Riassunto esame Matematica finanziaria ed attuariale, Prof. Allevi Elisabetta, libro consigliato Matematica finanziaria e attuariale, Elisabetta Allevi, Magalì Zuanon, Gianni Bosi e Rossana Riccardi

Formattazione del testo

>V∑ 5 ¬/}(1 + ) .<(alfa figurato n al tasso i) = , l’ammontare della rata che rimborsa un prestito di importo S con n rateR ¬/. “alfa figurato n al tasso i” rappresenta la ratacostanti è dato da R = S*5 In altre parole, la quantità¬/..da versare per rimborsare un prestito unitario con n rate costanti: è la rata di ammortamento francese diun debito unitario S = 1. Altre grandezze:∗ I ¬ I ¬~= = R * (debito residuo a ogni scadenza);D a V a V• k k¬/R. n-k+1vI = R * (1 – ) (quota interesse a ogni scadenza);• k ∗ I ¬ = •x ¬ ¬s= S – R * (debito estinto a ogni scadenza);E a V a• k kn-k+1C = R * v (quota capitale a ogni scadenza);• kLe quote capitali come vediamo sono positive, crescenti e formano una progressione geometrica di~ ~ ~ = •x ¬n n= R* v = * v = = .ragione (1+i) e di primo elemento C a1 \¬/ ∗R ¬/ ¬/R 94= %. . .C = C

–1 * (1+i). metodo a quote capitali progressive, od

Possiamo dire quindi che La denominazione dik kanche progressivo in senso stretto, discende da questa proprietà delle quote capitali di costituire unaprogressione geometrica.

2. Ammortamento italiano le quote capitali sono costanti,

Nel metodo italiano o uniforme quindi si ha che C = C = … = C = C.

1 2 n€condizione di chiusura elementare, si ha che C =

Considerando la (importo del prestito / numero rate)..

A partire dall’importo della quota capitale si determinano il debito residuo e il debito estinto a ogni scadenzak = 0, 1, …, n. Si ottiene allora che:

a V ~D = (n – k)*C = * S progressione aritmetica di ragione ;• k a a

VE = k*C = * S• k a

Possiamo dire allora che il debito residuo e il debito estinto variano in progressione aritmetica di ragionerispettivamente – C e C. Inoltre, per ogni k = 1, 2, …, n, si ricava:

a V49I = D * i = * Si;• k k-1 a~ a V49 ~∗ • =

R = + R = C + I(•1 + − v + 1)• k k ka a a

Pertanto, anche gli interessi e le rate variano in progressione aritmetica di ragione – iC.

3. Ammortamento americano

Nell’ammortamento americano o a due tassi di durata n periodi, il debitore versa le quote in contocapitale, che non sono rese immediatamente disponibili al creditore, in un fondo appositamente costituito. “fondo di rimborso”.

Il fondo prende il nome di Tali versamenti, effettuati dal debitore e capitalizzati a unil capitale S ricevuto intasso d’interesse unitario periodale j, generano, al termine dell’n-esimo periodo,prestito e quindi corrisposto al creditore in un’unica soluzione al termine di tale periodo.

In aggiunta, il debitore corrisponde periodicamente al creditore una quota interessi, calcolata con un tasso

Il tasso j, detto tasso di accumulazione, è distinto dal tasso i did’interesse unitario periodale i, pari a Si.remunerazione del debito.

k si ottiene capitalizzando i versamenti periodici A al tempo k, e avremo F k k~Allora A = è essenzialmente la quota da inserire nel fondo di accumulazione per trovare a n anni un~\¬Limporto pari al debito S che si ha con la banca. Quindi, considerando anche la quota interessi, il mutuante¬jk(i,j)esborsa, al termine di ogni periodo k = 1, 2, …, n, l’importo R = Sσ + Si, mentre il debitore riceve Sina ogni scadenza k = 1, 2, …, n – 1 e S+Si alla scadenza finale n. \= =4=∗ 94= = ~= ~¬j = =k(i,j)Qualora si abbia j = i, si ottiene R = Sσ + Si = S*[ ] = S*n \ \ X\94= 9 94= 9 9 94= ‚ ¬/\ovvero, l’esborso effettuato a ogni scadenza k = 1, 2, …, n coincide con la rata di ammortamento corrispostaCOMMENTO: in un piano di ammortamento americano con dueperiodicamente con il metodo francese.tassi uguali, lo sforzo da sostenere a ogni scadenza è pari a quello che sosterrei se avessi il caso di

Un ammortamento francese. Infine, si osserva che l'esborso periodico nel piano d'ammortamento americano è maggiore (minore) della rata corrisposta con il metodo francese se il tasso di accumulazione j è minore (maggiore) di quello di remunerazione i.

Valutazione di un prestito

Supponiamo che il creditore, ricevuta la rata k-esima, con k < n, intenda cedere i suoi diritti sulle rate successive, oppure che il debitore il riscatto del debito, ossia chieda, effettuato il pagamento della rata R k, chieda di estinguerlo anticipatamente. Valutazione del prestito,

In entrambi i casi occorre procedere con una operazione che permette di determinare il valore attuale alla scadenza k (con k = 1, 2, ..., n) delle rate successive ancora da ricevere o da corrispondere. Questa valutazione si effettua a un tasso d'interesse unitario periodale "j > 0" detto di valutazione: è il tasso in base al quale si suppone, per esempio, che possano essere

effettuatiinvestimenti alla scadenza k. Anche qui allora avremo due tassi:

• Tasso i di remunerazione (solito);
• Tasso j di valutazione, imposto dalla banca per l'anticipo del prestito.

V (j) il valore residuo dell'ammortamento,Indichiamo con che sarà uguale al valore di tutte le rate chet ∑ .%bd4< c% ∗ < L %V (j) =mancano da pagare al tempo t, tempo della rivalutazione, e avremo: .tse i < j, l'estinzione anticipata del prestito risulta conveniente per il creditore,

È evidente inoltre che, chema sarebbe svantaggiosa per il debitore, che stapotrebbe impiegare il capitale a un tasso superiore,rimborsando un prestito a un tasso inferiore. se i > j, l'estinzione anticipata del prestito risultaViceversa,conveniente al debitore e non al creditore, infatti il debitore potrebbe contrarre un nuovo prestito a un tassose i = j allora il valore del prestito alla scadenza k sarebbe ugualedi remunerazione inferiore.

Infine, all'ammontare del debito residuo D. Possiamo schematizzare quanto detto:

1. V > D se j < i; t
2. V = D se j = i; t
3. V < D, se j > i; t

V(j) o V(j) la valutazione del prestito alla scadenza t al tasso di valutazione j. Tale importo è la somma di due addendi: il valore attuale delle quote capitali future, detto nuda proprietà del prestito e indicato con Pk, e il valore attuale delle quote interessi future, detto usufrutto del prestito e indicato con U(j).

Vedi se vuoi calcoli e dimostrazioni a pagina 80 del libro. NB: nel quaderno abbiamo sostituito h con s.

Alla fine di tutti questi calcoli, possiamo ricavare la seguente relazione di Makeham, che consente di calcolare il valore del prestito alla scadenza t kfunzione della nuda proprietà e del debito residuo alla stessa data:

V(j) - P = (i / j)* (D - P). Esiste un teorema che afferma analogamente che in un ammortamento a

ratek k k kequintervallate, effettuato il pagamento della k-esima rata, l'usufrutto valutato al tasso j è dato da U = i / j * D - P .k k k

Lezione 9: problemi di scelta tra operazioni finanziarie alcuni indicatori numerici che, associati ad un'operazione finanziaria, consentono a unOra vedremo operatore di misurarne la convenienza. L'introduzione di tali indicatori risulta efficace anche per poter decidere tra più operazioni finanziarie quale ritenere preferibile.

Date due operazioni X e Y, con X = {(Xk; tk): k = 0,1, ..., n} e Y = {(Yk; tk), k = 0,1, ..., n} si definisce l'operazione X + Y quella che ha come scadenziario l'unione dei due scadenziari, e che associa ad ogni scadenza tk un importo pari alla somma degli importi di X e Y.

Inoltre, l'operazione si definisce nel seguente modo: = {(αXk; tk): k = 0,1, ..., n}. Queste due sono αX αX proprietà che valgono se gli scadenziari delle operazioni

analizzate sono uguali. Le operazioni oggetto della nostra analisi sono caratterizzate da uno scadenziario e capitali noti con certezza

Due operazioni finanziarie si possono confrontare quando e non contenenti unicamente entrate o uscite. contemporaneamente valgono le seguenti proprietà:

• Certezza (operazioni certe e non aleatorie);
• Ammissibilità (operazioni possibili per un soggetto);
• Alternatività (la scelta di un'operazione esclude la possibilità di scegliere l'altra);
• Indipendenza (operazioni non legate o influenzate l'una dall'altra);
• Completezza - omogeneità (operazioni con uguale scadenza e con uguale capitale iniziale).

Quando due operazioni non si possono confrontare per mancanza di correttezza rispetto al capitale iniziale, si può procedere creando una nuova operazione finanziaria da aggiungere a quella che non era confrontabile (operazioni integrative) o si può ricorrere al credito.