Riassunto esame Psicometria, prof. Callea, libro consigliato Statistica per le scienze del comportamento, Welkowitz

STIMA COMBINATA DELLA VARIANZA

N.B.: il fatto che si assume che le popolazioni abbiano la stessa varianza, non significa che anche i

campioni estratti abbiano la stessa varianza (Es. genere per Q.I.).

Per il calcolo della stima della deviazione standard delle differenze è necessario, innanzitutto,

calcolare la stima combinata (ossia relativa ad entrambe le popolazioni):

2 2

s s

= +

comb comb

s −

X X N N

1 2 1 2

CALCOLO DELLA STIMA COMBINATA

Se i due campioni hanno la stessa numerosità il calcolo della stima combinata è molto semplice: è

2

sufficiente calcolare la media tra le stime (s ) relative a ciascuna popolazione. Ossia:

2 2

+

s s

2 1 2

=

s combinata 2

es: calcolare la stima combinata di due popolazioni, sapendo che i campioni estratti hanno la stessa

21 22

numerosità e che s = 1 e s = 2

E se i due campioni hanno diversa numerosità? Se i due campioni sono numericamente differenti, è

2

necessario “pesare” ciascuna s rispetto alla numerosità del proprio campione. In particolare

sappiamo che: ∑ −

∑ − 2

2 ( X X )

( X X ) 2

=

2

1

= s

2

s 2 −

1 − ( N 1

)

( N 1

) 2

1

Quindi è necessario risalire alla devianza e dividere per N “corretto”.

CALCOLO DELLA STIMA COMBINATA

La formula per calcolare la stima combinata con N diversi è la seguente:

2 2

− + −

( N 1

) s ( N 1

) s

2 1 1 2 2

=

s comb + −

N N 2

1 2

es: salcolare la stima combinata di due popolazioni, sapendo che:

21 22

N =31; N =51; s = 1; e s = 2.

1 2 +

( 30

)

1 ( 50

) 2 130

= = =

2

s 1

,

63

c omb + −

31 51 2 80

STIMA DELLA DS DELLA DIFFERENZA: VARIANZE INCOGNITE E UGUALI

Avendo la stima combinata della varianza è possibile, a questo punto, calcolare la stima dell’errore

standard della differenza.

Sappiamo che la stima della DS delle medie è:

2

s s

= =

s X N

N

In questo caso, però, vi sono due popolazioni con varianze incognite e uguali. Dunque:

 

2 2

s s 1 1

 

= +

= + 2

s s

comb comb

s  

comb

−

X X

− N N

X X N N  

1 2

1 2 1 2

1 2

Si può sostituire la stima combinata della varianza ottenendo la seguente formula:

2comb

es: calcolare la S nell’esempio precedente con s = 1,63; N = 31; N =51

Ẍ1-Ẍ2 1 2

 

2 2

− + −

( N 1

) s ( N 1

) s 1 1

 

1 1 2 2

= +

s  

−

X X + −

N N 2 N N

1 2  

1 2 1 2

= =

s 0

,

08 0

, 28

−X

X 1 2

RIEPILOGO:

Per calcolare la stima della deviazione standard delle differenze, con varianze incognite e uguali è

necessario:

- calcolare la stima combinata della varianza, ossia la media ponderata per N della stima delle

varianze.

- “dividere la stima combinata della varianza per N ed N , sommare le due frazioni e calcolare la

1 2

radice quadrata” oppure “Moltiplicare la stima combinata della varianza per la somma di 1/N 1

+1/N , e calcolare la radice quadrata”

2

IL TEST T SULLA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE CAMPIONARIE

Il punto t si ottiene dividendo la differenza tra le medie dei due campioni per la stima della

calc

deviazione standard della differenza, ossia: −

X X

1 2

= =

t ca lc s −

X X

1 2

−

X X

1 2

=

t calc 2 2  

− + −

( N 1

) s ( N 1

) s 1 1

 

+

1 1 2 2  

+ −

N N 2 N N

 

1 2 1 2

DISTRIBUZIONE T DI STUDENT

I valori ottenuti dalla formula precedente non si distribuiscono secondo una D.N., ma secondo la

distribuzione t di Student.

I punti della distribuzione si chiamano t.

Esiste una distribuzione t diversa per ogni dimensione del campione: il valore critico, dunque,

varia al variare di N.

Sopra le 30 unità (N>30) le due distribuzioni si assomigliano, oltre le 100 sono pressoché identiche.

T CRITICO: I GRADI DI LIBERTÀ

I gradi di libertà indicano il numero di grandezze che possono variare liberamente. Le grandezze

considerate sono gli scarti dalla media (X-Ẍ).

Quanti sono i gradi di libertà relativi a 2 campioni, ossia quanti “scarti dalla media”, in totale, sono

liberi di variare?

CAMPIONE 1 CAMPIONE 2

SOGGETTI X X - 2 SOGGETTI X X - 4

1 1 - 1 1 2 - 2

2 1 - 1 2 2 - 2

3 2 0 3 4 0

4 3 1 4 4 0

5 3 ? 5 6 2

6 6 ?

Quanti sono i gradi di libertà?

DF=N -1+N -1 = N +N -2

1 2 1 2

In questo caso 5+6-2=9 t =?

cri

t =1,833 (monodirez); 2,262 (bidirez.)

cri

COMUNICAZIONE PASSIVA

Colui che utilizza uno stile comunicativo passivo tende a non prendere posizione e a non

manifestare apertamente il proprio dissenso per non essere giudicato male dagli altri.

Teme di esprimere il dissenso e ritiene che sia “meglio tacere”

Non necessariamente si fa influenzare, piuttosto evita il dibattito per non essere criticato

COMUNICAZIONE MANIPOLATORIA

Lo stile manipolatorio è una forma utilizzata per influenzare il comportamento degli altri in maniera

subdola, ovvero non esplicita.

Il manipolatore è un abile paroliere, molto razionale, che cerca di usare gli altri per i propri scopi,

evitando di esporsi in prima persona.

In situazioni di gruppo, influenza gli altri sulla decisione da prendere, ma lascia che siano gli altri

ad esporsi.

Ha molte informazioni, ma esprime solo ciò che va a proprio vantaggio.

COMUNICAZIONE AGGRESSIVA

Lo stile aggressivo è una forma di comunicazione utilizzata per influenzare il comportamento degli

altri attraverso l’uso della forza verbale.

L’aggressione è sempre esplicita e può avvenire in diversi modi: criticando apertamente l’altro,

parlando “sopra” l’altro senza ascoltarlo, mostrandosi deciso e autoritario, evitando il confronto.

COMUNICAZIONE ASSERTIVA

L’assertività è la competenza relazionale che permette di riconoscere le proprie emozioni, e i propri

bisogni e di comunicarli nel rispetto reciproco.

Il soggetto assertivo ha un atteggiamento positivo verso sé stesso e verso gli altri ed esprime i propri

bisogni nel rispetto di quelli altrui.

L’assertivo ha un’immagine positiva di sé, buone capacità di autocontrollo, di intervento nelle

situazioni critiche e di soluzione dei problemi.

TEST PER CAMPIONI APPAIATI

Due campioni si definiscono appaiati o dipendenti se tra i membri di ciascun campione sussiste una

relazione.

esempi:

- i casi di un campione sono sottoposti due volte allo stesso test, ad esempio per verificare

l’efficacia di una terapia

- vi è una relazione stretta, in genere di parentela (marito-moglie, genitori-figli, fratelli), tra i

membri dei due gruppi

CONFRONTO TRA MEDIE: CAMPIONI APPAIATI

es: Si vuole verificare che in famiglie con due figli, il fratello maggiore è più introverso del minore

SOGGETTI FRATELLO MAGGIORE FRATELLO MINORE

1 7 4

2 8 4

3 6 6

4 7 2

5 7 4

CALCOLO DELLA MEDIA DELLE DIFFERENZE (µ ) DELLA POPOLAZIONE

D

Poiché vi è una relazione diretta tra le coppie di punteggi di ciascun gruppo, non dobbiamo far

riferimento alle caratteristiche (µ e σ) delle due popolazioni da cui sono stati estratti i campioni, ma

piuttosto alla popolazione delle differenze.

La popolazione delle differenze è una popolazione teorica (ossia per essere “realmente” calcolata

sarebbe stato necessario estrarre infinite coppie di soggetti e calcolare la media delle differenze) che

si assume abbia media µ=0.

CALCOLO DELLA MEDIA DELLE DIFFERENZE DEL CAMPIONE (Ď)

La media delle differenze del campione può essere calcolata abbastanza facilmente:

SOGGETTI MAGGIORE MINORE DIFFERENZE

1 7 4 3

2 8 4 4

3 6 6 0

4 7 2 5

5 7 4 3

MEDIA 7 4 Ď= 3

- calcolando la media di ciascun campione e facendo la differenza tra le due medie.

- calcolando la differenza per ciascuna coppia di punteggi e successivamente la media.

La media delle differenze tra i punteggi dei campioni (Ď) deve essere confrontata con la media

delle differenze tra i punteggi delle popolazioni (µ =0).

D

Si assume che µ sia uguale a 0 poiché l’obiettivo del test di ipotesi è sempre quello di falsificare

D

H , ossia che la media delle differenze sia uguale a 0, cioè non c’è differenza (stesso ragionamento

0

dei campioni indipendenti).

Ipotesi:

H : non vi è differenza tra Ď e µ , ossia Ď = µ o Ď = 0

0 D D

H : Media dei figli maggiori>media figli minori

1

Quindi: Ď > µ o Ď > 0

D

STIMA DELLA VARIANZA DELLA POPOLAZIONE DELLA DIFFERENZA DEI PUNTEGGI

2D

(s ) 2

Essendo σ e σ della popolazione incognita (poiché la popolazione in questo caso è puramente

teorica) è necessario stimare la varianza della popolazione attraverso i punteggi delle differenze del

campione.

Bisogna pertanto dividere la devianza per N-1. ( )

∑ 2

−

D D

2 =

s D −

N 1

2D

CALCOLO DI s 2

D D - Ď (D – Ď)

3 0 0

4 1 1

0 - 3 9

5 2 4

3 0 0

Ď = 3 Ʃ(D-Ď) 2 = 14

Ʃ(D-Ď) 2 /(N-1)= s =14/4=3,5

D

CALCOLO DEL VALORE CALCOLATO

Essendo la varianza della popolazione incognita, nel caso di campioni appaiati si utilizza sempre il

2D

test t di Student. Avendo Ď, µ (sempre = 0), s ed N è possibile procedere con il calcolo di t :

D cal

µ

−

D D

= =

D

t t cal

cal 2

s 2

s

D D

N N

DISTRIBUZIONE t

CALCOLO DEL VALORE CRITICO E GdL

Il valore critico del test t dipende, oltre che dalle ipotesi, dai gradi di libertà.

GdL=? D D – 3

3 0

4 1

0 - 3

5 ?

3 0

Ď = 3 0

Trattandosi del confronto tra campione e popolazione gdl = N-1 µ

>

µ

= H : D

H : D 1 D

0 D t =2,132

(N-1)

µ

− −

D 3 0 3 3

= = = = =

D

t 3

,

57

calc 0

,

84

3

,

5 0

,

7

2

s D 5

N

Conclusioni: siccome t >t rifiuto H

cal cri 0

ANSIA

Definizione: stato di apprensione o tensione derivante dal presagio di un