Riassunto esame Matematica Finanziaria, prof. Iannizzotto, libro consigliato Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di programmazione lineare, Stefani, Torriero, Zambruno

VA=

V.ATT. RENDITA PROG.GEOM.POST.COMP 1 qv

La rendita progressiva geometrica può essere attualizzata ad un momento antecedente, ottenendo così una

rendita progressiva geometrica a rate anticipata, pensando semplicemente di spostare all'indietro di un periodo

l'inizio della progressione geometrica: n+1

[1 (qv ) ]

Rv

VA=

V.ATT. RENDITA PROG.GEOM.ANT.COMP 1 qv

Montante di una rendita

Il montante di una rendita è la somma dei montanti delle singole rate, calcolati al termine della rendita nel

regime di capitalizzazione che si è scelto. In questo caso la rendita è intesa come una sequenza di versamenti di

rate, non incassi, ovvero tutti movimenti di segno uguale, ma negativo. Il tasso di interesse utilizzato è infatti

(t)

f

anche detto tasso di remunerazione. Adottando il fattore di montante del regime prescelto, il montante

M di una rendita di n rate è: ∑ ∑

= = ( )

M M R f t t

MONTANTE RENDITA k k n k

k k

Montante di una rendita periodica posticipata immediata di n rate, regime a interesse composto

Sia 1+i= u, il già denominato fattore di montante nel regime ad interesse composto. Si nota che nella rendita

posticipata l'istante di valutazione del montante coincide con l'istante in cui viene corrisposta l'ultima rata, e per

questo l'ultima rata non frutta alcun interesse. Come detto in precedenza, il montante di una rendita periodica

è dunque:

posticipata immediata di n rate, nel caso unitario,

n 1

∑ k

=

M u , che si scrive con la notazione “s figurato n al tasso i”:

k=0 n 1 n n

1 u u 1

∑ k

= =s = =

M u

MONT. RENDITA UNITARIA POST. COMP. ⌈n ⌉i 1 u i

k=0

Nel caso in cui la rendita R sia costante, allora: =R

M s

MONT. RENDITA COSTANTE POST. COMP. ⌈ n⌉ i

Relazione fra il montante e il valore attuale di rendite unitarie posticipate in regime di sconto composto

Il montante della rendita unitaria posticipata di n rate coincide con il suo valore attuale capitalizzato per n

periodi: n n

u 1 1 v

n n

= =u =u

s a

⌈ ⌈n ⌉i

n⌉ i i i

Montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate, regime a interesse composto

Nella rendita anticipata l'istante di valutazione del montante è il momento t successivo al versamento dell'ultima

rata in via anticipata, accade così che anche l'ultima rata frutta interesse. Il montante di una rendita periodica

anticipata immediata di n rate, nel caso unitario, è dunque:

n

∑ k

=

M u , che si scrive con la notazione “s anticipato figurato n al tasso i”:

k=1 n n

u 1

∑ k

= = =u

M u s̈

MONT. RENDITA UNITARIA ANT. COMP. ⌈n ⌉i i

k=1

Si nota ancora come il passaggio alla rata anticipata si possa sempre agevolmente fare capitalizzando a u=(1+i).

Nel caso in cui la rendita R sia costante, allora: =R

M s̈

MONT. RENDITA COSTANTE ANT. COMP. ⌈ n⌉ i

Valore di una rendita al tempo t

Calcolare il valore V(t) al tempo t di una rendita di n rate risponde al problema di sapere il valore di una rendita

ponendosi “al centro” della linea temporale, valutando a sinistra i montanti delle rate prima di t, e a destra i

valori attuali delle rate successive a t, calcolati in base al regime di capitalizzazione ad attualizzazione prescelto.

Il valore di una rendita è dunque la somma di questi elementi, in generale:

j n

∑ ∑

(t )= (t )+ (t

V R f t R g t)

k k k k

=o

k k= j+1

Principio di equivalenza finanziaria

Due rendite che al tempo t hanno lo stesso valore si dicono finanziariamente equivalenti in t.

Vale un teorema, qui non dimostrato, che afferma come due rendite con lo stesso valore attuale sono

finanziariamente equivalenti ad ogni tempo t se e solo se il loro valore è calcolato con leggi coniugate ad

interesse composto.

Calcolo delle quantità caratteristiche di una rendita periodica posticipata, rata costante, sconto composto

Nelle equazioni che trattano le rendite, sono presenti quattro grandezze: VA, R, n, i. Conoscendo i valori di tre di

esse, dunque, è possibile ricavare la quarta. Calcolare il VA è stato finora l'oggetto della trattazione, mentre per

calcolare R e n si tratta di elementari operazioni algebriche.

Calcolare il tasso di interesse, invece, dato l'importo delle altre tre grandezze, non risulta un'operazione

semplice, in quanto si tratta di calcolare la soluzione dell'equazione di grado n:

n

1 v n n

=R(1+i) → )

VA=R R(1+i VA=0

i

Questa equazione di grado n, non esistendo formule risolutive che consentano di ottenere soluzioni, va risolta

attraverso gli algoritmi di approssimazione numerica (metodo delle secanti o metodo delle tangenti).

Capitolo 3: Costituzione di un capitale e ammortamenti

Una rendita, intesa come una sequenza di versamenti finanziari periodici, può essere finalizzata per costituire,

ad un'epoca futura, una disponibilità finanziaria di importo prestabilito. Una volta fissati il regime di

capitalizzazione ed il tasso di interesse da adottare, il problema si riduce a calcolare le rate che consentono di

raggiungere un capitale-obiettivo.

La costituzione di un capitale viene classificata in base a:

• numero di versamenti

◦ costituzione mediante unico versamento

◦ costituzione graduale del capitale

• epoche di pagamento

◦ costituzione con versamenti posticipati

◦ costituzione con versamenti anticipati

Costituzione mediante unico versamento

Il capitale S che si vuole costituire all'epoca futura t tramite un unico versamento R è semplicemente il montante

di R in t, dati il regime di capitalizzazione scelto ed il tasso di interesse periodale i.

Dunque: =R (1+it )

• S

capitalizzazione semplice: t

=R (1+i)

• S

capitalizzazione composta:

Costituzione mediante versamenti periodici

Costituire un capitale attraverso versamenti periodici può essere rappresentato mediante un prospetto di

costituzione, che comprende i periodi in cui effettuare i versamenti, il fondo di costituzione riferito a un periodo

(il montante delle somme versate entro un periodo), gli interessi sul periodo, la rate del periodo.

R costante, regime composto

Costituzione di capitale mediante versamenti periodici posticipati,

La costituzione di un capitale S mediante n versamenti posticipati costanti di importo R è effettuata in modo che

=R

S s

il capitale-obiettivo coincida appunto con il montante di una rendita a rate costanti posticipate: .

⌈ ⌉i

n

S 1 i

=S σ σ = =

R=

L'importo della rata sarà: dove per i≠0 è la rata costante da

⌈

⌈n ⌉i n⌉ i n

s s ( )

1+i 1

⌈ ⌈

n⌉ i n⌉i

versare per n periodi e tale da costituire il capitale unitario (1€ ad esempio) all'atto dell'ultimo versamento.

Costituzione di capitale mediante versamenti periodici anticipati, R costante, regime composto

Similmente a come è esposto in precedenza, la costituzione di un capitale mediante versamenti periodici

anticipati è effettuata in modo che il capitale-obiettivo coincida appunto con il montante di una rendita a rate

=R

S s̈

costanti posticipate: .

⌈ ⌉i

n 1 i

S σ̈ = =

=S σ̈

R=

L'importo della rata sarà: dove per i≠0 è la rata

⌈

⌈n ⌉i n⌉ i n

s̈ (1+i)[(1+i)

s̈ 1]

⌈

⌈ n⌉i

n⌉ i

costante da versare per n periodi e tale da costituire il capitale unitario (1€ ad esempio) il periodo successivo a

quello dell'ultimo versamento.

Fondo di costituzione all'epoca k mediante versamenti periodici, R costante, regime composto

Per conoscere quale somma sia stata accantonata ad una certa epoca k, si calcola il relativo fondo di

=

F R s

costituzione, che, come già detto, è il montante delle rate versate fino a quell'epoca: .

⌈ ⌉i

k k

Costituzione di capitale mediante versamenti periodici ad importo variabili

A volte, può capitare che alcuni piani di risparmio prevedano la possibilità di poter accantonare importi

variabili, a seconda delle esigenze. In questo caso, affinché all'epoca finale n si renda disponibile il capitale S,

n

∑

dovrà valere, per il principio di equivalenza finanziario: .

n s

= (1+i)

S R s

s=1

Costituzione di capitale con variazione di tasso

Se durante la costituzione del capitale si verifica una variazione dei tassi in aumento, si potrà costruire a

scadenza un capitale maggiore, a parità di importo delle rate ancora da corrispondere, oppure si potrà costituire

il capitale di partenza mediante rate future di minore importo. Si ipotizzi che dopo il k-esimo versamento

posticipato il tasso di interesse passi da i a i' e che non si voglia modificare l'importo della rata fissa. All'epoca n

del piano di costituzione sarà disponibile la somma:

n k

(1+i ) +R

S '=R s ' s

⌈ ⌈n

k⌉ i k⌉ i '

ovvero il fondo accumulato fino a k viene capitalizzato per i rimanenti n-k periodi al nuovo tasso, e al risultato

viene sommato il capitale che si costituirà da k in poi fino alla fine del piano, con le rate ancora da versare.

Rimborso di un prestito

Una particolare classe di rendite è utile per rappresentare la procedura di ammortamento di un debito. Il

problema, di natura finanziaria, consiste nel valutare le modalità attraverso cui si restituisce un capitale preso a

prestito, congiuntamente alla corresponsione dei relativi interessi maturati. Un prestito può essere considerato

un progetto di finanziamento che presenta una sola entrata monetaria iniziale (il capitale finanziato) e

successivamente numerose uscite monetarie (rimborso del finanziamento più gli interessi maturati).

Le modalità in base a cui un prestito può essere ammortizzato, si distinguono in:

• rimborso globale finale (prestito elementare): il capitale S e gli interessi maturati vengono restituiti alla

scadenza

• rimborso globale con interessi periodici: gli interessi maturati nei vari periodi vengono corrisposti

periodicamente in via anticipata o posticipata, mentre il capitale S viene rimborsato integralmente solo

alla scadenza

• rimborso graduale o ammortamento: è l'ammortamento per antonomasia, consiste nella corresponsione

periodica degli interessi uniti ad una parte del capitale S prestato, a concorrere il montante globale

Ammortamento

Anche il processo di ammortamento necessita di un preciso piano di ammortamento che comprenda le rate di

rimborso R , composte da una