Riassunto esame Psicometria, prof. Callea, libro consigliato Statistica per le scienze del comportamento, Welkowitz

√N N

DOVE:

• 2

 X è la somma dei quadrati di ciascuna X

• 2

( X) è la somma delle X, successivamente elevate al quadrato

2

√1 ( fX)

[ ]

2

 =  fX –

√N N

DOVE:

• 2

 fX è la somma dei quadrati di ciascuna X moltiplicato per la frequenza

• 2

( fX) è la somma delle X moltiplicate per la frequenza, successivamente elevate al quadrato

2 2

X F (F  X) (X) FX

1 1 1 1 1

2 3 6 4 12

3 1 3 9 9

4 2 8 16 32

6 1 6 36 36

2

 fX: 24  fX : 90

2

√1 (24) √90 - 72

[ ]

 = 90 – = = √2,25 = 1,5

√8 8 √8

 e S

Se si vuole stimare la devianza standard della popolazione a partire dai punteggi del campione, è

necessario trovare la S, ossia la devianza standard stimata.

Il calcolo di S è del tutto identico a quello di , tranne per il fatto che in quanto stima è necessario

dividere per N – 1 piuttosto che per N.

N.B. S sarà SEMPRE maggiore di  2

√ (X – x)

S = √N – 1 2

√1 ( X)

[ ]

2

S =  X –

√N – 1 N

es: calcolare S sui seguenti Q.I. 2

X F (X – 100) F(X – 100) [F(X – 100)]

73 1 -27 -27 729

85 1 -15 -15 225

90 2 -10 -20 400

100 3 0 0 0

110 2 10 20 400

115 1 15 15 225

127 1 27 27 729

media: 100

729 + 729 + 225 + 225 + 400 + 400 = 2508

√2508 = √250,8 = 15,9

√10

Informazione di S sulla popolazione

S indica la percentuale di punteggi che si trova a una certa distanza dalla media:

MEDIA +/- comprende più del 68,3% dei valori

MEDIA +2/-2 comprende più del 95,4% dei valori

MEDIA +3/-3 comprende più del 99,7% dei valori

Il QI ha media 100 e  pari a 15, e:

il 68,3% dei soggetti si colloca tra l’85 e il 115

il 95,4% dei soggetti si colloca tra il 70 e il 130

il 99,4% dei soggetti si colloca tra il 55 e il 145

PROPRIETÀ:

- addizione e sottrazione: se si aggiunge o sottrae una costante K, il risultato sarà la SD originale (

rimane invariata) es: 1 2 3 media: 2  = √2/√3

aggiungendo K = 1 si avrà: 2 3 4 media: 3  = √2/√3

- moltiplicazione e divisione: se si moltiplica o divide per una variabile K, la nuova variazione sarà

uguale a quella originale per o diviso K

es: 1 2 3 media: 2  = √2/√3

aggiungendo K = 2 si avrà: 2 4 6 media: 4  = √8/√3

VARIANZA: è il quadrato della variazione standard. È un indice che descrive il campione e la

popolazione ma con un’unità di misura differente

2 2

-  e S sono molto utilizzati nella statistica inferenziale 2

 (X – x)

2

 = N 2

1 ( X)

[ ]

2 2

 =  X -

N N

2

 (X – x)

2

S = N 2

1 ( X)

[ ]

2 2

S =  X -

N N

CONFRONTO FRA DIVERSI SOGGETTI

Se X è su scala ordinale e si conosce solo la posizione ed N: percentile

Se X è su scala numerica: punti Z o standard

STANDARDIZZAZIONE

Serve a trasformare diversi punteggi sulla stessa scala di misura, dove l’unità di misura è la DS. I

“punti Z” o “punti standard” indicano di quante deviazioni standard i punteggi distano dalla media.

La trasformazione in punti Z non cambia la forma della distribuzione, nè la posizione dei punteggi:

cambia solo l’ UNITÀ DI MISURA

es: si calcolino i punti Z di queste due distribuzioni:

PSICOMETRIA: 18 18 24 26 29

PSICOBIOLOGIA: 24 28 29 29 30

P.METRIA: media: 23 DS: 4,38

P.BIOLOGIA: media: 28 DS: 2,10

X - x

formula: Z = 

PSICOMETRIA PSICOBIOLOGIA

Z 18 = -1,12 Z 24 = 1,90

Z 24 = 0,22 Z 28 = 0

Z 26 = 0,68 Z 29 = 0,48

Z 29 = 1,37 Z 30 = 0,95

è andato meglio lo studente che ha preso 26 in Psicometria perché Z >Z

26 29

PROPRIETÀ:

- la distribuzione dei punteggi standardizzati ha SEMPRE media: 0 e DS: 1

- aspetto fondamentale è il segno: ogni punto Z negativo indica che il punteggio è sotto la media,

uguale a 0 indica che il punteggio coincide con la media, positivo indica che il punteggio è

superiore alla media

- INTERPRETAZIONE: più grande è il punto Z migliore è il punteggio poiché il punteggio è molto

più grande della media

Indipendentemente dalla media o dalla DS, quanto un punteggio sia buono dipende dalla forma

della distribuzione.

PRINCIPALE DISTRIBUZIONE

- asimmetrica positiva

- asimmetrica negativa

- distribuzione normale ASIMMETRICA POSITIVA

X

18

18

20

22

30

moda: 18 mdn: 20 media: 21,6

moda mdn media

quando la moda è maggiore della media che è maggiore della mediana si parla di ASIMMETRICA

POSITIVA

ASIMMETRICA NEGATIVA X

18

19

25

30

30

moda: 30 mdn: 25 media: 24,4

media mdn moda

quando la media è minore della mediana che è minore della moda si parla di ASIMMETRICA

NEGATIVA

DISTRIBUZIONE NORMALE X

18

24

24

28

30

moda: 24 mdn: 24 media: 24

moda

media

mediana

Se si standardizzano tutti i punteggi della distribuzione, si ha la distribuzione normale

standardizzata che ha media 0 e DS 1

CARATTERISTICHE DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE

- la D.N. è teorica, “adattata” a distribuzioni di dati

- è possibile stimare le percentuali dei casi compresa tra -1 e 1 (68,26%), -2 e 2 (95,44%) e -3 e 3

(99,74%)  dalla media

- i parametri della D.N. sono media e 

- la D.N. STANDARDIZZATA ha media 0 e  1e consente di trasformare rapidamente i punteggi

ottenuti su scale differenti

TAVOLA DELLA DISTRIBUZIONE DEI PUNTI Z

Il punto Z è la distanza dalla X della media e indica se Z è molto grande, X è molto distante dalla

media (in termini positivi o negativi). Graficamente si intuisce che l’area compresa tra Z e la media,

aumenta all’aumentare di Z. Per conoscere qual è l’area associata al punto Z, cioè la percentuale di

soggetti tra la media e il punto considerato, si può usare la tavola dei punti Z.

es: per trovare l’area relativa ai punti Z = 0,68 e Z = 0,48 basta fare la differenza fra i due e

26 29

guardare sulla tavola che numero corrisponde il numero che ne risulta, moltiplicato poi per 100 per

individuare la percentuale di area che comprendono.

punti Z: 0,2517 0,2517  100 = 25,17%



PUNTEGGI NORMALIZZATI

I punti Z possono non essere immediatamente intuibili per i non esperti, in quanto presentano

punteggi negativi e decimali. Così sono state create scale che si ottengono moltiplicando i punti Z

per una costante e, dopo, sommando tale prodotto a un’altra costante.

K  (Z) + K (dove K è la DS e K la media della nuova distribuzione, cioè   X + x)

1 2 1 2

PUNTI T

T = 10  Z + 50 (ossia ha media = 50 e DS = 10) la distribuzione dei punti T sarà:

se la distribuzione dei punti Z è:

Z = - 1,14 (-1,14  10) + 50 T = 38,6

1 1

Z = - 1, 14 (-1,14  10) + 50 T = 38,6

2 2

Z = 0,22 (0,22  10) + 50 T = 52,2

3 3

Z = 0,68 (0,68  10) + 50 T = 56,8

4 4

Z = 1,37 (1,37  10) + 50 T = 63,7

5 5

PUNTEGGI DEL Q.I.

QI = 16  Z + 100 (ossia ha media = 100 e DS = 16)

se la distribuzione dei punti Z è: la distribuzione dei punti QI sarà:

Z = - 1,14 (-1,14  16) + 100 QI = 81,76

1 1

Z = - 1, 14 (-1,14  16) + 100 QI = 81,76

2 2

Z = 0,22 (0,22  16) + 100 QI = 103,52

3 3

Z = 0,68 (0,68  16) + 100 QI = 110,88

4 4

Z = 1,37 (1,37  16) + 100 QI = 121,92

5 5

DOMANDE PIÙ FREQUENTI

1) Quale percentuale della popolazione di adulti italiani otterrà un punteggio di QI compreso tra 100

e 120? (media: 100 DS: 16) 120 -

100

Z = = 1,25

16

Z: 1,25 = A: 39,44%

2) Quale percentuale della popolazione di adulti italiani otterrà un punteggio di QI compreso tra 90

e 100? (media: 100 DS: 16) 90 -

100

Z = = -0,62

16

Z: 0,62 = A: 23,24%

3) Quale percentuale della popolazione di adulti italiani otterrà un punteggio di QI compreso tra 95

e 110? (media: 100 DS: 16) 95 -

100

Z = = -0,31

16

110 - 100

Z = = 0,63

16

Z: 0,31 = A: 12,17% A = 12,17 + 23,57

= 35,74%

Z: 0,63 = A: 23,57%

4) Quale percentuale della popolazione di adulti italiani otterrà un punteggio di QI compreso tra 130

e 140? (media: 100 DS: 16) 130 -

100

Z = = 1,87

16

140 - 100

Z = = 2,5

16

Z: 1,87 = A: 46,93% A = 49,39 – 46,93

= 2,45%

Z: 2,5 = A: 49,38%

5) Quale percentuale della popolazione di adulti italiani otterrà un punteggio di QI maggiore di

135? (media: 100 DS: 16) 135 -

100

Z = = 2,19

16

Z: 2,19 = A: 48,57%

A = 50 – 48,57 = 1,43%

6) Qual è la probabilità che una persona estratta a caso dalla popolazione abbia punteggi di QI

corrispondente a 135? (media: 100 DS: 16) 135 -

100

Z = = 2,19

16

Z: 2,19 = A: 48,57%

A = 50 – 48,57 = 1,43%

1,43 : 100 = 0,0143 (1,5 ogni 100)

7) SOPRA quale punteggio del QI si colloca il 20% della popolazione? (media: 100 DS: 16)

A: 30% (circa) = Z: 0,84

(O,84  16) + 100 = 113,44 (113) QI

8) Quale punteggio del QI separa il 5% più basso dal 95% più alto della popolazione? (media: 100

DS: 16) A: 45% (circa) = Z: -1,64

(1,64  16) + 100 = 73,76 (74) QI

CONFRONTO FRA PUNTEGGI:

punteggio a un test di memoria: 9 (media: 7 DS: 0,5)

punteggio a un test di socievolezza: 13 (media: 9 DS: 2)

punteggio migliore?

Z : (9 – 7)/0,5 = 4

1

Z : (13 – 9)/2 = 2

2

quindi: è andata meglio la prima prova poiché il punteggio è più alto

es:

rispetto al test di ansia (media: 25 - DS: 5) calcolare:

- quale percentuale della popolazione otterrà un punteggio compreso tra 19 e 25

- quale percentuale della popolazione otterrà un punteggio compreso tra 16 e 27

- quale percentuale della popolazione otterrà un punteggio compreso tra 17 e 20

19 -

25

Z = = -1,2

5

Z: 1,2 = A: 38,49%

15 -

25

Z = = -1,8

5

27 - 25

Z = = 0,4

5

Z: -1,8 = A: 46,41% A = 46,41 + 15,54

= 61,95 %

Z: 0,4 = A: 15,54%

20 -

25

Z = = -1

5

17 - 25

Z = = -1,6

5

Z: 1,6 = A: 34,13 % A = 44,52 + 34,13

= 10,37%

Z: 1 = A: 44,52%

rispetto al test di depressione (media: 32 - DS: 2) calcolare:

- quale