Riassunto esame Cinematica

Cinematica

Descrizione puramente geometrica dell'evoluzione dei punti che compongono un certo oggetto mobile indipendentemente dalle cause che la determinano.

Corpo materiale modello di un oggetto fisico per il quel un generico punto è identificato in una regione opportuna (spazio fisico).

La configurazione di un corpo può cambiare e per tale motivo si fisserà una configurazione di riferimento (Cristofolo Rapoo).

Per osservare la trasformazione del corpo rispetto alla configurazione di riferimento, introduciamo una funzione della deformazione di sé:

• B _n ivoca ad ogni elemento di un insieme corrisponde un elemento di un altro insieme.
• Regolare (continua e differenziabile)

μ (CP) → q (P)

(Configurazione di riferimento) → (Configurazione attuale)

Campo di spostamento:

μ (CP) = ϕ (CP) - P ⇔ ∀ P ∈ R

Variazione parametrica:

ϕ (CP) - ϕ (Q) = | P - Q | ∀ P, Q ∈ R

La distanza tra due punti durante lo spostamento rimane inalterata.

POSSIBILE SPOSTAMENTO RIGIDO: Traslazione

Ogni punto del corpo subisce lo stesso spostamento:

μ (P) = μ (Q) ⇒ ∀ P, Q ∈ R

CORPO RIGIDO

corpo che subisce solo spostamenti rigidi

Ipot. costitutiva, indipendente dalla forma

SPOSTAMENTI RIGIDI INFINITESIMI

• 6 COORDINATE AL CAMPO
• φ₁, φ₂, φ₃ ANGOLI DI EULERO

Concentrandoci sugli SPOSTAMENTI INFINITESIMI

‖u(P)‖ << 1 , ∀P∈ R

‖∇u(P)‖ << 1 , ∀P∈ R

• ponti e materiali di costruzione sono deformabili in entità molto modestia difficilmente apprezzabile ad occhio nudo
• abbiamo a che fare con strutture tozze
• ci interessa capire se la struttura è suscettibile a spostamenti

L’ipotesi di spostamenti infinitesimi semplifica la struttura perché introduce una teoria lineare.

ATTO DI MOTO

CAMPO VETTORIALE CHE AD OGNI ELEMENTO DEL SISTEMA ASSOCIA LA SUA VELOCITÀ

FORMULA FONDAMENTALE DELLA CINEMATICA RIGIDA

V(P) = V(Q) + ψ ∧ CP-Q

Cinematica delle Travature

Struttura copra o sistema di corpi opportunamente vincolati che si suppone senza che venga superato il limite di resistenza del materiale in un sistema di carichi complessivamente in equilibrio applicati in punti distinti.

Si descrivono corpi la cui geometria è descritta nella configurazione di riferimento di un solido cilindrico generato dal movimento nello spazio di una superficie piana A, su una linea L detta linea d'asse della trave, ed ortogonale tra loro, l'intersezione tra essi individua il punto X. LINEA D'ASSE DELLA TRAVE.

L'ipotesi di piccolezza della sezione trasversale A rispetto alle lunghezze consente una trattazione cinematica e statica più semplice, inducendo il modello di solido cilindrico (modello solido di love) e un modello monodimensionale rappresentato della linea L della trave denominato filoso strutturale della trave o semplicemente trave. La linea d'asse, che viene generalmente assunta coincidente con il luogo geometrico dei baricentri delle sezioni...

La trave è un solido ampiamente tridimensionale ma l'ipotesi di

DIAMETRO A MISURA L

consente di costruire un modello monodimensionale.

PER FARE CIO' TUTTE LE DEFORMAZIONI DEVONO ESSERE ATTRIBUIBILI ALLA SUA LINEA D'ASSE

LE SEZIONI TRASVERSALI SI MANTENGONO ORTOGONALI ALLA DEFORMAZIONE DELLA LINEA D'ASSE

Cambio di Notazione Vy (Q) → Vq Uz (Q) → Wq

CERNIERA IDEALE

Se due cerniere possiedono due assi di inclinazione che incontrano in un unico punto, i loro prolungamenti non possono spostarsi in nessuna direzione e si parla di CERNIERA IDEALE, equazione di (K) = 0.

C = X

DOPPIO PENDOLO

Dispositivo che impedisce gli spostamenti nella direzione dei suoi assi e e impedisce le rotazioni interne mentre permette gli spostamenti lungo le rette di scorrimento

equazioni:

• (\(\mu\)) P. **l̂** = 0
• (\(\psi\)) = 0

VINCOLO COMPOSTO = PENDOLO SEMPLICE + DOPPIO DOPPIO PENDOLO

Ese l'equazione in funzione dei parametri del punto di applicazione:

• \(VP \cos \alpha + VP \sin \alpha = 0\)
• (\(\psi\)) = 0

SPUTANDO IL PENDOLO SEMPLICE

Approccio Analitico

• Scegliere un polo di rappresentazione degli spostamenti Q
• Scrivere le equazioni di vincolo (riposante in funzione dei parametri lagrangiani)
• Costruire la matrice cinematica
• Studiare il rango di questa matrice

Approccio Diretto

• Possibili spostamenti ➔ 3 centri
• Ciascun vincolo restringe il luogo di possibili centri di rotazione compatibili col vincolo stesso
• Si deduce che il centro di rotazione contemporaneamente compatibile con tutti i vincoli presenti è costituito dall’intersezione dei luoghi dei centri compatibili col singolo vincolo

possiamo così costuire la configurazione spaziale

PRENDIAMO UN ψ GENERICO

• modare la congiungente e punto di applicazione
• modare una retta costante ψ della congiungente
• trovare l’intersezione mandando la normale del punto da proiezione

ANALISI ANALITICA

1. Scegli un polo che sia comodo (uno di quelli dove c'è un vincolo

   A → P_L,

   • V_A
   • W_A
   • φ
   )

2. Fisso A anche come origine del sistema di riferimento

   {

   • V_P = V_A - ψ (z_P - Z_A) = V_A - ψ z_P
   • W_P ≡ W_A + φ (y_P - y_A) ≡ W_A + φ y_P

3. Scriviamo l'equazione di vincolo

   μ(A). ẇ = 0 ↔ V_A cos λ - W_A sen λ

   W_C = 0 = W_A + φ H = 0

ESEMPIO

Una possibile configurazione potrebbe essere

Per il punto B posso studiare uno spostamento lungo y, lungo z e la rotazione rispetto ad A e C.

DISEGNO LA FUNZIONE DI SPOSTAMENTO

• VERTICALE

continue sulla connessione

• ORIZZONTALE

osservare la connessione rimanendo continue

• ROTAZIONE

Si verifica un salto che si indica

CONNESSIONI

dispositivo che impone la continuità (assenza di salti) su alcuni parametri dello spostamento delle travi a cui la connessione è applicata.

Compatte delle condizioni sui possibili spostamenti relativi tra le travi.

Doppio Pendolo

• Impulsi spostamenti relativi in direzione di l̂ e le notazioni relative delle non connesse

{[V_A³(A₅) - V_Aⁱ(A_i)] l̂ = 0} Pendolo Semplice

{ϕ³ - ϕⁱ = 0} Doppio Doppio Pendolo Semplice

Esplicitando

{V_A³ - V_Aⁱ cosθ + (W_A³ - W_Aⁱ) senθ}

{ϕ³ - ϕⁱ = 0}

Riportando al generico polo Q

{V_A³ = ϕ³(Z_A - Z_Q5) - V_Aⁱ(Z_A - Z_Qi) cosθ +}

+ ΣW_A5³ + ϕ³(Y_A - Y_Q5) - V_A_iⁱ - (Y_A - Y_Qi) senθ = 0

ϕ³ - ϕⁱ = 0

Casi Particolari

Esiste un vincolo centrato relativo al punto, imposizione dell'asse del pendolo.

{V_A³ - V_Aⁱ = 0} → {V_A³ = V_Aⁱ → {ϕ³ = ϕⁱ} → {ϕⁱ = ϕ^c}

{V_A³ - V_Aⁱ = 0} → {W_A³ + ϕ³(Y_A - Y_A₅) - V_Qi}

ϕⁱ = ϕ^c