Riassunto esame Geometria (Algebra Lineare), prof. Nelli, libro consigliato Algebra lineare, Capocasa, Medori

Settimana 1

SISTEMI LINEARI

incognita con esponente = 1

• ax = b
• risolvere trovando i valori di x
• se a ≠ 0 - 1 soluzione x = b/a
• se a = 0 b = 0 - infinite soluzioni
• se a = 0 b ≠ 0 - impossibile - nessuna soluzione

Qualsiasi sistema lineare può presentare queste tre soluzioni

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

x² = a

• se a > 0 x = ±√a 2 soluzioni
• se a < 0 non ci sono soluzioni
• se a = 0 x = 0 1 soluzione

MATRICI

Tabella di numeri reali - molto raramente ℂ

Matrice di m RIGHE e n COLONNE

L'insieme delle matrici reali con m righe e n colonne si indica con Mmn(ℝ)

a_ij si dicono coefficienti di A

Esempio

• A = | 1 2 3 5 |
• | 3 2 1 |
• | 0 1 1 |

A ∈ M₃₄(ℝ)

* se il numero delle righe è uguale a quello delle colonne m = n, si ha una MATRICE QUADRATA

* Gli elementi a_ii formano le diagonali della matrice

* ^{1 2 3}_{0 2 50 0 6} ↔ A_ij = 0 e i>j

A si dice TRIANGOLARE SUPERIORE

* _{a11 a12 a13a21} 0 0_a31 a₃₂ 0

...

a_mn

↔ A_ij = 0 e i<j

A si dice TRIANGOLARE INFERIORE

* ^{0 0 0}_{0 0 00mn} ↔ A_ij = 0 ∀i≠j

A si dice MATRICE DIAGONALE

se tutti gli elementi sono nulli tranne che sulla diagonale

* A = ^{1 2 5 7} ↔ MATRICE RIGA (1_n, 1_c ⇒ M_1xn(R))

* ₁₂₃₄

A = MATRICE COLONNA (r₁, 1_c ⇒ M_r×1(R))

OPERAZIONI TRA MATRICI

Le operazioni tra matrici possono essere eseguite solo tra matrici dello stesso tipo.

Def: Dati A, B ∈ M_mn(R)

si dice SOMMA di A e B la matrice C=A+B in cui l'elemento di posto ij è c_ij=a_ij+b_ij

A={a_ij} = [_{a11 ... a1m} ... _{am1 ... amn}]

B={b_ij} = [_{b11 ... b1m} ... _{bm1 ... bmn}]

A+B = [_{(a11+b11) (a12+b12) ... ... (am1+bm1) (amn+bmn)}]

Matrici Simmetriche

A ∈ M_n(ℝ) si dice simmetrica se A = A^t → a_ij = a_ji

Esempio:

A = ( 1 1 2 ) ( 1 3 2 ) ( 2 2 2 )

Matrice Antisimmetrica

A ∈ M_n(ℝ) si dice antisimmetrica se A = -A^t → a_ij = -a_ji

Esempio:

A = ( 0 2 1 ) ( -2 0 2 ) ( -1 -2 0 )

• Per determinare A ∈ M_n(ℝ) il minimo di elementi è n²
• Per determinare A simmetrica n(n-1)+(n-2)+...+1 = n(_n+1/₂) → somma dei primi n numeri naturali
• Per determinare A antisimmetrica n(_n-1/₂) - n

Induzione

Applica il principio di induzione

(se f_k è vera per n e n+1 è vera per qualunque n)

f_k vera, f_n-1 ⇒ f_n

n(_n+1) / ₂ = (_n-1)n / ₂

n(_n-1) / ₂ + n = n(_n-1) + 2n / ₂ = n²n + 2n / ₂ - n² + n / ₂ = n(_n+1) / ₂

n(_n+1) ₂/₂ + n(_n-1) ₂/₂ = n²

A = _{tA + A}/₂ + _A^tA/₂

Numero elementi per definire matrice simmetrica, antisimmetrica → numero per definire matrice

Metodo di eliminazione di Gauss

1^o Due sistemi lineari dello stesso ordine si dicono equivalenti se hanno esattamente le stesse soluzioni.

2^o Date due equazioni a₁x₁+...+a_nx_n=a e b₁x₁+...+b_nx_n=b si dice combinazione lineare delle due equazioni algebriche, M, k ∈ ℝ l'equazione λ(a₁x₁+...+a_nx_n)+k(b₁x₁+...+b_nx_n)=λa+kb Combinando linearmente le eq. di un sistema, se ne ottiene uno equivalente.

• Metodo di eliminazione di Gauss
• Data Ax=b A∈M_n(ℝ)
• Devo arrivare ad avere A triangolare superiore

Considero la 1^a colonna → se contiene solo 0 passiamo alla 2^a colonna PIVOT = p₁ numero sulla diagonale due val. tutti 0 sale ← se contiene qualche elemento ≠0 scambiamo opportunamente le eq. in modo che tale sia ≠0 → pongo l₁₁=p1

Sommiamo alla eq. j-esima la prima eq. moltiplicata per -a_ij/p₁, ottenendo un sistema equivalente in cui gli elementi sotto la diagonale principale della prima colonna della matrice sono nulli Analogamente per le altre colonne

Dopo n-1 passi ho trovato la matrice seguente

• se PIVOT tutti ≠0 → 1 soluzione
• se PIVOT almeno uno =0 → nessuna soluzione o ∞ soluzioni

Nello Spazio

• Fissati i vettori applicati:
• _x1, _x2, _x3 sono unici
• Allora
• x₁ = x₁, x₂ = x₂, x₃ = x₃
• _OP = t(1, 1)

Rette e Piani in Forma Vettoriale

• Gli elementi fondamentali della geometria del piano sono punti e rette
• Per descrivere una retta in un piano sono necessari due suoi punti
• * Se la retta passa per l'origine O
• * Se la retta r è qualsiasi

-> P₀ = P_e + (Q)

Vettore direttore della retta

=> E' immediato scrivere l'equazione vettoriale della retta r passante per due punti P₁ e P₂

• - r = vettore direttore

_OP = _OP1 + t(_OP2 - _OP1)

OSS: L'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo non è un sottospazio vettoriale perché non c'è lo 0.

COMBINAZIONI LINEARI

• Def: Si dice combinazione lineare di v₁, ..., v_k con coefficienti α₁, ..., α_k ∈ ℝ il vettore:

  α₁v₁ + ... + α_kv_k ∈ V

• SPAN (o sottospazio generato dai vettori)

  (v₁, ..., v_k) {α₁v₁ + ... + α_kv_k : α_i ∈ ℝ}

  è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di v₁, ..., v_k

Proposizione → Sia V uno spazio vettoriale e v₁, ..., v_k vettori di V. Allora il sottospazio generato dai vettori (v₁, ..., v_k) è un sottospazio di V.

Dim

Siano u e w ∈ Span (v₁, ..., v_k).

u = α₁v₁ + ... + α_kv_k

w = β₁v₁ + ... + β_kv_k

α_i, β_i ∈ ℝ

• u + w = α₁v₁ + ... + α_kv_k + β₁v₁ + ... + β_kv_k = = (α₁ + β₁)v₁ + ... + (α_k + β_k)v_k ⇒ ∈ Span (v₁, ..., v_k)
• λu = λ (α₁v₁ + ... + α_kv_k) = (λα₁)v₁ + ... + (λα_k)v_k ⇒ ∈ Span (v₁, ..., v_k)