Riassunto esame Matematica Finanziaria, prof. Iannizzotto, libro consigliato Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di programmazione lineare, Stefani, Torriero, Zambruno

Capitolo 1: Capitalizzazione ed attualizzazione

Operazioni finanziarie

La matematica finanziaria studia i criteri per la valutazione razionale di importi monetari la cui disponibilità non coincide con l'istante di valutazione, poiché parte di un contratto (o accordo) in cui gli scambi sono previsti in tempi diversi (investimenti o finanziamenti). Gli scambi sono definiti operazioni finanziarie. Un'operazione finanziaria si dice semplice o complessa a seconda che vi siano coinvolte una o più scadenze.

Montante, interesse, sconto

Riportando su un'asse temporale gli importi monetari coinvolti in un'operazione finanziaria semplice, si introducono alcune fondamentali definizioni. L'importo investito si dice capitale iniziale (C), investito al tempo t, mentre l'importo che si ottiene alla fine dell'operazione si dice capitale finale, o montante (M), ricevuto ad un tempo t₁ > t₀. È del tutto ragionevole supporre che in un'operazione di investimento: un soggetto economico non rinuncia ad una somma presente per una somma futura minore, ma chiede un compenso per essersi “privato” della somma prestandola ad un altro soggetto. Questo compenso è l'interesse (I), detto anche sconto (D), ovvero la differenza fra montante e capitale iniziale: D = M - C.

Leggi finanziarie di capitalizzazione

La determinazione del valore del montante di un'operazione finanziaria, della quale siano note le caratteristiche (capitale iniziale e tempo iniziale e finale), si appoggia sulle cosiddette leggi finanziarie di capitalizzazione. Genericamente essa è definita come una funzione che definisce il montante M(t) in funzione del tempo generico t, partendo da un capitale iniziale C: M(t) = F(C, t). Le leggi finanziarie di capitalizzazione rispettano alcuni postulati:

• C ≥ 0: definite per ogni t e per ogni C ≥ 0 al tempo t₀.
• F(C, t₀) = C.
• Se t₁ < t₂ allora F(C, t₁) ≤ F(C, t₂).
• A parità di impiego, il montante è direttamente proporzionale al capitale impiegato: F(C, t) = C * F(1, t).

Da quest'ultimo postulato, in particolare, si nota come sia possibile isolare l'importo del capitale iniziale nel calcolo dei montanti, evidenziando la dipendenza del montante dal solo tempo. Ponendo poi C=1, si definisce fattore di montante la funzione della singola variabile t tale che esprime il montante al tempo t di un capitale unitario: f(t) = F(1, t).

Fattore di montante

Il fattore di montante è sottoposto all'importante ipotesi di non decrescenza. Si può allora riscrivere la formula per il montante come M(t) = C * f(t) e la formula per l'interesse come I(t) = M(t) - C = C[f(t) - 1].

Tasso di interesse e tasso di sconto

Interesse e sconto possono essere messi in rapporto al capitale iniziale e con il montante ottenendo:

• Tasso di interesse (periodo): i(t) = I(t)/C = [f(t) - 1].
• Tasso di sconto (periodo): d(t) = D(t)/M(t) = 1 - [1/f(t)].

In particolare, per la durata unitaria, si definisce:

• Tasso di interesse (unitario): i = f(1) - 1.
• Tasso di sconto (unitario): d = 1 - [1/f(1)].

Regime di capitalizzazione a interesse semplice

Un'operazione che comporti il differimento di una disponibilità monetaria immediata si dice capitalizzazione. Di questa operazione si analizza l'andamento del montante a seconda del corso del tempo, che è la variabile indipendente nelle leggi di capitalizzazione.

Il regime di capitalizzazione ad interesse semplice si basa sull'ipotesi che l'interesse maturato fino al tempo t sia direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo, secondo un fattore di proporzionalità pari al tasso unitario di interesse, ovvero I(t) = C*i*t, e pertanto: M(t) = C + I(t) = C + C*i*t = C(1+i*t).

Capitalizzazione semplice

Dove f(t) = 1 + i*t è il fattore di montante di periodo.

Regime di capitalizzazione a interesse composto

A differenza del precedente, che prescrive che l'interesse sia direttamente proporzionale al capitale investito ed al tempo, il regime di capitalizzazione ad interesse composto si caratterizza per il fatto che, al termine di ogni periodo, il capitale impiegato incorpori gli interessi maturati, e questo capitale “maggiorato” sia capitalizzato in capitalizzazione semplice a sua volta, producendo interessi sugli interessi, il cosiddetto anatocismo.

Pertanto il montante è genericamente al tempo t: M(t) = C(1+i)^t. L'interesse è I(t) = M(t) - C = C[(1+i)^t - 1].

Tassi equivalenti

Due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura e a parità di capitale impiegato, gli stessi interessi, e dunque lo stesso montante. Questo concetto è utile per trovare corrispondenze fra regimi finanziari differenti. Per trovare la relazione matematica fra due tassi unitari, occorre uguagliare i montanti ottenuti ad uno stesso tempo t, e risolvere l'equazione.

All'interno dello stesso regime finanziario, poi, può capitare che sia necessario ottenere, a partire da un tasso di interesse unitario riferito a una base temporale specifica (es. anno), il tasso di interesse riferito ad un'altra base temporale (es. mese). In capitalizzazione semplice per fare ciò si deve semplicemente ricordare la relazione che sussiste fra le basi temporali. Ad esempio un tasso i annuale equivale a 12 volte un tasso i mensile, e così via.

In capitalizzazione composta ottenere il tasso equivalente non è così immediato: è necessario uguagliare i montanti e risolvere la relativa equazione. Ad esempio uguagliando M(t) = C(1+i)^t = C(1+i_k)^kt, si ottiene un tasso equivalente i_k pari a (1+i)^1/k - 1.

Regime di capitalizzazione a interesse anticipato

Il regime finanziario di capitalizzazione a interesse anticipato prevede che l'interesse sia direttamente proporzionale al montante (capitale finale) e alla durata dell'operazione, secondo un fattore di proporzionalità pari al tasso unitario di sconto. Questo “interesse” viene chiamato più propriamente sconto (o sconto commerciale), perché viene corrisposto all'inizio dell'operazione, sotto forma di riduzione del prezzo di acquisto.

Esempio di operazioni finanziarie dove vige una capitalizzazione ad interesse anticipato sono gli acquisti all'emissione di BOT, o altri titoli del Tesoro privi di cedole. L'acquisto di questi titoli avviene “sotto la pari”, ovvero per un valore inferiore al valore nominale unitario. Lo sconto è allora la differenza fra valore nominale totale e prezzo pagato (che assume le vesti del “capitale iniziale”): D(t) = M(t) - C = M(t)*d. Dall'espressione sopra si ricava la funzione di capitale C = M(t)(1-dt) e l'espressione del montante: M(t) = C/(1-dt).

Importante è ricavare i due tassi presenti in questa operazione:

• d = D(t)/M(t): tasso di sconto unitario.
• i = D(t)/C: tasso di interesse unitario.

Il fattore di montante del regime di capitalizzazione ad interesse anticipato è allora: f(t) = 1/(1-dt), dunque il tasso di interesse di periodo è i = d/(1-dt).

Scindibilità

Si considera ora la possibilità di interrompere anticipatamente l'operazione di investimento e immediatamente riprenderla, confrontando i montanti finali. Una legge si capitalizzazione si dice allora scindibile se il montante finale non cambia, ovvero si può scindere il lasso di impiego in intervalli più piccoli. Matematicamente, una legge di capitalizzazione è scindibile se: f(t) = f(t₁) * f(t₂) con 0 < t₁ < t.

• La capitalizzazione semplice non è scindibile.
• La capitalizzazione a interesse anticipato non è scindibile.
• La capitalizzazione composta è scindibile.

Attualizzazione

Finora abbiamo valutato il montante a una data futura corrispondente a un capitale iniziale investito nel presente, tramite il concetto di capitalizzazione. Adesso, si tratta come valutare nel presente un capitale che sarà disponibile solo ad una certa data futura. Questo concetto, detto attualizzazione, consente di stabilire oggi il valore attuale di un capitale con scadenza futura, cioè di anticiparne la disponibilità. Si analizzeranno i regimi finanziari di attualizzazione associati a quelli di capitalizzazione già esaminati, che si diranno ad essi coniugati.

Fattore di sconto o di attualizzazione, tasso di sconto

Il valore attuale di un capitale disponibile in futuro è proporzionale al capitale e dipende dalla durata dell'operazione di anticipazione: VA = C * v(t), dove v(t) è definito fattore di sconto semplice (o di attualizzazione) e u(t) il fattore di montante della capitalizzazione semplice coniugata. Lo sconto in un regime di attualizzazione è: D = C - VA.

Si noti che non va confuso lo “sconto” in capitalizzazione (differenza fra montante e capitale iniziale) con lo “sconto” della attualizzazione (differenza fra capitale futuro e valore attuale).

Il tasso di sconto di periodo sul capitale C e per la durata t sarà: d(t) = 1 - v(t). Il corrispondente tasso unitario di sconto di attualizzazione sarà: d = 1 - v(1).

Regime di attualizzazione a sconto semplice o razionale

Il regime di attualizzazione a sconto semplice (o razionale) è coniugato della capitalizzazione semplice: VA = C/(1+it), dove i è il tasso di interesse coniugato.

Regime di attualizzazione a sconto composto

Il regime di attualizzazione a sconto composto è coniugato della capitalizzazione composta: VA = C/(1+i)^t, dove i è il tasso di interesse coniugato. È importante non confondere il fattore di montante semplice u(t) con il fattore di montante composto u^t, ugualmente il fattore di sconto semplice v(t) con il fattore di sconto composto v^t.

Regime di attualizzazione a sconto commerciale

Il regime di attualizzazione a sconto commerciale è coniugato della capitalizzazione a interesse anticipato: VA = C * (1 - dt), dove d è il tasso di sconto. Questo perché ricordando come il coniugato fattore di montante in regime di capitalizzazione ad interesse anticipato sia f(t) = 1/(1-dt), il fattore di sconto che serve in questo regime di attualizzazione sarà il suo inverso, ovvero v(t) = 1 - g(t) = 1/(1+dt). (Le notazioni con la u si usano per i fattori di montante, mentre le notazioni con la v si usano per i fattori di attualizzazione).

Capitolo 2: Le rendite

Finora si è valutato un importo in un momento temporale definito (futuro-> capitalizzazione o presente-> attualizzazione), disponibile o dovuto in un secondo momento temporale (presente o futuro). In molte situazioni occorre però valutare in un'unica soluzione più importi ad epoche diverse. Se le somme da esigere o da pagare ad epoche differenti, ovvero da valutare congiuntamente, sono dello stesso segno, di parlerà di rendita finanziaria, mentre se gli importi hanno segno diverso si parlerà di operazione finanziaria.

Classificazione delle rendite

Una rendita finanziaria è come detto un insieme di importi da riscuotere o da pagare ad epoche differenti. Una rendita si indica tramite la notazione seguente: S = {(R_k, t_k) | k = 0, 1, 2, ..., n}, dove con R_k si intende la rata della rendita e con t_k la scadenza (o valuta) della rendita.

Le rendite si possono class