Riassunto esame Analisi dei dati, Prof. Rosato Rosalba, libro consigliato Statistica per le scienze del comportamento, Maggioli Editore (capitoli 8-21)., J. Welkowitz, B. Cohen, R. Ewen

Variabile aleatoria

Una variabile è una qualunque proprietà che può assumere stati diversi e che può essere rilevata o misurata. Esempio - nel gruppo classe chiedo di indicarmi il genere, per ciascun soggetto avrò un'informazione che sintetizzerò in una distribuzione di frequenza dove abbiamo le modalità della variabile da un lato (m; f) e affianco il numero di volte che ciascuna di quelle modalità si è verificata.

Variabile aleatoria

Parliamo di variabile aleatoria quando abbiamo di fronte una proprietà che varia e il cui esito è soggetto a incertezza! Se io utilizzo una determinata caratteristica e voglio conoscere la distribuzione di tale caratteristica, quando ho una variabile aleatoria io posso attribuire una probabilità a ciascun evento. Esempio - ho un dado e lo lancio. So che il dado ha 6 facce e prima ancora di condurre l'esperimento io so che ciascuna faccia ha una probabilità di verificarsi! Io conosco la regola che sta dietro a questa attribuzione di valore di probabilità, quindi io conosco la funzione di probabilità di tale variabile!

Nelle v. statistiche io prima conduco una indagine e poi conto quanti maschi e femmine, nelle v. aleatorie invece ho un risultato completamente dettato dal caso, l’esito è incerto e quindi io mi affido alla legge della probabilità per attribuire dei valori a ciascun esito!

Esempio - lancio due volte la mia moneta. Ho due lanci indipendenti, il risultato del mio esperimento non è più testa o croce, perché in ciascun esito avrò testa o croce. Quando io conto quante volte si verifica lo stesso evento in un esperimento aleatorio sto costruendo una variabile aleatoria! Anche se l’esperimento di per sé ha due esiti, se io lancio due volte la moneta, la variabile che io vado a costruire è X: {0,1,2}! Con 0 nessuna testa quindi croce e croce, con 1 quindi una testa, con 2 dove ho due teste e nessuna croce.

Si definisce quindi variabile aleatoria una funzione che associa ad ogni esito di un esperimento un numero reale.

Distribuzione di probabilità

Se io a ciascun valore della variabile aleatoria associo la probabilità che questo valore ha di realizzarsi costruisco così una distribuzione di probabilità. Quindi parto da un esperimento il cui esito è incerto, definisco la funzione che mi consente di costruire la variabile aleatoria [es. lancio due volte la moneta, la mia variabile aleatoria di interesse è quante volte è uscito testa], associo a ciascun valore che la v.a. assume una probabilità per costruire una distribuzione di probabilità, che è una funzione che sintetizza la relazione tra i valori della v.a. e la probabilità che questi valori hanno di realizzarsi.

Conoscere il tipo di distribuzione di probabilità consente al ricercatore di fare inferenze su quelli che sono gli esiti dell’esperimento, perché si possono conoscere valori quali il valore atteso e la varianza di quella distribuzione.

Sopra ci sono due diverse rappresentazioni di distribuzioni di probabilità nel caso di va discreta (con un numero finito di valori come il lancio di una moneta), e nel caso di va continua. Se io parto da una discreta, e conto quante volte è uscita testa in un esperimento Bernoulliano dove ho solo due possibili esiti (testa o croce), contare quante volte è uscito testa mi permette di costruire una variabile aleatoria che segue una distribuzione di probabilità binomiale, che posso produrre replicando tante volte un esperimento di tipo bernoulliano.

Approccio classico della probabilità e il principio delle probabilità totali

La p di un evento è data dal rapporto tra gli eventi favorevoli e gli eventi possibili.

Eventi possibili nel lancio di due monete:

• Croce - croce
• Testa - testa
• Croce - testa
• Testa - croce

Ho quattro eventi possibili.

Eventi favorevoli di ottenere testa:

• Testa - Testa (¼; 0.25)
• Croce - testa
• Testa - croce (2/4; 0.50)

Ma se il supporto della variabile è continua, e quindi la variabile può assumere un numero infinito di valori, come faccio a calcolare la probabilità di un evento? Non si può! Allora si ragiona per intervalli. Per un piccolo intervallo di quei valori posso calcolare la probabilità che ho io di ottenere un valore che ricade tra i due valori che delimitano l’intervallo.

La variabile aleatoria più comunemente utilizzata è quella normale. Si ha infatti l’aspettativa che molti fenomeni si distribuiscano secondo questa legge di probabilità con la forma a campana. Cosa significa avere un fenomeno che si distribuisce in questo modo? La nostra distribuzione di probabilità normale la possiamo rappresentare sotto forma di tabella, di grafico, ma anche di funzione matematica che ci dice come andare a determinare quel valore di probabilità associato a quei determinati punti.

Se la mia distribuzione di probabilità normale dipende da media e varianza, e io voglio calcolare le probabilità che alcuni valori hanno di verificarsi, io devo calcolare le probabilità associati ad eventi di interesse andando ad utilizzare la funzione di densità della distribuzione normale in cui metto media, varianza e valore di x.

Io devo integrare però questa funzione, e non è qualcosa di agevole! Allora cosa si fa? Poiché il valore della media e il valore della varianza condizionano il calcolo delle probabilità associate ai singoli valori, se noi ci mettiamo nella condizione di poter utilizzare una particolare distribuzione normale, che è quella standardizzata, possiamo risolvere i nostri problemi utilizzando le tavole di probabilità che si trovano al fondo dei testi di statistica.

QUINDI - i valori della distribuzione probabilità dipendono dai valori di media e dev. standard [perché nella funzione di densità sono gli unici due parametri oltre a x, il resto sono costanti], se io mi metto nella condizione di avere un valore di media e varianza già stabilito e fisso, quindi nel caso della standardizzata abbiamo media=0 e dev. standard=1 ecco che posso usare questa distribuzione di probabilità per fare inferenza sulle probabilità dei singoli valori della variabile che io voglio studiare!!

Come standardizzo una variabili:

• Operazione di centratura - trasformo la mia variabile che ha la sua media in una nuova variabile trasformata con media = 0. Per far assumere valore 0 alla media, prendo gli scarti dalla media (la somma degli scarti dalla media = 0)! Quindi prendo la mia variabile X, sottraggo la media e ottengo una variabile trasformata con media = 0!
• Operazione di uniformazione - Se io rapporto alla dev. standard questo scarto dalla media, avrò una variabile trasformata Z con media = 0 e dev. = 1, perché faccio assumere alla mia nuova variabile come unità di misura la varianza! Questo ci serve perché se noi siamo in queste condizioni e impariamo questa semplice trasformazione lineare possiamo poi utilizzare la distribuzione di probabilità normale standardizzata.

Ci concentreremo sulla variabile aleatoria normale e sulla sua distribuzione di probabilità, perché è il modello matematico più utilizzato nelle tecniche di analisi dei dati “standard”. Quindi la maggior parte dei fenomeni fisici e psicologici si distribuisce secondo la legge di probabilità normale, ma talvolta questo non accade e la distribuzione della variabile ha un andamento diverso dalla normale.

Distribuzione log normale

Esempio: Voglio studiare il numero di giorni di degenza in terapia intensiva per covid. Il numero di giornate di degenza NON è una variabile che si può distribuire come una normale, perché? Pensiamo alle giornate di degenza - quando parliamo di un fenomeno che si distribuisce normalmente pensiamo ad un fenomeno in cui i valori prossimi alla media hanno più probabilità di presentarsi, mentre valori più lontani hanno meno probabilità di presentarsi. È verosimile che la maggior parte delle persone abbiano un numero di giornate di degenza vicino alla media e poi ci sono pochissimi soggetti con valori molto bassi (pochissimi giorni) e pochissimi soggetti con degenze molto alte? È più probabile in realtà che la distribuzione sia asimmetrica!

La maggior parte delle persone si assesta a pochi giorni di ricovero, e poi ci sono persone che purtroppo si assestano a tanti giorni. I valori più prossimi allo 0 hanno quindi più probabilità di presentarsi. Parliamo quindi della distribuzione log normale.

Possiamo trovarci di fronte a due possibilità:

• Le caratteristiche hanno un andamento proprio
• Le caratteristiche hanno un andamento che può essere riportato a quello della normale a seguito di una serie di trasformazioni, e questo è il caso della log normale!

A seguito di trasformazione logaritmica, una variabile può assumere una tendenza normale. I vantaggi della trasformazione logaritmica per normalizzare i dati sono:

• Molte tecniche statistiche inferenziali si basano sull’assunto della distribuzione normale dei dati! Quindi possiamo evitare di usare modelli complessi quando la distribuzione non è normale, normalizzando i dati!

Lo svantaggio di trasformare una variabile che ha una sua scala originale in una variabile trasformata è quella di avere difficoltà poi ad interpretare i risultati, che dovranno essere sottoposti ad una trasformazione inversa! Quindi dovrò calcolare l'antilogaritmo per interpretare i risultati su scala originale. Inoltre, non possiamo calcolare il log di un numero negativo, e il log dello 0 è -infinito, quindi può causare problemi.

Variabile aleatoria Chi quadro

Deriva dalla somma di n variabili aleatorie normali standardizzate e indipendenti (importante quando parliamo di probabilità). v = gradi di libertà; v è l’unico parametro da cui dipende la distribuzione, quindi all’aumentare dei gdl la forma della distribuzione tende a riportarsi alla simmetrica!

Variabile aleatoria t di Student

Deriva dal rapporto tra una variabile aleatoria normale standardizzata e la radice di una variabile aleatoria Chi quadro fratto i suoi gdl. Anche t di Student dipende dal gdl, mentre la normale dipende da media e varianza. t di Student è una distribuzione simmetrica come la normale, ma tende ad essere più appiattita. Il grado di curtosi è la misura di appiattimento della curva, ed è il momento centrale di ordine quarto.

Una distribuzione normale ha un momento centrale di ordine quarto = 0. Quando la distribuzione è platicurtica, quindi più piatta il momento centrale di ordine quarto è > 0. Quando la distribuzione è leptocurtica il momento centrale di ordine quarto è < 0. All’aumentare dei gdl la distribuzione t di Student converge con la normale standardizzata. La distribuzione platicurtica ha una maggiore variabilità, quindi t di Student ha più variabilità rispetto alla normale, infatti è stata introdotta per i piccoli campioni perché quando aumenta il campione, aumentano i gdl, la distribuzione si avvicina alla normale e le code racchiudono minore probabilità per valori distanti dalla media.

La useremo nell’inferenza su una media quando il campione è piccolo e non conosco la variabilità infatti.

• Simmetrica, platicurtica [momento centrale di ordine quarto>0]
• Ha maggiore variabilità rispetto alla normale [è usata per campioni piccoli, infatti, perché quando i gdl aumentano, questa si avvicina alla normale e le code racchiudono meno probabilità per i valori distanti dalla media]
• All’aumentare dei gdl converge con la normale standardizzata
• La usiamo nella regressione lineare

Variabile aleatoria F di Fisher

È data dal rapporto tra due variabili aleatorie Chi quadro rapportate con i loro gdl. La F di Fisher quindi dipende dai gdl al numeratore e dai gdl al denominatore. Al variare quindi dei gdl al numeratore e al denominatore cambia la forma della distribuzione, e all’aumentare dei gdl la distribuzione tende a somigliare ad una normale standardizzata. In particolare se i gdl al numeratore e al denominatore valgono 100, questa distribuzione tende ad essere più simmetrica rispetto a gdl inferiori.

Introduzione all'inferenza statistica, alle tecniche di campionamento e alla distribuzione campionaria delle medie

Questi sono strumenti necessari all’applicazione delle tecniche che usiamo per fare inferenza. L’inferenza statistica è usata per fare induzioni su alcuni valori della popolazione per i quali noi non riusciamo ad intervistare tutta la popolazione per intero. Gli indici statistici di cui parliamo assumono il nome di parametri se riferiti all’intera popolazione (=insieme di tutte le unità che condividono una caratteristica e che rappresentano l’oggetto di studio. La popolazione può essere finita [es. tutti gli iscritti al corso di psicologia nell'anno 2020 a Torino], oppure infinita [es. tutti gli iscritti al corso di psicologia prendendo in considerazione studenti presenti, passati e futuri. Non posso in questo caso enumerare tutte le unità.]), mentre assumono il nome di statistiche campionarie se riferiti al campione (=è un sottoinsieme di n unità campionarie che andranno a costituire i nostri casi, selezionate dalla popolazione di partenza) estratto dalla popolazione.

• Parametri della popolazione; per questi utilizziamo le lettere greche
• Statistiche campionarie; per queste usiamo le lettere dell’alfabeto latino.

La tecnica che ci consente di estrarre le unità dalla popolazione è il campionamento. Affinché il campione estratto ci possa informare sulle caratteristiche della popolazione, il campione deve essere rappresentativo, deve rispecchiare il più fedelmente possibile le caratteristiche presenti nella popolazione. Una garanzia di questo è determinato dal metodo di estrazione, quindi se noi affidiamo al caso la scelta delle unità, questo è un elemento che tutela il ricercatore rispetto alla casualità e quindi alla garanzia di una maggiore rappresentatività. Abbiamo però due grossi filoni di tecniche di campionamento:

• Tecniche probabilistiche. Queste affidano al caso, alla teoria della probabilità, l’estrazione delle unità della popolazione per costituire il campione. È quello da utilizzare ogni volta che è possibile.
• Tecniche non probabilistiche. Sono scelte quando non è possibile applicare una tecnica probabilistica.

Campionamento casuale semplice [probabilistico]

Io dispongo di una lista completa di tutte le unità della popolazione. Ciascuna di queste unità ha la stessa probabilità nota e costante di essere estratta di tutte le altre. Ogni unità ha probabilità di 1/N!

• Con ripetizione - Io inserisco nuovamente nella popolazione l’unità appena estratta. La probabilità resta sempre di 1/N. Questo è il campionamento più corretto.
• Senza ripetizione - Non inserisco l’unità nella popolazione. Nella pratica questo è il metodo maggiormente utilizzato perché evito quella 1/N possibilità di estrarre nuovamente la medesima unità.

Quando noi selezioniamo le unità del campione vogliamo che siano tra loro indipendenti, in modo da avere misurazioni indipendenti tra di loro. Abbiamo in questo caso diverse probabilità, quindi abbiamo 1/N, 1/N-1, 1/N-2 e così via.

Campionamento sistematico [probabilistico]

Si affida al caso l’estrazione della prima unità, e poi tutte le altre vengono estratte con un passo costante di campionamento, che è il rapporto tra N numerosità complessiva della popolazione e n numerosità desiderata del campione.

Esempio - abbiamo la popolazione degli immatricolati a psicologia nel triennio 2018-2020. Abbiamo N=1230 studenti, siamo interessati a n=110 unità. In questo caso allora il passo di campionamento sarà k=N/n=11,2. Scelgo un’unità compresa tra 1 e 11, ad esempio soggetto 7, allora andrò a cadenza di 11 a scegliere le altre unità, quindi in questo caso la 18 e così via.

Campionamento stratificato [probabilistico]

Quando la popolazione è molto ampia e esistono caratteristiche che possono essere associate alla variabile che io voglio studiare, il campionamento più efficiente è questo. Io posso ottenere stime con la stessa precisione di un casuale semplice pur estraendo un numero minore di unità, perché io controllo a priori le caratteristiche che incidono sul fenomeno di interesse.

Si procede per passi:

1. Il ricercatore identifica le caratteristiche che secondo lui sono correlate o agiscono sul fenomeno di interesse. Esempio - genere, età, possono incidere sulla variabile che io voglio studiare. Quindi voglio studiare la qualità della vita in un campione di persone affette da sclerosi multipla. Nella popolazione la SM si distribuisce in maniera NON uniforme tra M e F, dove il 70% dei pazienti è di genere F, e il 30% di genere M. Tali variabili generano gli strati, e quindi creo queste due categorie.
2. Il ricercatore decide se costruire un campione proporzionale [dove la stessa composizione degli strati della popolazione sarà riprodotta nel campione, ad esempio creeremo un campione con il 70% F e il 30% M], oppure un campione non proporzionale con strati uniformi [50%M,50%F, sottodimensionando F e sovrastimando M].
3. Si estrae un campione da ogni strato con la procedura del campionamento casuale semplice.
4. Si uniscono i campioni provenienti dai singoli strati e l’analisi è compiuta su questo campione totale.

Esempio - voglio estrarre un campione di soggetti affetti da sclerosi multipla. N=1000, n=200 con frazione di campionamento f=200/1000