Riassunto esame Geometria (Algebra Lineare), prof. Nelli, libro consigliato Algebra lineare, Capocasa, Medori

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Riassunto per l'esame di Geometria della prof. Nelli, basato su appunti personali e studio autonomo del testo consigliato dal docente Algebra lineare e geometria analitica, Capocasa, Medori. Gli …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Nelli Barbara

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2014-2015

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Estratto del documento

Sistemi lineari

Incognita con esponente = 1

ax = b

Risolvere trovando i valori di x
Se a ≠ 0 → 1 soluzione: x = b/a
Se a = 0 → b = 0 → infinite soluzioni
Se a = 0 → b ≠ 0 → impossibile - nessuna soluzione

Qualsiasi sistema lineare può presentare queste tre soluzioni.

Equazione di secondo grado

x² = a

Se a > 0 → X = ±√a → 2 soluzioni
Se a < 0 → non ci sono soluzioni
Se a = 0 → X = 0 → 1 soluzione

Matrici

Tabella di numeri reali

Matrice di m righe e n colonne

L'insieme delle matrici reali con m righe e n colonne si indica con M_mn(ℝ).

a_ij si dicono coefficienti di A.

Esempio

A =

1	2	3	5
1	3	2	1
0	1	1	1

→ A ∈ M₃₄(ℝ)

*Se il numero delle righe è uguale a quello delle colonne m = n, si ha una matrice quadrata.

A =

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

...

a_m1 a_m2 ... a_mn

Gli elementi a_ii formano le diagonali della matrice.

Sistemi lineari ripetuti

Incognita con esponente = 1

a₁x = b

Se a ≠ 0 → 1 soluzione x = b/a
Se a = 0 →

b = 0 → infinite soluzioni
b ≠ 0 → impossibile: nessuna soluzione

Qualsiasi sistema lineare può presentare queste tre soluzioni.

Equazione di secondo grado ripetuta

x² = a

Se a > 0 → X = ±√a 2 soluzioni
Se a < 0 → non ci sono soluzioni
Se a = 0 → X = 0 1 soluzione

Definizioni di matrici

Tabella di numeri reali, molto raramente C

Matrice di m righe e n colonne

a₁₁	a₁₂	a₁₃	...	a_1n
a₂₁	a₂₂	a₂₃	...	a_2n
...	...	...	...	...
a_m1	a_m2	a_m3	...	a_mn

L'insieme delle matrici reali con m righe e n colonne si indica con M_m,n(ℝ).

a_ij si dicono coefficienti di A.

Esempio di matrice

A =

1	2	3	5
1	3	2	1
0	1	1	1

→ A ∈ M_3,4(ℝ)

*Se il numero delle righe è uguale a quello delle colonne m = n, si ha una matrice quadrata.

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

...

a_m1 a_m2 ... a_mn

* Gli elementi a_ii formano le diagonali della matrice.

Tipi di matrici

* _A = \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \)

Se \(a_{ij} = 0\) e \(i \ne j\), A si dice triangolare inferiore.

* _A = \( \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{bmatrix} \)

Se \(a_{ij} = 0\) e \(i \ne j\), A si dice matrice diagonale se tutti gli elementi sono nulli tranne che sulla diagonale.

* _A = \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 7 \end{bmatrix} \)

Matrice riga \((n, \ bc \Rightarrow M_{1x4}(\mathbb{R}))\)

* _A = \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \)

Matrice colonna \((r_n, \ 1c \Rightarrow M_{4x1}(\mathbb{R}))\)

Operazioni tra matrici

Le operazioni tra matrici possono essere eseguite...

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