Riassunto esame Matematica Finanziaria per le Imprese, prof. Corazza, libro consigliato Elementi di Matematica Finanziaria, Basso, Pianca

La matematica finanziaria

La matematica finanziaria si occupa della formulazione e dei calcoli connessi con le operazioni di scambio di importi monetari esigibili in epoche diverse. Il confronto viene fatto tra prestazioni finanziarie, cioè fra coppie del tipo (S,t) nelle quali S rappresenta l’importo monetario e t il preciso istante temporale in cui tale importo è disponibile.

Ipotesi fondamentali

• La prestazione finanziaria (0,t) non fornisce alcuna utilità in qualsiasi epoca t;
• (S₁,t₁) è preferibile a (S₂,t₂) per S₁ > S₂ (principio di non sazietà);
• Sia t₁ < t₂, allora se S>0, si preferisce (S, t₁); se S<0 allora si preferisce (S, t₂). Si preferisce l’operazione che per prima prevede la disponibilità dell’importo;
• Qualsiasi somma di denaro comporta un grado di soddisfazione del tutto trascurabile se la sua disponibilità è molto lontana nel tempo.

Operazioni finanziarie semplici

Un’operazione finanziaria semplice consiste nello scambio tra due prestazioni finanziarie. Ad esempio, si può considerare che una somma C venga ceduta al tempo t₀ e dopo un periodo t dia luogo all’introito della somma M all’epoca t. L’importo M viene definito come montante valore capitalizzato di C, definito come capitale. Supponendo di essere in assenza di rischio:

Dove I>0 rappresenta l’interesse (rendimento) che si ottiene impiegando il capitale C all’epoca iniziale t₀ fino all’epoca t. Il tasso d’interesse non è altro che il rapporto tra l’interesse e il capitale investito. Il fattore di capitalizzazione è il rapporto tra: quindi Si evince che il montante (in assenza di rischio) è proporzionale al capitale investito.

Operazioni d'investimento e finanziamento

Le operazioni di investimento sono simmetriche a quelle di finanziamento, infatti per una delle parti, quella che cede C, si tratta di un investimento, e per l’altra di un finanziamento. Una tradizione consolidata indica con diversa terminologia le due somme: la somma che il debitore deve restituire alla fine del periodo t, è detta montante; la somma che il debitore riceve al tempo t₀ è detta valore attuale o valore scontato (V). È ovvio come C=V, e quindi la quantità che viene definita sconto (D), non è altro che I:

Il tasso di sconto (d) e il fattore di anticipazione (v) sono:

Un’ultima osservazione: il fattore di anticipazione è il reciproco del fattore di capitalizzazione.

Legge finanziaria

Le formule appena descritte diventano operative nel momento in cui si specifica una legge che consente di determinare l’interesse I. Tale legge è detta legge finanziaria o regime finanziario ed è una funzione che dipende dal capitale impiegato, dalla durata dell’impiego e dal tasso di remunerazione concordato. È quindi una funzione che permette di regolamentare le operazioni di scambio tra importi monetari disponibili in epoche temporali diverse.

N.B. Se non indicato diversamente, i tassi di interesse e di sconto e i fattori di capitalizzazione e di attualizzazione sono calcolati su base annua.

Il confronto tra i regimi finanziari fa emergere come, il montante di importo più elevato non è sempre dato dallo stesso regime, ma in particolare le differenze sono trascurabili per periodi brevi, e molto rilevanti per lunghe durate. Iniziamo confrontando il montante nel regime semplice e in quello composto.

Confronto tra montante e valori attuali

Iniziamo confrontando il montante nel regime semplice e in quello composto.

• t = 0, M = Ms c
• 0 < t < 1, M > Ms c
• t = 1, M = Ms c
• t > 1, M < Ms c

Principio fondamentale della teoria dell’interesse

Il principio fondamentale della teoria dell’interesse afferma che il valore di un importo monetario in un dato istante dipende dal tempo che è trascorso dal momento dell’investimento, ovvero dall’ampiezza dell’intervallo di tempo che manca prima che l’importo divenga esigibile. Tale principio è chiamato valore temporale della moneta, e come immediata conseguenza si ha che due o più importi monetari possono essere confrontati solo se vengono capitalizzati o attualizzati ad un’epoca temporale comune, detta data di confronto.

L’operazione finanziaria che capitalizza o attualizza è detta equazione del valore e si tratta dell’equazione che esprime l’equivalenza finanziaria fra due o più importi monetari esigibili in epoche diverse. Per rappresentarlo graficamente si utilizza il diagramma importi-epoche, che è un diagramma monodimensionale.

Una proprietà fondamentale è che la scelta dell’epoca di valutazione non dovrebbe influire sul giudizio di equità dell’operazione finanziaria e quindi sulla valutazione della sua convenienza. Una legge finanziaria si dice scindibile quando il montante finale all’epoca 3 di un capitale C impiegato all’epoca 1 non cambia qualora all’epoca 2 l’operazione venga interrotta per un istante per calcolare il montante accumulato fino a quel momento e immediatamente dopo ripresa fino all’epoca di scadenza. Questa importantissima proprietà vale solo nel regime d’interesse composto.

L’ipotesi che il tasso d’interesse rimanga invariato in un intervallo non sempre si verifica in pratica.