Riassunto esame Cinematica

Cinematica

Cinematica: descrizione puramente geometrica dell'evoluzione dei punti che compongono un certo oggetto materiale indipendentemente dalle cause che la determinano.

Corpo materiale

Modello di un oggetto fisico per il quale un certo gèto è identificato in una regione opportune forma. La configurazione di un corpo può cambiare e per tale motivo si fissa una configurazione di riferimento (rispetto la quale) R ^E_o.

Dotto materiale e spazio fisico

Per descrivere la trasformazione del corpo rispetto alla configurazione di riferimento introduciamo una funzione della deformazione de sie. Biunivoca ad ogni elemento di un insieme corrisponde un elemento di un altro insieme. Regolare continua e differenziabile.

CP → P

Configurazione di riferimento e attuale

Q_A ↔ Q

Campo di spostamento

m(CP) = C(CP) - P   ∀PER

Spostamenti rigidi

|R(CP) - f(Q)| = |P - Q|   ∀P ⊂ Q ⊂ E^o

La distanza tra due punti durante lo spostamento rimane identica. Possibile spostamento rigido ↓

Traslazione

Ogni punto del corpo subisce lo stesso spostamento. m(P) = m(Q)   ∀P ⊂ Q ⊂ E^o

Cinematica

Cinematica descrizione puramente geometrica dell'evoluzione dei punti che compongono un certo oggetto materiale indipendentemente dalle cause che la determinano.

Corpo materiale

Modello di un oggetto fisico per il quale un oggetto reale è identificato in una regione opportune finita. La configurazione di un corpo può cambiare e per tale motivo si fissa una configurazione di riferimento (rispetto la quale).

Reale e spazio fisico riferito

Per descrivere le trasformazioni del corpo rispetto alla configurazione di riferimento introduciamo una funzione della deformazione di sei. Bigiova ad ogni elemento di un insieme configurazione un elemento di un altro insieme. Regolare continua e differenziabile.

Configurazione di riferimento e attuale

Campo di spostamento Vp∈R

Spostamenti rigidi

La distanza tra due punti durante lo spostamento rimane indentata. Possibile spostamento rigido.

Ogni punto del corpo subisce lo stesso spostamento.

Corpo rigido

Corpo che subisce solo spostamenti rigidi (Ipotesi costitutiva, indipendente dalla forma). Spostamenti rigidi infinitesimi. Concentrandoci sugli spostamenti infinitesimi |u(P)| ≪ 1 |∇u(P)| ≪ 1 ∀P ∈ R.

Pareti e solai di costruzione

Sono deformabili in entità molto modesta, difficilmente apprezzabile ad occhio nudo. Abbiamo a che fare con strutture tozze. Ci interessa capire se la struttura è suscettibile a spostamenti. L'ipotesi di spostamenti infinitesimi semplifica la trattazione poiché introduce una teoria lineare.

Atto di moto

V(P) = V(Q) + Ψ ∧ (CP - Q) ∀P ∈ R. Campo vettoriale che ad ogni elemento del sistema associa la sua velocità. Formula fondamentale della cinematica rigida.

Casistica

1. w = 0   Traslazione
2. μ(P) = μ(Q)   ∀P,Q ∈ R
3. μ(Q) = 0
4. μ(P) = w ∧ (P - Q)   ∀P ∈ Ω

Spostamenti rigidi infinitesimi piani

Tutti gli spostamenti sono paralleli ad uno stesso piano. Sono presenti:

• 3 Gradi di libertà
• Numero di variabili indipendenti necessarie per determinare univocamente la sua posizione nello spazio
• 3 Coordinate lagrangiane
• Variabili indipendenti che identificano univocamente le coordinate di tutti i punti di un sistema in un determinato istante

Teorema di Eulero

Assegnato un campo di spostamento infinitesimo rigido piano, nell’ipotesi che ψ ≠ 0 (non puramente traslatorio), allora esiste ed è unico un punto C (centro di rotazione) tale che il punto C sia fisso [ψ ≠ 0, C ∈ Γ   ∃! μ(C) = 0]. Quindi se utilizziamo come polo C invece di un generico Q lo spostamento di P è definito μ(P) = ψ ∧ (P - C)   ∀P ∈ Ω.

Dimostrazione

Polo Q: μ(c) = μ(Q) + ϕ i ∧ (c - Q) = 0 per definizione μ(Q) - ϕ î ∧ (Q - c) μ(Q) ∧ î = [ ψ î ∧ (Q - c) ] ∧ c_a ^b _c (a ∧ b) ∧ c = (a ∙ c) b - (c ∙ b) a.