Riassunto esame fisica 1 - pt. 1

1) Calcolo vettoriale

Vettore

modulo (numero _R ≥ 0) |a|

direzione

verso

a = ₀a

₀a = vettore di modulo unitario => versore

Somma

c = a + b => gode di proprietà commutativa

Moltiplicazione per un numero (scalare):

|b| = q |a| se q ≥ 0

|b| = -q |a| se q < 0 ed il verso cambia

Prodotto scalare: c = a · b = |a| |b| cos θ => c è uno scalare

θ = π/2 => b · a = 0

θ = angolo tra a e b

₀a · ₀a = |a|²

vale la prop. distr. rispetto alla somma

Prodotto vettoriale: c = a ∧ b => |c| = |a| |b| |sinθ|

c · c = a · c = b · c = 0

a, b, c non ordinatamente congruenti ad una terna destra di assi cartesiani

proprietà distr. rispetto alla somma

anticommutativa = a ∧ b = -b ∧ a² ∧ ²a = 0

Se a ∧ b = 0 con a,b ≠ 0 allora |a ∧ b| = |a| |b|

a ∧ (b + c) = a ∧ b + a ∧ c²

regola del triplo prodotto vettoriale

2) Rappresentazione dei vettori

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale: ad ogni asse è associato un vettore i = x, j = y, k = z, |i| = |j| = |k| = 1.

Considera un vettore a applicato all'origine O, α sono α, β, γ gli angoli che forma con gli assi.

a · ₀i = |a||cosα|, b · ₀i = |b|cosβ = b₀, c · ₀i = |c|cosγ = c

α· i + ayˢj + azˢk

Result: b = a ⋅ x + ayˢj + azˢk

a₂ · a₂ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

[i, j, k · ₁x ⋅ i, ₁x ⋅ j, ₁x ⋅ k · ] = ^det |i ∧ j| = ^det |ax, ay, az|

a₃c · a_jun + (a₃c - axbx) + a₂(aybx - ayby) c∧c

FISICA

1. CALCOLO VETTORIALE

VETTORE

modulo (numero ∈ ℝ ≥ 0) |a|

direzione

verso

punto applicazione

a = â · |a|

b = vettore di modulo unitario → VERSORE

Somma c = a + b

gode di proprietà commutativa

moltiplicazione per un numero (scalare):

b = q · â

• |b| = q |a| se q ≥ 0
• |b| = -q |a| se q < 0 ed il verso cambia

prodotto scalare a · b = c = |a||b| cos θ → => è uno scalare

θ = π/2 se b · â = 0

θ = angolo tra a e b

â^2 = |a|^2

vale la prop. distr. rispetto alla somma

prodotto vettoriale c = a ∧ b = â ∧ b = |a| |b| |sin θ| â ∧ b = 0

c · â = 0, c · b = 0

a, b, c sono ciclicamente congruenti ad una terna destrorsa di assi cartesiani

• proprietà distr. rispetto alla somma
• anticommutativa = â ∧ b = - b ∧ â
• â ∧ â = 0

Se a ∧ b = 0 con a, b ≠ 0 allora |â ∧ b| = |a||b|

â ∧ (b ∧ c) = b (a · c) - c (a · b) - regola del triplo prodotto vettoriale

(a + b) ∧ c = â ∧ b + c ∧ x = â ∧ (b + c)

2. RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale:

ad ogni asse è annato un vetture

i = x; j = y; k = z; |i| = |j| = |k| = 1

Considera un vettore a' applicato all'origine 0, amon w, p, z, gli angoli che forma con gli ernamenti;

â · i = |a||cos w

b · z = c |b| cos β

c · î = |c| cos ≤ c

• x = a_xi + a_yj + a_zk

b · b = a ' b , a_x b_x + a_y b_y + â

det ⎜w | x | z ⎟

det ⎜x | β | y ⎟

Coordinate cilidrische

P è identificato dal vettore x=OP che è rappre-

sentabile da una terna di numeri (ρ,ψ,z) con ρ≥0 che è la distanza

dall'origine della proiezione di P sull'asse x,y (piano x,y)

z è la coordinata lungo l'asse z e ψ è l'angolo tra la

proiezione di x sul piano x,y con il semiasse x positivo.

x = i ρ cosψ + j ρ sinψ + k z

Coordinate sferiche

OP è identificato anche dalla terna (r,θ,φ) con r>0

e r è la distanza di P dall'origine

x = OP = i r cosφ sin θ + j r sin θ sin ψ θ + k r cos θ

Capitolo 4: Cinematica

• Moto rettilineo uniforme