Riassunto esame Psicometria, prof. Callea, libro consigliato Statistica per le scienze del comportamento, Welkowitz

Statistica inferenziale

Obiettivo: trarre conclusioni sull’intera popolazione a partire dai risultati ottenuti sul campione, generalizzando i risultati. Descrivere un campione specifico, infatti, non è molto utile ai fini della comprensione della realtà.

Rappresentatività

Per poter fare delle inferenze il campione deve essere rappresentativo, ossia deve “rispecchiare” le caratteristiche della popolazione. La statistica inferenziale in psicologia serve a confrontare campioni, testare l’efficacia di psicoterapie, interventi psicologici o corsi di formazione, studiare la relazione tra le variabili.

• Un campione di soggetti con disturbo ossessivo-compulsivo ha una media di Q.I. diversa rispetto alla popolazione di adulti?
• Vi è una differenza tra maschi e femmine circa gli “stili comunicativi”?
• La terapia cognitivo comportamentale è efficace per la cura di “pazienti bipolari”?

Le ipotesi vanno falsificate

Popper dice: scienza ≠ verità assoluta. I risultati scientifici non sono mai certi e definitivi, poiché chiunque può metterli in discussione in qualsiasi momento. Infatti, “una proposizione non può mai essere confermata empiricamente, ma solo falsificata”.

Non possiamo verificare che un campione di soggetti con disturbo ossessivo compulsivo ha una media di Q.I. diversa dalla popolazione di adulti “normali”, ma possiamo falsificare che le due medie siano uguali. La scienza avanza attraverso un processo di falsificazione dell’ipotesi nulla, che contiene lo stato dell’arte, contro l’ipotesi alternativa, che contiene la novità.

H₀: Ipotesi nulla, ciò che si intende rifiutare.
Soggetti con disturbo ossessivo e popolazione di adulti hanno la stessa media.

H₁: Ipotesi alternativa, ciò che non si intende rifiutare.
Soggetti con disturbo ossessivo e popolazione di adulti hanno una media diversa.

Media diversa (anomala)

Le medie devono essere significativamente, ossia statisticamente, diverse, cioè la loro differenza deve risultare anomala.

Media “anomala”: ha una bassa probabilità di risultare, ossia qualora si verifica si assume che il campione appartiene ad una popolazione differente. La soglia in psicologia è fissata con α = 0.05, ossia si considerano “anomali” i punteggi che hanno una probabilità di verificarsi inferiore al 5%.

Errori di tipo I e II

I risultati dei test inferenziali potrebbero non essere corretti a causa di caratteristiche specifiche del campione. Inoltre, la verifica delle ipotesi utilizza la probabilità: è dunque possibile commettere degli errori:

• α o errore di I tipo: si verifica quando si rifiuta H₀, mentre nella realtà è vera.
• β o errore di II tipo: si verifica quando si accetta H₀, mentre nella realtà è falsa.

Situazione della realtà

L'errore peggiore

Esempio: verificare che i soggetti con disturbo ossessivo compulsivo presentano una media diversa rispetto alla popolazione di adulti.

• H₀: Soggetti con disturbo ossessivo e popolazione di adulti hanno la stessa media.
• H₁: Soggetti con disturbo ossessivo e popolazione di adulti hanno una media diversa.

È peggio commettere un errore α poiché non si possono apportare modifiche a teorie o modelli esistenti, se non si è quasi certi, ossia se la probabilità di errore α non è bassa.

Come si può ridurre α? Aumentando β ⇒ α + β = 1; α = 1 - β
β è dunque chiamato intervallo di confidenza o potenza del test. La scienza dunque utilizza un’ottica conservativa.

Verificare le ipotesi

Per verificare le ipotesi è necessario trovare il punto z calcolato (associato al campione) e confrontarlo con il punto z critico. È sufficiente conoscere:

• La media della popolazione (μ)
• La deviazione standard delle medie (σ_X̅)
• La media del campione (X̅)
• La numerosità del campione (N)
• α (dipende dalle ipotesi)

Media della popolazione (μ)

La media della popolazione o distribuzione campionaria della media (μ), equivale alla forma della distribuzione della popolazione. È una distribuzione teorica, derivante dalla media delle medie di tutti campioni (con N uguale) estratti casualmente, un numero infinito di volte, dalla popolazione stessa.

Esempio: se si vuole calcolare la distribuzione campionaria della media relativa al Q.I. basta:

• Estrarre infiniti campioni, con N uguale
• Calcolare la media per ciascun campione
• Rappresentare graficamente le medie dei campioni (come fossero punteggi) su un poligono di frequenza.

Esempio: immaginiamo di aver somministrato il test del Q.I. su 60 campioni, aventi le medie:

Teorema del limite centrale

All’aumentare dell’ampiezza dei campioni, la distribuzione campionaria della media si avvicinerà sempre più a una D.N., indipendentemente dalla forma distributiva delle misure individuali nella popolazione originaria. Affinché una distribuzione campionaria assomigli ad un D.N., N (di ciascun campione) deve essere > 30 unità: più n è grande più il campione sarà rappresentativo della popolazione.

Deviazione standard delle medie (σ_X̅)

La Deviazione standard delle medie indica la variazione delle medie dei campioni dalla media della popolazione. È chiamata anche Errore standard della media poiché indica quanto le medie dei campioni si discostano dalla media della popolazione. Se risulta piccola, indica che le medie dei campioni sono tutte vicine e quindi la misura è accurata (ossia l’errore è piccolo).

Calcolo della DS delle medie

σ_X̅ = σ/√N

• σ è la D. S. nota della popolazione (e non del campione).
• N è la numerosità del campione.

NB: è molto raro poter calcolare σ noto della popolazione poiché risulta molto difficile poter estrarre un gran numero di campioni con N grande ed uguale.

Media del campione

La media del campione è la media aritmetica calcolata sul campione oggetto di studio. Ad esempio X̅ = 104.

NNumerosità del campione. Ad esempio N = 49.

Alpha

Alpha è la probabilità di errore fissata, solitamente, a 0,05. Esempio: un campione di soggetti (N=49) con disturbo ossessivo compulsivo ha ottenuto una media nel test sul Q.I. pari a 104; la popolazione di adulti presenta una media a 100 e una deviazione standard uguale a 16. Si ipotizza che la media del campione è diversa dalla media della popolazione, con α=0,05.

Svolgimento

1. Copio i dati della traccia: X̅=104, N=49, μ=100, σ=16, α=.05
2. Stabilisco le ipotesi H₀ e H₁:
   • H₀: Soggetti con disturbo ossessivo e popolazione di adulti hanno la stessa media.
   • H₁: Soggetti con disturbo ossessivo e popolazione di adulti hanno una media diversa.
3. Disegno il grafico con le relative ipotesi.
4. Trovo il valore Z critico (Z_cri).

Le ipotesi che un ricercatore può condurre possono essere di due tipi:

• Bidirezionali: se ipotizza una diversità, senza direzionalità.
  • H₀: μ = X̅
  • H₁: μ ≠ X̅
• Monodirezionali: se ipotizza la direzione della differenza.
  • H₀: μ = X̅
  • H₁: μ > X̅

Nel caso di ipotesi bidirezionale, il valore di α è relativo ad entrambe le code della distribuzione. Per ogni coda, dunque, sarà fissato il valore di α/2. Se α=0,05, il valore soglia fissato ad ogni coda è relativo a 0,025.

Nel caso di ipotesi monodirezionale, invece, il valore soglia di α è relativo soltanto ad una delle due code. Se α=0,05 bisogna cercare sulle tavole il valore che si lascia a destra o a sinistra il 5%.

Qual è il punto Z associato ad una ipotesi bidirezionale?

Con α=0,05 e ipotesi bidirezionale il punto Z critico è quello associato alla percentuale ricavata da 50-(α/2), ossia 50-2,5 = 47,5. Z_cri = ± 1,96; siccome è bidirezionale devo considerarlo sia col segno positivo, sia col segno negativo.

Trovo il valore Z_cal

Z_cal = (X̅ - μ) / (σ/√N)

A parità di differenza delle medie e della deviazione standard nota della popolazione, Z_cal dipende da N. In particolare all’aumentare di N (se gli altri valori sono costanti) aumenta il valore di Z_cal. Dunque al crescere di N aumentano le probabilità di rifiutare H₀.

Confronto il valore Z_cal con il valore Z_cri

-1,96 < 1,75 < 1,96

Prendo una decisione

Riporto Z_cal sul grafico e vedo se cade nella regione di accettazione o di rifiuto di H₀. Siccome -1,96 < 1,75 < 1,96 accetto H₀.

Commento il risultato

Non c’è differenza significativa tra il campione e la popolazione, ovvero i soggetti con disturbo ossessivo compulsivo non presentano una media diversa dalla popolazione rispetto al Q.I.

Uso di p per la verifica delle ipotesi

La verifica delle ipotesi può essere realizzata anche attraverso il confronto tra la probabilità (p) che si verifichi la media del campione (associata al punto Z_cal) e il valore di α critico.

• Accetto H₀ se p > α
• Rifiuto H₀ se p < α

Se l’ipotesi è bidirezionale bisogna considerare α/2=0.025 (2,5% per ogni coda) e confrontarlo con p.

Z_cal = 45,99% (1,75)
p = 50 - 45,99 = 4,01
4,01% > 2,5%
Accetto H₀: non c’è differenza significativa tra il campione e la popolazione.

Esempio

Il voto medio all’esame di psicometria è pari a 26 (σ=3); gli studenti, però, hanno sempre svolto l’esame seduti molto vicini. Si ipotizza che facendo svolgere l’esame in un aula più grande e separando gli studenti il voto medio sarà maggiore. Sono stati scelti casualmente 36 studenti, che hanno svolto l’esame in un aula più grande e hanno ottenuto una media pari a 27. Verificare che la media del campione sia maggiore di quella della popolazione.

• X̅ = 27
• N = 36
• μ = 26
• σ = 3
• α = .05

Z_cal = (27 - 26) / (3/√36) = 2

Conclusioni

Siccome Z_cal > Z_cri, rifiuto H₀. Il campione ha una media significativamente maggiore rispetto alla popolazione.