retta; se il sistema non è stazionario, le chiamate in arrivo si disperdono sopra e sotto

la retta

Più nello specifico, se si esamina il grafico di sinistra si vede che nelle prime ore (fino alle 8.30) la rate degli

arrivi è inferiore alla rate media (linea retta) dell’intero periodo dalle 6.00 alle 10.00,

mentre dopo le 8.30 è superiore.

L’esame del grafico di destra mostra che il processo è stazionario a livello micro (intervalli di 15 min)

mentre mostra marcata stagionalità sull’intero periodo.

La Variabilità del processo degli arrivi puo’ essere scissa in due parti: stagionalità e randomness (analisi

delle serie storiche).

La stagionalità può essere prevista ex-ante (e si possono prendere le decisioni adeguate), mentre cio’ non è

possibile per il white noise

Nel nostro caso il sistema è stazionario a livello micro (chart a dx intervallo di 15’) , tuttavia esibisce

condizioni non stazionarità su intervalli tempo più lunghi (chart a sin intervallo di 4 ore)

Cosa fare in caso di non stazionarietà?

Stante l’ipotesi di stazionarietà per l’applicazione di modelli di teoria delle code, quando ci si trova di fronte

a condizioni di non-stazionarietà si divide l’intervallo di tempo in intervalli più piccoli (nei quali le condizioni

di stazionarietà sono rispettate) e si applica il modello a ciascun sub-intervallo usando arrival rates diverse

per ogni sub-intervallo. 52

VERIFICA IPOTESI di DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE DEGLI IA TIME

La seconda ipotesi sottostante i modelli matematici di teoria delle code (oltre alla stazionarietà) è che i gli

inter-arrival times siano distribuiti esponenzialmente

1 1 1

t   

     a

t a

Pr( IA t ) 1 e 1 e 

a

dove "a" è l'IA medio

Ricordiamo che la distribuzione esponenziale 1

1   

  SD var a

media a 

2

e pertanto CV (coefficiente d variazione) = 1

RICORDA:

La funzione di distribuzione (proprietà cumulata) è data da

Da cui si ricava che:

   x

P ( X x ) 1 e

  x

P ( X x ) e  

 

   

a b

P ( a X b ) e e

La distribuzione esponenziale e’ una distribuzione continua, il che e’ logico visto che descrive una

distribuzione di tempi, ed il tempo e’ una variabile continua.

Un punto importante da sottolineare e’ che la distribuzione esponenziale e quella di Poisson sono in

relazione l’una con l’altra. Il che e’ altrettanto logico visto che essa descrive la distribuzione dei tempi fra il

realizzarsi di un evento e di quello successivo quando questi eventi seguono un processo di Poisson.

Per la verifica delle ipotesi di distribuzione esponenziale degli IA time si svolge lo stesso procedimento

dell'ipotesi di stazionarietà. 5 steps:

1. Si calcolano gli IA (a ) tra una chiamata e l'altra

i

2. Si ordinano gli IA al più piccolo al più grande (a .............a )

1 n

3. si plottano i punti x:a ovvero gli inter-arrival time y: funzione distributiva

i

che va da 0 a 1 come una probabilità. 53

4. Si traccia il grafico della distribuzione esponenziale teorica con parametro λ uguale alla media degli

IA che si ottiene dai dati.

5. Si confronta la distribuzione empirica dei dati con quella teorica. Se i punti (a meno dell’errore

sperimentale) giacciono sulla curva si può affermare che gli IA hanno una distribuzione di

probabilità esponenziale

NON

COSA FARE SE IA SONO DISTRIBUITI ESPONENZIALMENTE

I

Es. arrivi su appuntamento

In alcuni casi gli IA possono non essere distribuiti esponenzialmente. (es. arrivi su appuntamento).

Se nel caso di una distribuzione esponenziale Media IA = SD IA => CV = 1 questo non è piu’ vero se la

distribuzione non è esponenziale.

In questo caso bisogna calcolare il CV con la formula ed il modello diventa più complicato

Quindi: steps per analizzare gli arrivi

VARIABILITA' DEL TEMPO DI SERVIZIO (ATTIVITA', PROCESSO)

Standard deviation tempi attività

CV

p Media tempi attività 54

 SD tempi attività = 150 secondi.

 Tempo media chiamata = 120 secondi.

 CV = 150 / 120 = 1.25 (processo a stocasticità moderata)

p

La variabilità di durata delle chiamate è considerevole, e questa variabilità si

aggiunge a quella negli arrivi per determinare la variabilità complessiva del

sistema

I modelli che ricaveremo richiedono

che anche il processo di servizio sia

stazionario.

Nel caso in cui non lo fosse

(stagionalità) bisogna suddividere il

tempo in intervalli più piccoli.

Invece, non sono necessarie

assunzioni particolari circa la

distribuzione di probabilità del

tempo di servizio. Sarà sufficiente

conoscere media e varianza.

Vogliamo ricavare un modello che ci permetta di fare previsioni sulle tre misure chiave di performance dei

processi: inventory, flow rate, flow time, in presenza di variabilità.

Inventory, flow rate e flow time rappresentano le 3 misure chiave di performance.

nei sistemi stazionari la domanda è inferiore alla capacità.

Situazione inversa negli IA time (flow rate) = persone

al minuto 55

Stiamo considerando casi dove la Capacità > Domanda e malgrado ciò le flow unit incorrono in tempi

d’attesa

Processo degli arrivi: in media una flow unit arriva nel sistema ogni « a » unità di tempo. Pertanto « a » è IA

medio. a = avg (a .........a )

1 n

CV può essere calcolato dai dati.

a

Processo di servizio: una flow unit impiega in media « p » unità di tempo per essere servita. p = avg

(p .......p )

1 n

CV può essere calcolato dai dati.

p

Siccome c’e’ un solo server la sua capacità può essere scritta come Capacità = 1/p

Siccome una flow unit arriva ogni a unità di tempo la flow rate può essere scritta come Flow Rate = 1/a

Se Poisson CV = 1

a

Se c’e’ in solo server I (inventory di servizio) è un numero compreso fra 0 e 1.

p

Per la frazione di tempo in cui c’è una flow unit in servizio I =1, per la frazione di tempo in cui il server non

p

è occupato I =0. La probabilità che in un certo momento il server sia occupato, o meno, corrisponde

p

all’utilizzazione.

Per esempio se l’utilizzazione è 50% la probabilità che ad un certo tempo t il server sia occupato è il 50%.

(Proprietà PASTA). Per la proprietà PASTA quindi I = Utilizzazione

p

La formula può essere applicata anche se gli interarrival times non sono distribuiti esponenzialmente, il

questo caso però il valore di T calcolato è approssimato. (mentre è al 100% esatto nel caso di distribuzione

q

esponenziale).

Fattore Tempo Servizio: il tempo speso in coda dipende linearmente dal tempo di servizio, tuttavia

considerato che il tempo di servizio entra nel calcolo dell’utilizzazione contribuisce alla non linearità.

Fattore Utilizzazione: L’utilizzazione deve essere imperativamente < 100% altrimenti la coda continua a

crescere indefinitamente (per mancanza di capacità).

Osserviamo che il fattore utilizzazione è non lineare e ha un limite a infinito quando l’utilizzazione si

avvicina al 100%. Per utilizzazione = 0.5 il fattore di utilizzazione = 1. Per utilizzazione = 0.8 il fattore di

utilizzazione = 4 56

Fattore Variabilità: il terzo fattore cattura la variabilità presente nel sistema, ed il Tempo in Coda aumenta

all’aumentare della variabilità.

Quindi, il tempo in coda:

- dipende linearmente dal tempo di servizio

- dipende in modo NON lineare dal fattore di utilizzazione

- è un fattore moltiplicativo della variabilità.

I due grafici illustrano l’andamento del

numero di flow units nel sistema, man

mano che passa il tempo, nel caso in cui

l’utilizzazione sia inferiore al 100%

(sistema stabile) ed in cui sia superiore al

100% (sistema instabile). E’ intuitivo

dedurre che nel caso in cui arrivi al

sistema un numero di flow units

superiore a quello che il sistema riesce a

processare, il loro numero nel sistema

cresce all’infinito.

ESERCIZIO:

Condizioni:

2.00 am 1 operatore

p = 90 sec

SD = 120 sec

p

CV = 120/90 = 1.33

p

a =5 min = 300 sec (1 chiamata ogni 5 min)

CV = 1 (arrivi di Poisson)

a

Utilizzazione = p/a = 0.3

Applichiamo la formula praticamente. Esaminiamo il

processo del call center alle 2.00 am.

Scegliamo una specifica ora della giornata, perchè

abbiamo visto che il processo presenta stagionalità; A

diverse ore della giornata di devono usare parametri

diversi.

53.57 è il tempo di attesa medio, alcuni clienti possono

attendere meno, altri di più. Se si campiona il sistema in

uno specifico momento è poco probabile che si osservi

un tempo di attesa esattamente uguale 53.57 sec. 53.57

è la media a lungo termine del tempo d’attesa, in altre

parole più a lungo si osserva il sistema più la media

empirica si avvicinerà al valore di 53.75.

Ora che il flow time T è stato calcolato si può calcolare

l’inventory medio usando la legge di Little.

=

→ mediamente mesno di una chiaata in attesa 57

Possiamo anche calcolare I applicando la Legge di Little, non all’intero sistema ma alla coda

q

Per il calcolo di I (quanti clienti sono in corso di essere serviti) si usa la proprietà PASTA, quindi

p

I = Utilizzazione = 0.3

p

UN PROCESSO CON SERVERS MULTIPLI Interarrival time medio = a

Tempo servizio medio = p

Assunti:

- tutti i servers sono ugualmente competenti (tempo medio di servizio p uguale)

- Ogni flow unit è servita da un solo server

- Le flow unit aspettano finchè il servizio è completato

- Utilizzazione <100% 1

Flow _ rate 1 / Interarriv

al _ Time p

a

   

Utilizzazi

one m

Capacità # _ Servers

/ Tempo _ processo a * m

p

• Supponiamo:

– a = 35 secondi (un cliente ogni 35 sec)

– Flow rate = 1 / 35 clienti/sec

– p = 120 sec/cliente

– Capacità di ogni server = 1 / 120 clienti/sec

– m = number of servers = 4

• Quindi

– Capacità = m x (1 / p) = 4 x (1 / 120) = 1 / 30 clienti/sec

– =

=

= 85.7%

IMPLICAZIONI DELL'UTILIZZAZIONE

• Un'utilizzazione dell’85.7% significa:

– In ogni momento c’e’ 85.7% di probabilità che un server sia occupato e 1-0.857 = 14.3%

probabilità che un server sia libero .

– in ogni momento, in media, 85.7% dei servers sono occupati e 1 – 0.857 = 14.3% sono liberi 58

Se l’utilizzazione è < 100% : il sistema è stabile ( la lunghezza della coda non continua ad aumentare perchè

c’è sufficiente capacità di soddisfare tutta la domanda

Se l’utilizzazione è 100% : l sistema è instabile ( la lunghezza della coda continua ad aumentare)

FORMULA TEMPI DI ATTESA PER UN SISTEMA DI SERVERS MULTIPLI

Da notare che mentre la formula per un solo server fornisce una soluzione esatta, nel caso di server multipli

la formula fornisce una soluzione approssimata. La formula, tuttavia, funziona bene nella maggior parte dei

casi pratici.

In termini più formali si può dire che i risultati sono affidabili quando il rapporto è alto

(u/m=grande)

Dove:

Fattore capacità→ tempo medio di processo del sistema = (p/m). La domanda non influenza

questo fattore

Fattore utilizzazione → La domanda influenza questo fattore perchè l’utilizzazione è

il rapporto fra domanda e capacità .

Fattore variabilità → Più variabilità nel sistema determina tempi di attesa più lunghi

• Supponiamo:

– a = 35 secondi, p = 120 secondi, m = 4

– Utilizzazione = p / (a x m) = 85.7%

– CV = 1, CV = 1 (processo M/M/4)

a p    

  2 2

  2(m 1) 1 CV CV

tempo processo Utilizzazi one

   

  

  a p

Tempo in coda  

 

 

m 1 - Utilizzazi one 2

 

 

 

   

  2(4 1) 1 2 2

120 0.857 1 1

   

   

  150

 

 

   

4 1 - 0.857 2

  59

• Pertanto Flow time = 150 + 120 = 270 secondi.

– In media il cliente passerà 270 secondi nel sistema (parte in attesa, parte essendo servito)

RIASSUNTO CALCOLI TEMPO DI ATTESA

1. Raccogliere i seguenti dati:

• # servers « m »

• tempo processo « p »

• intearrival time « a »

• coefficiente variazione interarrival time CV , tempo processo CV

a p

dove

2. Calcolare l'utilizzazione

3. Calcolare T q    

  2 2

  2 ( m 1

) 1 CV CV

tempo servizio utilizzazi

one

   

  

  a p

Tempo in coda  

 

 

m 1 utilizzazi

one 2

 

 

4. Note T calcolare gli atri parametri

q

• T = T + p

q

• I = m x u (l’utilizzazione di ciascuna risorsa presa singolarmente = utilizzazione del processo in quanto

p

ciascuna risorsa processa la domanda alla stessa rate)

• I =T /a

q q

• I = I +I

p q

QUANTI CLIENTI NEL SISTEMA? • Legge di Little I = R x T

• R = Flow Rate = (1/a)

– La flow rate è uguale alla demand rate perchè

utilizzazione < 100% e pertanto il sistema e demand constrained

• I = (1/a) x T = T / a

q q q

• I = (1/a) x p = p / a

p – Da notare che il tempo di servizio non dipende dal

numero dei servers perchè quando un cliente è servito da un solo

server

UTILIZZAZIONE E PERFOMANCE DEL SISTEMA

   

  2 2

  2 ( m 1

) 1 CV CV

tempo servizio utilizzazi

one

   

  

  a p

Tempo in coda  

 

 

m 1 utilizzazi

one 2

 

 

NB. Il tempo di attesa cresce in modo drammatico quando l'utilizzazione si avvicina al 100% 60

Modello mentale del cliente → Per i clienti il "valore" è l'esperienza personale

I clienti non sono interessati al tempo medio di attesa, ma sono fortemente influenzati dalla loro esperiènza

personale.

Pensare all’effetto che avrebbe dire ad un cliente, in attesa da 20’ in linea: I nostri operatori sono

momentaneamente occupati, la informiamo comunque che il tempo medio d’attesa è di 5 minuti. Grazie

per la sua pazienza.

Siccome da un punto di vista di business siamo interessati a non perdere chiamate è fondamentale

conoscere la probabilità che il tempo di attesa sia piu’ lungo di un certo valore obbiettivo (considerato

accettabile) TWT (Target Wait Time)

Ad esempio il Call Center reclami delle ferrovie tedesche ha un TWT di 20’ secondi e un obbiettivo di

rispondere all’80% delle chiamate in un tempo ≤ 20 sec

Un TWT basso comporta dei costi di staffing e pertanto il driver per decidere quanto esso deve essere è

essenzialmente la competitività del mercato.

Valore = Expectations x Experience

Experience = f(process, outcome)

Se le aspettative sono alte e l'esperienza non è buona è peggio che se ho basse aspettative.

LIVELLO DI SERVIZIO, definizione formale:

Il livello di servizio , per un certo TWT (Target Wait Time), è la percentuale di clienti che inizia il servizio in

un tempo ≤ TWT

Livello di servizio = Probabilità {Waiting TimeTWT}

Per M/M/1:  

  

     (

1 ) t

SL 1 P (

T t ) 1 e

q  

  

  (

1 ) t

P (

T t ) e

q

Ad esempio un livello di servizio del 95% per un TWT di 2 minuti significa che il 95% dei clienti devono

aspettare in coda 2 minuti o meno.

Grafico empirico dei tempi di attesa al call center (campione di uno specifico intervallo di tempo). Il grafico

si costruisce analogamente a quanto visto precedentemente per gli interarrival times.

IL 65% dei clienti non hanno attesa, mentre il rimanente 35% hanno un’attesa variabile (distribuzione

esponenziale).

Per un TWT = 30 secondi il livello di servizio = 90%

Il livello di servizio, come definito sopra, è una misura di performance comune per le società che erogano

servizi come i call centers. 61

CONSEGUENZE ECONOMICHE DELL'ATTESA - CREAZIONE DI UN PIANO DI STAFFING

Ricorda che la domanda varia nel corso della giornata

Dal punto di vista manageriale la domanda a cui rispondere è: quanti addetti avere in servizio in ogni

momento della giornata ?

Il trade-off è fra i costi generati dall’attesa (mettiamo per il momento on hold il costo del thoughput perso

perchè lo esamineremo nelle prossime lezioni) ed il costo della capacità

Per trovare quanti addetti sono necessari bisogna decidere prima quanto « responsive » vogliamo essere.

Possiamo alternativamente

(a) definire un tempo medio di attesa (es T medio < 10 sec)

q

(b) definire un livello di servizio (es 95% dei clienti serviti con un T < 20 sec)

q

Nel caso del ns. call center, calcoliamo il livello di staffing usando il target (a) nell’intervallo fra le 8.00 e le

8.15. Notare che il numero minimo di addetti è 8, altrimenti u > 100%

p = 90 sec

a = 11.39 Per raggiungere il target di servizio definito il call center

Utilizzazione ha bisogno di 12 addetti.

u= p/(m * a)

# Addetti T medio (sec)

q Così otteniamo il numero di operatori necessario tre le 8

e le 8:15 e si ottiene un grafico come questo.

8 0.99 1220.84 Ovvimante possiamo ripetere questo processo per ogni

9 0.88 72.41 intervallo.

10 0.79 24.97

11 0.72 11.10

12 0.66 5.50

13 0.61 2.89

14 0.56 1.58

Supponiamo che

• il costo per addetto sia € 10/ora =16.66 cent/min

• il costo linea telefonica € 0.05/min

NB: c'è una linea per addetto: quando è occupata/c'è attesa cosa, quando è libera il costo è 0

quindi possiamo dire che il costo della linea telefonica è legato a:

- tempo di servizio

- ma anche al tempo di attesa.

Costo lavoro = Salario totale per unità di tempo/flow rate

Flow rate = 1/a (a = interarrival time medio)

Salario totale per unità di tempo = # addetti * salario 62

(1)

Siccome l’equazione (1) puo’ essere riscritta come

(2)

Questo ci permette di capire meglio quale sia il costo del lavoro, inflazionato per un fattore 1/u che

considera il tempo di inattività dell'operatore (quindi dipende dall'utilizzazione)

costo linea €/min 0.05

p(sec) 90

a(sec) 11.39 Utilizzazione Costo Lavoro Costo linea Costo totale

u= p/(m * a) per chiamata € per chiamata € per chiamata

# Addetti T medio (sec)

q

8 0.99 1220.84 0.2530 1.092 1.3454

9 0.88 72.41 0.2846 0.135 0.4200

10 0.79 24.97 0.3163 0.096 0.4121

11 0.72 11.10 0.3479 0.084 0.4321

12 0.66 5.50 0.3795 0.080 0.4591

13 0.61 2.89 0.4111 0.077 0.4886

14 0.56 1.58 0.4428 0.076 0.5191

Il costo totale è minimo quando si hanno 10 operatori, tuttavia

• non si sono considerati i costi generati dalla perdita di throughput

• non si è considerato l’impatto reputazionale (costi sostenuti dal cliente)

Si è visto in precedenza che per ottenere il livello di servizio desiderato erano necessari 12 addetti, la

differenza fra €0.4591 e €0.4121 rappresenta il costo di trade-off fra servizio ed efficienza (costi).

A seconda della strategia si sceglie se posizionarsi sui costi (scegliendo la situazione con 10 addetti) oppure

sul servizio (12 addetti). Questa scelta è puramente manageriale e non esiste una cosa giusta in assoluto.

Se ripetiamo l’analisi fatta per l’intervallo fra le 8.00 e le 8.15 su tutti gli slot, otteniamo il piano di staffing

giornaliero

DISCIPLINA DI SERVIZIO DELLE FILE DI ATTESA Discipline che

Discipline che dipendono dal

non dipendono tempo di servizio.

dal temo di - SPT (Short

servizio Processing First)

- FIFO (Fisrt-In- → si serve prima

First-Out) quello con tempo

- Priority List di servizio

inferoiore

• Shortest Processing Time

- minimizza il tempo di attesa (in assoluto)

- il problema è conoscere a priori il vero tempo di servizio

• First-In-Firs-Out (anche conosciuta come First-Come-First-Serve)

- di facile implementazione

- percepita come fair

- minimizza il flow time fra le discipline non dipendenti dal tempo di servizio 63

• Disciplina basata sull’ordine di importanza (Priority list)

- emergenze

- flow units profittevoli (fast track negli aerei)

- aumenta il flow time medio

Per ridurre al minimo il tempo di attesa uso SPT.

NB: qualsiasi disciplina che non sia il FIFO è considerata dalla persone in coda come ingiusta anche se

esistono sistemi più efficienti.

COME RIDURRE LE FILE DI ATTESA: POOLING

3 casi:

1. Polled → una coda, 4 servers

2. Parzialmente polled → 2 code con 2 servers ciascuna

3. Code separate → 4 code con un server ciascuna

Es. autostrada

Per tutti i sistemi

La variabilità è la stessa CV = 1, CV = 1

a p

La domanda totale è la stessa 1/35 clienti/secondo

Il tempo di servizio è lo stesso p = 120 sec

Utilizzazione è la stessa : p / a x m = 85.7%

La probabilità che un server sia occupato è la stessa = 0.857

Quindi:

possiamo concludere che Pooled sia il sistema più efficiente anche se non si direbbe! 64

Con I = tempo di attesa e I = tempo di servizio

q p

Possiamo dire che Pooling riduce il numero di

clienti in attesa ma non il numero di clienti in

servizio, questo perchè....

• Entrambi i sistemi hanno 6 clienti

• Nel sistema pooled tutti i servers sono occupati e de clienti sono in attesa

• Nel sistema a file d’attesa separate due serves sono non occupati e 4 clienti sono in attesa

• Il sistema a file d’attesa separate è inefficiente perchè non utilizza al meglio la capacità (quindi fila più

lunga)

Il grafico illustra come il tempo di attesa diminuisce all’aumentare dei servers nel pool delle risorse.

Considerato che un sistema pooled fornisce, a parità di risorse, un servizio significativamente migliore che

processi individuali, un’organizzazione può usare il pooling

per migliorare la qualità del servizio senza dovere aumentare il numero delle risorse

- Ridurre il numero delle risorse mantenendo lo stesso livello di servizio

-

QUANDO IL POOLING NON E’ LA SOLUZIONE

• Il pooling ha pochi benefici quando i sistemi non sono realmente indipendenti. (I clienti hanno la

possibilità di cambiare fila)

• In molti casi i clienti desiderano essere serviti dalla stessa risorsa (pensare al sistema della guardia

medica o delle visite specialistiche)

• Il Pooling può generare dei set up aggiuntivi (pensare ad esempio al consulente fiscale non familiare

con la situazione di un cliente). L’effetto dei setup sulla capacità lo abbiamo già visto.

• Il pooling può comportare un incremento della variabilità dei tempi di servizio (clienti diversi). Questo

eventuale aumento di variabilità comporta un aumento dei tempi di attesa che compensa i benefici

ottenuti tramite il pooling ( trade-off). 65

La variabilità. Implicazioni sulla performance dei processi: Perdite di Throughput

EFFETTO DELLA VARIABILITA': SOLO ATTESA

Stiamo considerando casi dove la Capacità > Domanda e malgrado ciò le flow unit incorrono in tempi

d’attesa

Processo degli arrivi: in media una flow unit arriva nel sistema ogni « a » unità di tempo. Pertanto « a » è IA

medio. a=avg (a .........a )

1 n

CV può essere calcolato dai dati.

a

Processo di servizio: una flow unit impiega in media « p » unità di tempo per essere servita. p= avg

(p .......p )

1 n

CV può essere calcolato dai dati.

p

Siccome c’e’ un solo server la sua capacità può essere scritta come Capacità = 1/p

Siccome una flow unit arriva ogni a unità di tempo la flow rate può essere scritta come Flow Rate = 1/a

Utilizzazione : Flow Rate/Capacità = (1/a) / (1/p) = p/a < 100%

Dopo aver esaminato la problematica dei tempi di attesa generati dalla variabilità, rivolgiamo ora

l’attenzione su un altro effetto non desiderato della variabilità: le perdite di throughput.

Le perdite di troughput avvengono in due casi:

il buffer per le flow units in arrivo è limitato, quando questo è saturo la domanda in arrivo non

- riesce ad entrare nel sistema.

Le flow units abbandonano il sistema perchè il tempo di attesa è eccessivo.

- Analizzare processi con perdite di

- throughput è significativamente più

complicato che analizzare processi

in cui le flow units attendono

(pazientemente in coda).

Ora torniamo al nostro esempio del call

center: → 66

PERCHE IN PRESENZA DI VARIABILITA' LE MEDIE NON FUNZIONANO?

Scenario Domanda Capacità Flow Rate

A 0 0 0

B 0 1 0

C 0 2 0

D 1 0 0

E 1 1 1

F 1 2 1

G 2 0 0

H 2 1 1 lecito fare la media della flow rate

J 2 2 2 perchè gli eventi sono equiprobabili

Media 1 1 0.56

Domanda in un intervallo di 5 min può assumere valori 0,1,2 con la stessa probabilità.

Media = 1

Capacità nello stesso intervallo di 5 minuti può assumere valori 0,1,2 con la stessa probabilità.

Media = 1

Da un punto di vista aggregato il sistema sembra in equilibrio:

Flow rate = min {Domanda, Capacità} = min {1,1} = 1

Vendite una flow unit ogni cinque minuti

Sfortunatamente ciò non è si verifica......... come mai ?

Se si analizza il processo nel dettaglio, si nota che si possono verificare 9 possibili scenari.

Si osserva che nei primi tre scenari, non si vende nulla malgrado la capacità sia presente perchè si è limitati

dalla domanda.

Si guarda agli ultimi tre scenari, malgrado la domanda sia presente non si riesce a vendere più di una flow

unit ogni cinque minuti perché si è limitati dalla capacità.

Se calcoliamo la flow rate reale del processo (media dei nove scenari) si osserva che essa è circa ½ di quella

media. In pratica ½ delle vendite che si erano considerate possibili non si materializzano in pratica.

Per poter realizzare una vendita bisogna che domanda e supply siano presenti nello stesso momento.

Cosa si può fare ? creare dei buffer ! Remember: Buffer or suffer !

(a) Inventories : si possono produrre delle flow units quando non c’e’ domanda e creare un inventory

da utilizzarsi quando la domanda eccede la capacità

(b) Tempo: si può provare a mettere dei clienti in fila d’attesa nei momenti di picco della domanda.

(c) Capacità : si può aumentare la capacità in modo tale da poter rispondere ai picchi di domanda

INVENTORIES DI STAGIONALITA'

• Gli inventories di stagionalità sono la conseguenza del fatto che mentre la capacità è rigida la domanda

varia nel corso dell’anno.

Quando la domanda ha un andamento stagionale, dal punto di vista della capacità ci sono due

strategie possibili:

- Cominciare la produzione con anticipo e costituire delle scorte

- Aumentare e diminuire la capacità per seguire l’andamento della domanda.

• Fino a quando sarà costoso (dal punto di vista economico e sociale) aumentare e diminuire la

capacità, le aziende tenderanno a livellare la produzione costituendo inventories di stagionalità

CASO: SERVIZI DI PRONTO SOCCORSO

' importante ridurre la domanda inappropriata dei servizi di emergenza-urgenza, per consentire un corretto

funzionamento del sistema; esprimo profonda adesione e massimo consenso per questa iniziativa di 67

informazione che ha visto, nella sua organizzazione e realizzazione, il coinvolgimento di molti giovani con

idee innovative".

Lo ha detto il Ministro Balduzzi intervenendo alla conferenza stampa del 20 marzo presso l'auditorium di

Lungotevere Ripa, a Roma, durante la quale è stata presentata la Campagna informativa "Il corretto uso dei

servizi di emergenza-urgenza", nata dalla collaborazione tra il Ministero della Salute e l'Agenas - Agenzia

nazionale per i servizi sanitari regionali, insieme a Regioni e Province Autonome di Trento e Bolzano, hanno

dato avvio alla Campagna

→Trend macroeconomici che generano saturazione dei reparti di Pronto Soccorso

• Aumento delle visite ai reparti di PS

• 40% dei pazienti sono ricoverati attraverso i PS

• Diminuzione del numero dei reparti (contenimento costi)

• Conseguenze:

– Lunghi tempi di attesa

– Perdite di throughput

• Tutti gli ospedali, in presenza di una condizione di emergenza, sono obbligati ad prestare le cure

necessarie per stabilizzare il paziente. In mancanza di risorse (staff, spazio fisico .....) per accettare

pazienti l’ospedale dichiara di essere in uno « stato di diversion » e dirige ambulanze e elicotteri già in

viaggio verso altri ospedali.

NB: 20% degli ospedali (negli US) non sono in grado di accogliere pazienti per 2.4 ore/giorno (stato di

diversion)

In questo caso è ammissibile un solo buffer: la capacità. Inventory (trattandosi di un servizio) è

concettualmente impossibile, e il tempo è impraticabile (in condizioni di emergenza non si puo’ fare

attendere un paziente)

ANALISI DI UN SISTEMA CON PERDITE

Il diagramma di flusso del processo mostra, no buffer (tempo attesa non possibile in caso di emergenza) e

risorse parallele multiple.

Massimo tre flow units (pazienti nel processo)

# _ Risorse 3

  

Capacità 1

.

5 pazienti

/ ora

Tempo _ Servizio 2

( ore / paziente

)

CV 1 __(

arrivi _ di _ Poisson

)

a

Si vuole analizzare le seguenti misure di performance del sistema

• Per quale percentuale del tempo il reparto non sarà in grado di accettare pazienti (diversion) 68

• Quanti pazienti sono stati dirottati ad altri ospedali

• Quale è la flow rate di pazienti trattati dal reparto nelle 24 ore.

Lo step più importante (e più complicato) per l’analisi del sistema è calcolare la probabilità P , che tutte

m

le m risorse siano utilizzate!

La probabilità P dipende da due variabili

m

• L’utilizzazione implicita : è interessante notare che siccome le flow units in eccesso non entrano

nel processo non è più necessario porre la condizione che u < 100%. In sostanza il processo non

perde stabilità

(ricordiamo che ; U )

• Il numero di risorse m.

Demand _ Rate 0

.

333

( pazienti

/ ora

)

  

Utilizzazi

one _ IMPL 0

.

222

Capacità 1

.

5

( pazienti

/ ora

)

0.222 è strano come risultato? NO. E' giusto che l'utilizzazione sia così bassa perche questo permette di

diminuire le cose, però vuol dire anche che aumentano i costi ma la società è disposta a sostenere questo

extra costo.

Calcolo di P (r) = tutti i server sono occupati

m

• Definiamo r = p / a

• r = 2 ore/ 3 ore → r=0.67

• m=3

• Si usa la tavola della funzione perdita di Erlang

• Trovare P (0.67)=0.0255

3

Nel caso in cui sia debba avere un sistema che risponde

velocemente (e non si possano detenere inventories) è

necessario avere un buffer di capacità.

Nel nostro caso si ha una utilizzazione del 22.2%, che è

costoso, questo è comunque il prezzo che la società è

disposta a pagare pr avere dei servizi di emergenza. Stesso

discorso vale ad esempio per i vigili del fuoco.

CALCOLO MIRURE DI PERFORMANCE DEL SISTEMA

• Per quale percentuale del tempo il reparto non sarà in grado di accettare pazienti (diversion)

P (0.67)=0.0255

3

• Quale è la flow rate di pazienti trattati dal reparto nelle 24 ore.

(almeno un server libero)

= 1/a * (1- P (r))

m

= 0.3333 * 0.975 = 0.325 pazienti/ora

• Quanti pazienti sono stati dirottati ad altri ospedali

• (tutti i servers occupati)

= 1/a * P (r)

m

= 1/3 * 0.0255 = 0.0083 pazienti/ora * 24 = 0.2 pazienti/giorno

Probabilità {tutti m servers occupati}= m

r

m

!

P ( r )

m 1 2 m

r r r

   

1 ... 69

1

! 2

! m

!

Consideriamo ad esempio il caso in cui l’utilizzazione aumenti al 50% dovuta ad un aumento della

domanda. Quale sarà la probabilità che i 3 servers siano occupati

Ricordando che 1

Flow _ rate 1 / Interarriv

al _ Time p

a

   

Utilizzazi

one m

Capacità # _ Servers

/ Tempo _ processo a * m

p

  

r p / a u * m 1 .

5 

P (

1

.

5

) 0

.

1343

da cui con la formula di Erlang 3

L’aumento dell’utilizzazione porta al dirottamento delle emergenze verso altri ospedali per 13% del tempo .

Non linearità: utilizzatione x 2.25 , tempo in diversion x 5.2

Utilizzazione implicita vs probabilità che tutti i servers siano occupati

Una utilizzazione del 50% porta ad avere l’unità di

emergenza fuori servizio per 30% del tempo, nel

caso di un server, per 13% nel caso dei 3 servers e

per il 2% nel caso di 10 servers.

BUFFER OR SUFFER: DIVERSI MODELLI

La variabilità è sempre un problema – il conto si paga comunque, attraverso un flow time più lungo o una

flow rate (throughput) più bassa

Abbiamo esaminato il caso di un sistema in cui le flow units (clienti) aspettano

pazientemente in coda fino ad essere servite (call center), I buffer quindi sono infiniti e la

flow rate è solo in entrata → pura attesa 70

abbiamo anche esaminato il caso in cui nessuna flow unit è in attesa (servizio di emergenza),

dove non ci sono buffer e se il sistema è occupato (non ci sono servers) non entra nessuna

flow rate → pura perdita.

Questi sono due casi estremi dello spettro di tutti i casi possibili.

Vi sono tuttavia dei casi intermedi, i quali tuttavia sono più complicati da trattare.

CASO 1:

Nel caso di un server singolo la relazione fra la dimensione del buffer e la

probabilità che il sistema non sia in grado di accettare ulteriori flow units è

illustrata dalla curva a sinistra.

Con l'aumento dei buffer, la probabilità che tutti i server siano occupati

diminuisce. Come si nota la probabilità diminuisce rapidamente al crescere

della dimensione del buffer. A buffer invariato, la probabilità che il sistema

sia pieno aumenta all’aumentare della utilizzazione.

immagine speculare dell'altro grafico (→)

Impatto della dimensione del buffer sulla probabilità P (sin) e sul throughput del sistema (dx) per diversi

m

livelli di utilizzazione implicita. Caso server singolo:

Throughput = (1- Prob buffers pieni) * rate domanda

cioè esattamente il valore plottato nel grafico 2

Siccome siamo in grado di calcolare il throughput, il primo grafico ci fornisce la misura del throughput perso

a causa della variabilità.

Da notare che per raggiungere, più o meno, lo stesso livello di throughput che si avrebbe senza variabilità

c’e’ necessità di 10 buffers

CASO 2:

I dati, presi da una ricerca pubblicata nel 2003,

mostrano la relazione fra il tempo di attesa e gli

abbandoni

(dati empirici) 71

Managerial insights

Esistono tre tipi di opportunità di miglioramento per i due casi intermedi (capacità buffer limitata e client

che lasciano il Sistema) :

• Ridurre I tempi di attesa. La riduzione dei tempi di attesa sicuramente aiuta ad evitare le perdite di

throughput. Si può agire sulle leve conosciute: ridurre la variabilità, aumentare la capacità …..

• Aumentare il numero di flow units nel buffer. Ciò può essere fatto aumentando lo spazio fisico del

buffer (più spazi, più linee telefoniche……) ma anche rendendo più accettabile l ‘attesa .

• Evitare che flow-units lascino il buffer dopo aver atteso un certo tempo. Il fatto che una flow unit

abbandoni la fila d’attesa dopo aver atteso è peggiore di una che non entra nel sistema e va, per quanto

possibile, evitato. Comunicare durata attesa

PROCESSI MULTI-STEP

Fino ad ora si sono esaminati casi di processi mono-step. Nei processi multi-step , dove l’outflow di una

risorsa è l’inflow di un altra risorsa i buffer giocano un ruolo ancora più importante.

In effetti possiamo identificare due ragioni per interruzioni di flusso:

• una risorsa può essere bloccata in quanto non riesce a rilasciare i suoi job completati

• una risorsa è inutilizzata (starved ) in quanto il buffer che la alimenta è vuoto.

E’ importante notare che l’effetto di bloccaggio di una risorsa, se avviene a valle della catena, si propaga

velocemente su tutta la catena a monte.

L’effetto di blocking/starving può essere minimizzato aggiungendo buffers di grandezza appropriata

EFFETTI DELLA VARIABILITà SUL CYCLE-TIME 72

Tempi di processo distribuiti esponenzialmente con le medie indicate in figura

In assenza di variabilità il processo dovrebbe produrre alla flow-rate del bottleneck = una unità ogni 7 min.

In realtà produce più lentamente una unità ogni 11.5 min Il processo non realizza la full capacity perchè la

stazione 2 (bottleneck) è bloccata (ha completato una unità ma non può mandarla avanti) o perchè è

starved (può cominciare una nuova unità ma non l’ha ancora ricevuta dalla stazione 1)

L’introduzione di buffers migliora la flow rate, ma attenzione agli inventories !!!!

La soluzione 4 è eterodossa, rispetto al concetto di buffer or suffer, tuttavia è la più efficiente dal punto di

vista della flow rate (work cell)

Managerial insights

La riduzione della variabilità è fondamentale per l’efficienza dei processi

Peraltro, siccome è illusorio pensare di poter eliminare tutta la variabilità al fine di ridurre al minimo gli

effetti della variabilità bisogna:

• Usare i buffers, specialmente per proteggere il bottleneck dall’essere o bloccato o starved.

• Tenere traccia della domanda. Una grande difficoltà nell’analisi di processi con perdita di clienti è

conoscere la vera domanda (che necessaria per calcolare l’utilizzazione implicita). Quando il sistema

diventa saturo e si cominciano a perdere clienti è facile perdere traccia di quanti se ne perdono e non si

conosce più la domanda reale.

Un errore comune che si riscontra nei processi decisionali di aumento della capacità è di utilizzare la

flow rate (vendite) e l’utilizzazione (Flow rate/Capacità).

Come abbiamo visto in precedenza l’utilizzazione è sempre < 100%.. La misura che si deve usare è

l’utilizzazione implicita (Demand rate/ Capacità)

Il Newsvendor Model

Nel modello dell’EOQ si assumeva che la domanda fosse nota (non stocastica)

Si vuole ora esaminare la situazione in cui la domanda è stocastica.

Formulazione formale del problema:

Quale è al quantità d’ordine che massimizza il profitto atteso, noti il prezzo di vendita, il costo unitario, il

valore di salvage e una domanda stocastica con distribuzione di probabilità nota.

Questo problema è noto come problema del “newsvendor” perchè è perfettamente applicabile ad un

venditore di giornali che acquista una certa quantità di quotidiani il mattino, li vende durante il giorno e la

sera scarta le rimanenze

VALORE ATTESO

Nelle distribuzioni di probabilità normale il valore atteso corrisponde alla media!

Partiamo con un esempio Non difettosi Difettosi

Profitto 4€ 1€

Probabilità 80% 20%

pero probabilità si intende la percentuale più probabile di avere pezzi difettosi e non.

Dove, nel caso specifico, il valore atteso è la “media” della variabile casuale “profitto” che può assumere

due valori = €4 (con probabilità 0.8) e € 1 ( con probabilità 0.2)

A questo punto:

Quel è il profitto attese per 1 pezzo?? 73

3,4€ è il profitto unitario che mi aspetto di ottenere dal processo che genera prezzi difettosi e non difettosi.

In modo generale, il valore atteso è pari alla variabile a pesata per la sua probabilità:

i

= a p + a p + … + a p = S a p

1 1 2 2 k k i = 1,,k i i

MODELLO PROBABILISTICO: Esempio, un fioraio

Confezioni (fiori) S. Valentino:

Prezzo di vendita: € 50 (se vedute il giorno di San Valentino ), € 0 (se non vendute quel giorno)

Costo = €35

Num. di conf 3 4 5 6 7 8 9

Probabilità 0.05 0.12 0.20 0.24 0.17 0.14 0.08

Quante confezioni deve preparare il fioraio per massimizzare il profitto atteso ?

Risp: il buon senso direbbe 5 perchè:

- 2 sicuro non paga nulla di extra ma potrebbe perdere delle vendite

- 9 sono troppo e rischia di non vederle

Definiamo che:

 il numero di confezioni è la variabile casuale

discreta

 la probabilità è uguale a 1, data dalla somma di

tutte le probabilità individuali Funzione di probabilità cumulata

CASO 1: prepara 3 confezioni

probabilità( domanda ≥ 3) = 1

profitto atteso = 3x50 – 3x35 = €45

CASO 2: prepara 4 confezioni

se la domanda = 3, ricavi = 3x €50 = €150 → prob = 0.05

se la domanda ≥ 4 ricavi = 4x €50 = €200 → prob = 0.95 (ovvero tutte le probabilità meno quella dei 3

mazzi, quindi 1 - 0.05)

dove 150 e 200 → rappresentano i profitti se si preparano 3 confezioni o 4

mentre 0.05 e 0.95 → rappresentano la probabilità

4x35 sono i costi fissi per la preparazione dei 4 mazzi

Il risultato del profitto atteso ( 57,5) è un risultato migliore rispetto al caso precedente dei 3 mazzi.

CASO 3: prepara 5 confezioni

se domanda = 3, ricavi = 3x €50 = €150 → prob = 0.05

se domanda = 4, ricavi = 4x €50 = €200 → prob = 0.12

se domanda ≥ 5, ricavi = 5x €50 = €250 → prob = 0.83 (1- 0.05 - 0.12) 74

In questo modo si può calcolare il profitto per ogni caso:

n. di mazzi 3 4 5 6 7 8 9

Probabilità 0.05 0.12 0.20 0.24 0.17 0.14 0.08

Profitto atteso 45 57.5 64 60.4 45 21 -10

Preparare 5 confezioni massimizza il profitto atteso.

Osservazioni:

1. 5 è meno della media (che è 6)

- 6 non massimizza il profitto perchè u costi influenzano molto per evitare perdite eccessive

2. produrre 5 mazzi vuol dire perdere della domanda perchè realisticamente esiste una probabilità

diversa da zero che se ne possano vendere più di 5.

La quantità 5 è influenzata dal rapporto costi-ricavi: più ampio è il margine tra i costi e i ricavi, più di

assumono rischi. Expected Expected

Alla base del newsvendor model esiste un trade-off fra Prob Cum Prob gain per loss per Diff

unit unit

ordinare troppo (scarti) ed ordinare troppo poco 3 0.05 0.05 47.5 1.8 45.8

(mancata opportunità di vendita). Questo a priori non si 4 0.12 0.17 41.5 6.0 35.6

può sapere perche la domanda è incerta. 5 0.20 0.37 31.5 13.0 18.6

6 0.24 0.61 19.5 21.4 -1.9

Massimizzare il profitto significa minimizzare questi costi. 7 0.17 0.78 11 27.3 -16.3

8 0.14 0.92 4 32.2 -28.2

9 0.08 1.00 0 35.0 -35.0

La retta blu rappresenta expected gain per unità,

Ricavo atteso/perdita attesa per la n-esima unità ovvero il valore di guadagno.

50

45

40 dove 50 è il prezzo di vendita del mazzo

35

30

25 La retta arancio è l'expected loss per unità, ovvero la

20 perdita.

15

10

5 dove 35 è il costo di produzione di un mazzo.

0 3 4 5 6 7 8 9 Esiste un punto di breakeven dove le due rette si

Expected gain per unit Expected loss per unit incontrano.

Del grafico di comprende come all'aumentare delle unità il guadagno atteso diminuisce, ma aumentano le

perdite attese.

IL CONCETTO DI SALVAGE VALUE Esempio: negozio di regali

Salvage value → vuol dire che passato il periodo il prodotto può ancora essere venduto ma ad un prezzo

scontato (non si hanno delle perdite sull'invenduto)

Situazione:

Gli ordini per alcuni regali natalizi devono essere fatti in Settembre

Costo unitario: €25

Prezzo di vendita:

- €55 prima del 25 Dicembre

- €15 dopo il 25 Dicembre

15 € sono il salvage value (valore di realizzo).

NB. Il salvage value contribuisce a definire il costo di ordinare troppo (C )

o 75

→ Se si ordina troppo poco, shortage cost unitario c = 55 – 25 = €30 rappresenta il profitto mancato per

u

una vendita persa

→ Se si ordina troppo, overage cost unitario c = 25 – 15 = €10

o

i €30 e i €10 sono dei costi, nel primo caso perchè si perde profitto nel secondo perche si vende sottocosto.

dati storici:

Domanda 22 24 26 28 30 32 34 36

Probabilità 0.05 0.10 0.15 0.20 0.20 0.15 0.10 0.05

Quanti regali si devono ordinare per massimizzare il profitto ?

• Per scegliere una quantità appropriata da ordinare le info richieste sono:

la distribuzione di probabilità della domanda (empirica)

- il costo di ordinare troppo

- il costo di ordinare troppo poco

-

• Per derivare un modello formale sono necessarie inoltre le seguenti assunzioni

I prodotti sono separabili (si possono considerare i prodotti uno alla volta)

- l’ordine si riferisce ad un singolo periodo di vendita (si possono trascurare i periodi

- successivi perchè le scorte sono azzerate alla fine del periodo)

La domanda è stocastica con distribuzione di probabilità nota

- Le consegne sono fatte prima che la domanda cominci a materializzarsi (tutte le scorte

- sono disponibili all’inizio del periodo)

I costi di ordini in eccesso (overage) e in difetto (underage) sono lineari (proporzionali alla

- quantità)

RISCHIO DI STOCKOUT O SVENDITA DI FINE STAGIONE

X: domanda in unità (variabile casuale)

p(x): funzione di densità della domanda (può essere discreta o continua)

P(x): Pr(X ≤ x) Funzione probabilità cumulata → funzione di ripartizione

(ricordare che dP(x) /dx = p(x)

p = prezzo di vendita

c = costo di acquisto

ν = prezzo di vendita scontato a fine stagione (salvage value)

Q = quantità da ordinare (variabile decisione)

C costo unitario di eccedenza (ordinare troppo) = c – v

o

C costo unitario di carenza (ordinare poco) = p – c

u ELEMENTI CHIAVE DEL MODELLO

1. Domanda incerta

2. Una sola possibilità di ordinare prima delle vendite

3. ( ordine> domanda OR ordine < domanda ) COSTO

Per sviluppare il modello si osserva che se si ordinano Q unità e la domanda è X unità, il numero di unità in

eccesso è:  

Unità _ eccesso max( Q X , 0 )

Se Q > X l’eccesso (overage) è Q – X , ma se Q < X c’è una carenza (underage) per cui l’eccesso è zero.

Si può calcolare il valore atteso di unità in eccesso usando le variabili casuali.

Il caso generale è dato da: 

 

E (

unità _ eccesso

) max( Q x ,

0

) p ( x ) dx 76

0

ma dato che non ha senso fare il calcolo fino all'infinito, si valuta la quantità da 0 a Q (il massimo)

Q

 

E (

unità _ eccesso

) (

Q x ) p ( x ) dx

0 

Ricordare che il valore atteso (o media) di una variabile casuale f(x) è dato da E ( x ) xf ( x ) dx

In modo del tutto analogo il numero di unità in carenza è dato da

 

Unità _ carenza max( X Q ,

0

)

Se X >Q la carenza (underage) è X - Q , ma se X < Q c’è un eccesso (overage ) per cui la carenza è zero.

Si può calcolare il valore atteso di unità in carenza

In modo generale è: 

 

E (

unità _ carenza

) max( x Q ,

0

) p ( x ) dx

0

ma dato che non ha senso fare fino all'infinto abbiamo:

 

E (

unità _ carenza

) ( x Q ) p ( x ) dx

Q

Sialo ora in grado di esprimere il costo atteso come funzione della quantità di ordinare Q

Q

 

   

g (

Q ) C (

Q x ) p ( x ) dx C ( x Q ) p ( x ) dx

o u

0 Q

dove:

C = c - v

o

C = p - c

u

questa funzione esprime il costo totale della variazione della domanda data una certa probabilità; abbiamo

entrambi i casi (unità in eccesso e unità in carenza, anche se in realtà non possono avvenire in

contemporanea) perchè ragioniamo in termini stocastici.

Analogamente a quanto fatto per l’EOQ, si deve trovare il minimo di g(Q) calcolando la sua derivata prima

ed ponendola uguale a zero.

Per fare cio’ dobbiamo derivare degli integrali nei quali gli estremi di integrazione sono funzione di Q.

Detto questo, per massimizzare i ricavi attesi è necessario minimizzare i costi.

Per minimizzare il costo complessivo (overage + underage) si deve ordinare una quantità Q* che soddisfi il

« rapporto critico » (critical fractile, critical ratio) C

 u

P (

Q

*) 

C C

u o

Questo vuol dire che sia la quantità di domanda che la struttura dei costi influenzano Q*

Soluzione al problema del newsvendor : C

d    u

g (

Q ) 0 P (

Q

*) 

dQ C C

0 u

P(Q*) rappresenta la probabilità che la domanda sia ≤ Q

Questo implica che per minimizzare il costo totale, Q deve essere scelto in modo che la probabilità di avere

stock per soddisfare la domanda sia uguale a C

u

C C

u o

NB: nel caso newsvendor si decide a priori di non soddisfare interamente la domanda con lo scopo di

massimizzare il profitto. La probabilità di lasciare domanda insoddisfatta è maggiore di zero, ma il rischio di

overstock è troppo alto.

Questo criterio decisionale è puramente finanziario, non sempre è il più appropriato. 77

SIGNIFICATO DEL CRITICAL RATIO

Per minimizzare il costo complessivo (overage + underage), e pertanto massimizzare il profitto, si deve

ordinare una quantità Q* tale che la probabilità che la domanda sia minore o uguale a Q* sia uguale al

« rapporto critico » (critical fractile, critical ratio)

C

 u

P (

Q

*) 

C C

u o

Abbiamo ora una spiegazione del perchè è necessario che i forecast siano descritti da una funzione di

probabilità.

NB: Dato che P(x) è una funzione crescente in x ( le funzioni della probabilità cumulativa sono sempre

monotone crescenti ), ciò che rende termine a destra dell’equazione più grande risulterà in una quantità

Q* più grande . Pertanto aumentare C aumenterà Q*, mentre aumentare C diminuirà Q*

u o

Un modo alternativo di vedere le cose:

Ricordiamo che Co è il costo che si sostiene per ogni unità ordinata che non viene venduta mentre Cu è il

costo associato a non ordinare una unità che si sarebbe potuto vendere (è un opportunity cost).

Co e Cu sono costi definiti per una singola unità. Sono definiti per singola unità perchè non sappiamo a

priori quante unità resteranno invendute o quante unità che potrebbero essere state vendute non lo sono

state per mancanza di stock. Sappiamo però che per ogni unità invenduta ci sarà un costo associato Co e

per ogni vendita persa un costo associato Cu

Basandosi sui ragionamenti fatti finora dovremo continuare ad ordinare unità aggiuntive fino a quando la

perdita attesa è uguale al guadagno atteso.

La perdita attesa, per ciascuna unità, è data dalla perdita unitaria Co moltiplicata per la probabilità che

l’unità rimanga invenduta

Per la Qth unità tale probabilità è P(Qesima). La Qesima unità rimane invenduta se la domanda è minore di

Qesima

Il guadagno atteso è dato dal beneficio che si ricava vendendo un’unità, Cu, moltiplicato per la probabilità

non rimanga invenduta. Per Q-esima unità tale probabilità è 1 – P(Qesima)).

Rimane da trovare la quantità Q* che rende la perdita attesa uguale al guadagno atteso

  

   

C P (

Q

*) C 1 P Q *

o u th

• Per massimizzare il profitto atteso bisogna ordinare una quantità Q per cui la perdita attesa sulla Q

th

unità eguaglia il guadagno atteso sulla Q unità:

  

    *

C P

(

Q

*) C 1 P Q

o u

da cui si ricava C

 u

P (

Q

*) 

C C

o u

PROBLEMA DEL NEGOZIO DI REGALI RISOLTO:

c = 55 – 25 = €30

u

c = 25 – 15 = €10

o quindi l'ottimo ≈ 31

dove è il rapporto critico 78


ACQUISTATO

8 volte

PAGINE

92

PESO

6.58 MB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in mercati e strategie d'impresa (MILANO)
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher chicca191192 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Sistemi dinamici e strategia d'impresa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Cattolica del Sacro Cuore - Milano Unicatt o del prof Bernuzzi Mauro.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Sistemi dinamici e strategia d'impresa

Riassunto esame Sistemi dinamici e strategie d'impresa, Prof Luigi Geppert
Appunto
Appunti lezioni Sistemi Dinamici parte Prof. Geppert
Appunto
Appunti completi innovazione, marca e proprietà intellettuale - I modulo (prof. Focca)
Appunto
Riassunto esame Mercato, concorrenza e regolamentazione, prof. Pontarollo, libro consigliato Mercato, concorrenza e regolamentazione, Pontarollo
Appunto