Riassunto esame Matematica finanziaria, Prof. Colvicchi Ilaria, libro consigliato Elementi di matematica finanziaria, Ilaria Colvicchi

Cap. 4: Scelte finanziarie.

Un soggetto economico deve valutare se intraprendere in investimento (ottiene un vantaggio economico),

e nel caso, quale investimento intraprendere (es. quello che rende di più in tempi minori, ma la valutazione

è difficile); i metodi di valutazione degli investimenti presentano tutti pregi e difetti, tra i tanti troviamo Il

Criterio del Tempo di Recupero: viene preferito l’investimento che riesce a coprire interamente

l’investimento iniziale col tempo minore, il difetto più grande di questo criterio è che un investimento può

avere un tempo di recupero del capitale minore di un altro, ma l’altro può creare molta più ricchezza del

primo; quindi non tutti i criteri di scelta proposti nel tempo sono strumenti validi, e comunque il soggetto

economico deve essere finanziariamente educato e consapevole. Il Criterio del TIR: una operazione

finanziaria è vantaggiosa se il suo TIR>0, nel caso in cui TIR=0 l’operazione è nulla, se TIR<0 l’operazione

distrugge capitale; negli investimenti se TIR (A) > TIR (B) allora si preferisce l’investimento “A”, viceversa nei

finanziamenti si preferisce quella con il TIR (o TIC (tasso interno di costo)) minore. Alcune osservazioni sul

criterio del TIR: è oggettivo: quando esiste è unico e non inquinato dalla soggettività del decisore; è

relativo: è un numero puro che fornisce una misura relativa del rendimento che si ottiene: è indipendente

dalla dimensione dell’investimento; investimento a leva: se il soggetto economico effettua l’investimento

senza possedere il capitale, il TIR rappresenta il massimo tasso al quale può finanziarsi senza rimetterci; non

presenta un criterio additivo: TIR (A) + TIR (B) è compreso tra il primo e il secondo ed è diverso da TIR (A +

B); redditi staccati: se i rendimenti sono in parte disponibili prima della scadenza, questi possono essere

reinvestiti; progetti con scadenze diverse: gli investimenti con durata minore a termine possono essere

reinvestiti. Il Criterio del VAN: la logica del criterio è calcolare il valore attuale dell’operazione ad un

determinato tasso “i”. Tra due operazioni di investimento e finanziamento, si sceglie quella col VAN >.

Osservazioni sul VAN: mentre un investimento è a libera scelta del soggetto economico, un finanziamento

può derivare da una necessità, quindi è facile che il VAN sia negativo. Dato che il VAN può variare molto in

base a come varia il tasso “i” è importante la scelta del tasso: non esiste un valore oggettivo e identico per

tutti i soggetti in quanto può variare in base alla situazione del decisore e in base alle sue esigenze

valutative; alcuni criteri per stabilire il tasso sono: il costo del capitale di debito (se l’operazione è finanziata

interamente con capitale di terzi, quantificare il VAN significa testare se l’investimento produca un

rendimento maggiore del suo costo: se il VAN calcolato al tasso per il quale siamo in grado di reperire il

capitale è positivo allora si riesce a creare valore.); il costo del capitale proprio (il criterio è analogo al

precedente ed avviene quando non si chiede a prestito capitale da terzi; il tasso di valutazione viene posto

= al costo-opportunità del capitale che il soggetto è in grado di ottenere dal mercato dei capitali es. il tasso

di rendimento dei titoli di stato; il VAN > 0 indica il maggior rendimento che l’investitore ottiene rispetto al

titolo di stato.); inflazione (per individuare il tasso di valutazione si lega al tasso d’inflazione, questo

permette di valutare se l’investimento produce un rendimento tale da annullare l’erosione del capitale dato

dall’inflazione; questo criterio serve a proteggere il valore del capitale nel tempo); Hurdle rate (avendo

tante opportunità di investimento nelle start-up, il venture capitalist richiede ai progetti un rendimento

molto elevato es. “i” compreso tra 15 e 20% e richiede che il VAN sia > 0; quindi in questo caso il

riferimento è totalmente soggettivo). Osservazioni sul criterio del VAN: Assoluto: a differenza del TIR, il

VAN ha una dimensione monetaria assoluta; Additivo VAN (A) + VAN (B) = VAN (A + B); Applicabilità: il VAN

è sempre calcolabile; Facilità di calcolo: non presenta alcun problema computazionale, ma nel caso di cash

flow estesi il procedimento è lungo e ripetitivo; Soggettività: riferita al tasso di interesse, può essere un

vantaggio perché considera le caratteristiche del soggetto economico, ma presenta uno svantaggio in

quanto il soggetto economico deve possedere una certa educazione finanziaria.

NORMATIVA SULLA TRASPARENZA, TAN E TAEG: la vendita di prodotti finanziari è vincolata da un insieme

di regole che assicurano ai clienti un’informazione corretta: esistono normative sulla trasparenza per:

operazioni bancarie, credito ai consumatori, servizi di pagamento e per il credito immobiliare. La

legislazione in materia di credito al consumo prevede l’esplicitazione di TAN (Tasso Annuo Nominale) e

TAEG (Tasso Effettivo Annuo Globale); il TAEG è il TIR dell’operazione di finanziamento che considera nel

flusso di cassa anche i costi accessori collegati tra cui: spese di istruttoria, di revisione, di apertura, di

chiusura, di riscossione di rimborsi, di assicurazione, di mediazione da parte di terzi e altre spese previste;

sono invece escluse le spese del notaio, le imposte alla stipula del contratto e interessi di mora.

Osservazioni: Il TAEG include restituzione del capitale e costi accessori, quindi TAEG > TAN; Gli interessi di

mora sono esclusi dal calcolo del TAEG in quanto è un costo quantificabile a posteriori; i finanziamenti a

tasso “zero” prevedono che sia TAN che TAEG sono = 0, quindi il finanziamento non prevede alcun costo e

viene richiesta solo la restituzione del capitale, ma è più facile trovare casi in cui il TAN è = 0 e il TAEG > 0: il

costo del finanziamento è il recupero delle spese da parte di colui che eroga il finanziamento; Il TAEG si

calcola sempre mediante il metodo di Newton.

Cap. 5: Titoli

Un’obbligazione è un titolo di debito emessa da un emittente che assume l’obbligo, verso il sottoscrittore,

di corrispondere gli interessi e rimborsare il capitale prestato (valore facciale) alla scadenza. Le

caratteristiche di un titolo obbligazionario sono: la data di scadenza (T), il Tasso cedolare (ic), la frequenza

delle cedole (il titolo può essere con o senza cedole), l’acquisto dell’obbligazione (da mercati primari o

secondari), e l’unicità del debitore (ma non del creditore). Il mercato primario è quello nel quale avviene

l’emissione di nuovi strumenti finanziari (riservato agli operatori professionali), mentre il mercato

secondario è quello dove avviene lo scambio di titoli già in circolazione. Obbligazioni senza cedola (TCN =

Titoli a Cedola Nulla; ZCB = Zero Coupon Bound): gli elementi fondamentali sono: la data di emissione “t”, la

data di scadenza “T”, il prezzo di emissione “B0”, il valore facciale “F”, e il rimborso in un’unica soluzione a

scadenza. I BOT sono titoli obbligazionali a breve termine (3, 6 o 12 mesi). Per valutare il rendimento a

scadenza occorre distinguere 2 casi: nel PRIMO CASO il sottoscrittore detiene il titolo dalla data di

emissione fino a scadenza, nel SECONDO CASO il sottoscrittore acquista il titolo dopo l’emissione e lo

detiene fino a scadenza; PRIMO CASO: la formula del rendimento a scadenza è: r0 = ((F/B0) ^ (1/T)) – 1;

invece la formula del rendimento semplice a scadenza è: rs0 = ((1/T) x ((F – B0) / B0)). SECONDO CASO:

l’acquisto del BOT avviene dopo l’emissione, il rendimento a scadenza: rt = ((F/Bt) ^ (1 / (T – t))) – 1; il

rendimento semplice a scadenza è: rst = (1 / (T – t)) x ((F – Bt) / Bt). Il ragionamento delle formule è uguale

al calcolo del rendimento da compravendita: un titolo che viene acquistato sul mercato primario o

secondario per rivenderlo sul mercato secondario: Il rendimento composto di un titolo ZCB è:

invece quello semplice:

Obbligazioni con cedola fissa: gli elementi fondamentali sono: data di emissione (t = 0), scadenza (T), lo

scadenzario (0, 1, 2, …, T), prezzo di emissione (B0), valore facciale (F), cedola (c), tasso cedolare (ic), e il

calcolo della cedola (F x ic) / (quante cedole da pagare in un anno) es. cedola trimestrale sarà (F x ic) / 4. Il

BTP è un titolo obbligazionario del tipo CB (Coupon Bound) a medio / lungo termine (5, 10 o 30 anni) che

prevede il pagamento di cedole costanti e semestrali, e il rimborso a scadenza dell’ultima cedola e del

valore facciale. Il prezzo del coupon bound pubblicato sui giornali è chiamato corso secco, ma questo non è

il prezzo effettivo di acquisto (chiamato corso tel quel): quest’ultimo è dato dalla somma tra corso secco e

rateo di cedola (At): la parte di cedola di competenza del venditore; es. un CB che paga cedole semestrali di

20$ al 15/01 e al 15/07 di ogni anno, il rateo di cedola al 01/07 è dato da:

Il rendimento a scadenza di un CB è il TIR al tempo t di un’operazione finanziaria che si sviluppa con

l’acquisto al tempo t di un titolo al prezzo tel quel Bt conservandolo fino alla scadenza T (il calcolo avviene

definendo il flusso di importi includendo anche le cedole e poi risolvendo mediante il procedimento del

cap. 3). I proventi che si ottengono da BTP, BOT e dagli altri titoli sono tassati al 12,5%; per gli ZCB l’aliquota

si applica sulla differenza tra prezzo di acquisto e quello di vendita.

Cap. 6: indici temporali e rischio di tasso.

Gli indici temporali sono dei riferimenti che permettono di rappresentare in un numero molti aspetti del

flusso di importi “x”; alcuni esempi sono banali sono: la scadenza “tn” e la vita a scadenza “tn – t0”; ma tra i

più importanti troviamo la Duration: la media ponderata delle singole vite a scadenza delle componenti del

flusso x rispetto a t0, la formula è:

La duration gode delle seguenti proprietà: _ è compresa tra la durata minima e quella massima del titolo; _

rimane invariata se moltiplichiamo tutti gli importi per una costante > 0; _ la duration di uno ZCB è pari alla

vita a scadenza; _ la duration diminuisce al crescere della cedola e diminuisce anche al crescere della

frequenza delle cedole. Alcune osservazioni: _ ha la dimensione di un tempo: ha la stessa unità di misura

delle scadenze “t”; _ è un’adeguata misura dell’effettiva durata del flusso di cassa; _ più lontana è la

scadenza e più sarà la duration (> rischio); _ esprime la sensibilità del prezzo ai movimenti dei tassi.

Esempio cal