Riassunto esame Geometria, prof. Nelli, libro consigliato Algebra lineare, Capocasa, Medori

Settimana 9

Geometria Analitica nel Piano

Retta nel Piano

Equazione parametrica di una retta nel piano

( _y )= ( _{w e} )

+( _{x0 y0} )

vettore direttore

s=( _{w e} )

punto per cui passa la retta

P₀( _{x0 y0} )

Equazione parametrica di una retta nello spazio

( _{x y z} )= ( _{m n l} )

+( _{x0 y0 z0} )

vettore direttore

s=( _{m n l} )

punto della retta

P₀( _{x0 y0 z0} )

dalla formula parametrica ⇒ formula cartesiana

Retta

( _{x y} )= ( _{w e} )+( _{x0 y0} )

( _{w e} ) =( _{x-x0 y-y0} )

ci sono soluzioni se e solo se il determinante della matrice

| _{w x-x0 e y-y0}

≠ 0

⇔ (y-y₀)+e(x-x₀)=0

NEL PIANO R²

Retta

( _{x y z} )= ( _{m n l} ) +( _{x0 y0 z0} )

( _{w n l} ) =( _{x-x0 y-y0 z-z0} )

x - x₀

y - y₀

z - z₀

bastano 2 determinanti

• rette parallele

2 rette sono // se hanno lo stesso vettore direttore

• rette ortogonali

il prodotto scalare di 2 vettori ⊥ = 0 quindi deve essere x₁x₂ + y₁y₂ = 0

prodotto scalare

• tra 2 vettori

di R² Il prodotto scalare tra due vettori dà un numero reale u₁ ̇u₂ = x₁x₂ + y₁y₂

Dim. ||u₁|| · ||u₂|| cos ϴ = x₁x₂ + y₁y₂

||u₁||=ρ₁ | | |u₂||=ρ₂

{ ρ₁ cos α = x₁ ρ₁ sen α = y₁ { ρ₂ cos (ϑ+α) = x₂ ρ₂ sen (ϑ+α) = y₂

(ρ₁ρ₂) cos ϴ = (ρ₁ ρ₂) cos α cos (ϴ+α) + (ρ₁ρ₂) sen α sen (ϴ+α) cos ϴ = cos ϴ cos α cos ϴ + sen ϴ cos α + sen ϴ cos α cos ϴ + cos ϴ cos α cos ϴ. cos ϴ = cos α cos cos²α - sen ϴ cos ϴ = cos α (sen² α + cos² α)

Settimana 10

• PROIEZIONE ORTOGONALE

La proiezione ortogonale di u su v è "il vettore così ottenuto"

P_v(u) = ^u·v/_v·v

P_v(u) = ^|u|/_|v|cosθ

|u| = |u|cosθ

|v| · |u|

• RIFLESSIONE RISPETTO AD UNA RETTA

P e P' simmetrici rispetto a r

• ES

r retta per A= (1, -1) B= (3, 1) C= (1, 2)

r: (^x/_y) = t (²/₁) + (¹/_-1)

trovare C' simmetrico di C rispetto a r

d: retta per C ⟂ r

(^x/_y) = s (^-1/₂) + (^y/_y) → (^x/_y)^* di C

{

2t + 1 = -s+1 → s = 2t

2t - 1 = -s+2

t = 3

t = ^3/4

s = ^3/2

H= (^3/2+1/_3/2+2) = (^5/2/_1/2)

C-H = H-C'

C' = 2H - C

C' = (^2·5/2/_2·1/2) = (¹/₂) = (⁵/₁) - (^1/2/₄)

Sfere nello spazio

Una sfera di centro C e raggio r è il luogo dei punti di R³ che hanno distanza r dal punto C.

C: (x₀, y₀, z₀)

P: (x,y,z) P∈ Sfera ⟺ d(PC)=r

d(PC) = √((x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)²) = r

Eq. della sfera di centro C(x₀, y₀, z₀) e raggio r

(x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² = r²

oppure

x² + y² + z² + 2dx + 2fy + 2gz + δ = 0

i coefficienti di x², y², z² devono essere uguali

Posizioni reciproche di retta e sfera

• retta tangente → r ∩ S = 1 punto
• retta secante → r ∩ S = 2 punti
• retta esterna → r ∩ S = ∅

Posizioni reciproche di piano e retta

• piano esterno → p ∩ S = ∅
• piano secante → p ∩ S = circonferenza
• piano tangente → p ∩ S = 1 punto

Proprietà delle applicazioni lineari

1. La composizione di applicazioni lineari è lineare

   T: V → W S: W → U → S○T (composta): V → U lineare

2. L'inversa di un'applicazione lineare è lineare

   T: U → W biettiva → allora inverso di T denotato come T^-1

N.B. T○T^-1 = T^-1○T = I_v def. inverso basato sulla composta

Dimostrazione

1. Devo dimostrare che
   1. (S○T)(u₁ + u₂) = (S○T)(u₁) + (S○T)(u₂) ∀ u₁, u₂ ∈ V
   2. (S○T)(λu) = λ(S○T)(u) ∀ u₁, u ∈ V, λ ∈ ℝ

1. (S○T)(u₁ + u₂) = S(T(u₁+u₂)) = S(T(u) + T(u₂)) = S(T(u₁)) + S(T(u₂)) = (S○T)(u₁) + (S○T)(u₂)
2. (S○T)(λu) = S(T(λu)) = S(λT(u)) = λS(T(u)) = λ(S○T)(u)

Lemma

T, S: V → W applicazioni lineari β = {v₁, ..., v_n} base di V se T(v_i) = S(v_i) ∀ i = 1, ..., n allora T = S

Dimostrazione

Prendo vettore e mostro che, dato da T = S, è uguale ∀u u ∈ V qualunque

∃ α₁, ..., α_n ∈ ℝ | u = α₁v₁ + ... + α_nv_n

T(u) = T(α₁v₁ + ... + α_nv_n) = T(α₁v₁) + ... + T(α_nv_n) = α₁T(v₁) + ... + α_nT(v_n) = α₁S(v₁) + ... + α_nS(v_n) = S(α₁v₁) + ... + S(α_nv_n) = S(α₁v₁ + ... + α_nv_n) = S(u)

⇒ T = S

O = T(l₁b₁ + ... + l_kb_k) = l₁T(b₁) + ... + l_kT(b_k)

T : U → W

• {v₁, ..., v_n} base di V
• T(v₁), ..., T(v_n) generano ImT
• T(v₁), ..., T(v_n) possono essere linearmente indipendenti
• b₁, ..., b_k linearmente dipendenti ⇒ {T(b_k)} sarà linearmente dipendente

oss

T : V → W iniettiva

Allora se {v₁, ..., v_n} linearmente indipendenti: ⇒ T(v₁), ..., T(v_n) sono linearmente indipendenti

l₁T(v₁) + ... + l_nT(v_n) = 0

T(a₁v₁ + ... + a_kv_k) = 0 ⇒ l₁v₁ + ... + l_kv_n = 0 ⇒ l₁, ..., l_k = 0

ImT è generato da T(e₁), T(e₂), T(e₃)

T(e₁)(1 1 2)

T(e₂) (-1 4 0)

T(e₃) (2 -1 4)

Riduzione di Gauss 1 -1 2 1 4 -1 2 0 4

⟶ (1 0 3 0 2 2 0 2 -4)

⟶ (1 0 3 0 2 2 0 0 -4)

rg=2

Teorema

T : U → W suriettiva

dim V = dim (Ker T) + dim (Im T)

Dim

dim U = n Ker T sottospazio di U Ker T = {0} se T iniettiva ⇒ si {v₁, ..., v_n} base di U

{T(v₁), ..., T(v_n)} base di ImT supponiamo Ker T ≠ 0 uso iniettiva siai v₁, ..., v_t base di Ker T (sottospazio di U) composto da base ad una base di U {v₁, ..., v_r, v_t+1, ..., v_n} base di U allora due {T(v_t+1), ..., T(v_n)} base di ImT T(v_k+1), ..., T(v_n) generano ImT u ∈ ImT