Successioni, limiti di successioni, teoremi successioni

Notazione e successioni

(D)D (A-dominio # INnumerabileCon : ={ )}IN( ,Z OkD= notties no . .. . ..,. ,,NOTAZIONE INCOMUNE D=supponiamo:f- NEIN( ) ann := }{f- IN ⊕ ⊕di ane scrivere a→invece scrivesi: µnei f- INdi⊕ →Imagine :inLe successioni concretamente possono rappresentarecheoggetto temponelsi nuoveun ↓ dinamicosistemaun ↓ leutile disegnare' quindieprime posizioni 1-0,1-1,1-2a{ }CS 42Gnao☒N (c funzione )iniettiva. µ ••• •• •ne ⑦1 20f- ( ) nn : ={ }Ines cnein. AZ1 41a≥n } negativaVmuoveSi con••• •••f. lo^5 ^5 ZeroÈ Verso1ÈIn ◦ ⊕ .( 1) ≥n accumulan : Noto= che silo DXdaverso zero .funzione( )iniettiva{ } aGn 42do"1)CS C- Moto= periodico=} ⊕new. .• .101- Rimbalza )funzione ?( suriettivaLIMITE SUCCESSIONIDIDef { } ☒sia razionalean e successioneuna☐ne limitel dellaildiremo che 'le ⊕ successioneee ,simboliin h ho→line =L =Lan an seon

co→ /HE / llIN ND EC- an→>O n ≥ <-cioèHE / N l7 analiNED EE> ≥no <-cioèHE / E)N (7 l lNED Ean c-n> ≥ +o - ,↑ Edi semicupolaIntervallo S i n e m a)soglia temporale lsecondi alc'n ' attornonumeroune dell' intervallovaloriquale i accumularesi advannocioè } ns.nc/l-E,ltEfan )V-E /3- NEDo> N dan dicerto istante≥ un tutti( ) poitempo N in☒ dentroi i '•• • stannovalorii1- ltlE an Eao a E)(, l-E.ltl' intervallo -lt E •- ° )( °ann ,• • ④@ • ° •1- • ; :◦→ •--_ -_ .a o ." • • °I •. Il E - v- della• successionevalorii|• • accumulanoChe si1 la • •? E attorno tettaallaIN◦ n N n )(orizzontale asintoto?⃝?⃝ Successioni costanti1es . . fissato la⊕ allora successionesia costanteC E ,{ cinema )IN(⊕ canean =ha binlimite C Cc : =esn t→1 aµ ⊕E EC (c- an +=ECt

accumulano limite solo Graz siao[ •@ o•_ • •ao ma proprio sulla stannotettaEC- _0 1{ }I2es ☒•. .≥n candidatoil'e .↑accumulano 0Si verso 'e,facile vederedaAr maan nonAsan ,1 i' cosi' voltetutte 'ele}? :◦ .Per fondo? Bisognadegli di dalvale enunciati prima →quali n partireuno .71=0Ipotesi E cerchiamoSia 1qualiper n ≥> eo1- ltE Ean< < lsostituisco conoÈ .£ eE <- £l'dopoIn EE < istante<- ↓§ 1→ nn >< E/ hoIN £ che(E)(E) Nse scelgo ≥N E In§(E)N En ≥ E≥ <<- :IL / E-0 <es line dimostriamoI 1 tende 1che≠ non a. .+ •n → ( )1I• r? 1=1§◦ E' (+ fisso E)E1- E)¢ (1 fuSe anE E 11- + ≥ ≥< ,aPer liman l chedimostrare che devo≠ mostrare logica/ E)3- IN la¢ (N lt/ lNCE(E)E In nego tutta stringa) Ec- ≥> ano - ,§ bin1CS ")C- dimostriamo limiteche^ il esiste. noncoN +→ dispari

parin anan n = la vale +1 'successione -1 puonon> oi 1 o ti ii ,1<1 ll ^n 0 > leil 1<1- essere 1 -1> <oe ,1=1 infiniti?potrebbe sebbene 1 per'essere 'perche valori✗ e mano → infiniti conseguenzadivaloriAltri scelta -1a ,lavale condizionenon ↓Stessa -1cosa perlequindi ⊕nessun limiteesserepuò↓ )☒ "lui C- ^ laco+n → successione non converge .dinamicoIl 'esistema caotica- tua 1)dell'(prendo solo quellaesse una parte .converge .PROPRIETA ⊕dei limiti' di successioni in1 7 =Llieu alloraanSe l' unico. .{ } limitata2 limite liu3-Se an 'alloracioe'Convergean Annette 'nc ' cioeecioe. ,{ } ⊕Un limitato' insiemee un in .µne( lieulieu)line bn )3. limiti (anbn =3questian se esistonot+ = n lese successioni nonlimitatesono non(( ( ))) lieulieu l'bn4 in bn (7)limitiseanan questi convergonoesistono- .= al' 1,175 in AnniFn bn ≠ ◦e=. n ,DIM lieuli1

Supponiamo che an=la lieu an *= valore casoa→/ / la / infinitamente(E)* (E)TE E-Nn E3- 'Nn piccoloan≥n < eo> - // ln 2) significa tende'E chean </ -In / Ela3-V-E (E)(E)* anNa <Nz≥o> a- non ∅.distanzafisso Z alE piùsempre vicino'0 sara> toglieaggiunge eTanta ( // // ))/ (la/la TRIANGOLAREla la DISUGUAGLIANZAln ln ≤+an an --- - == // /ln / /// la ln / E.≤ la E Ean anan 2an <+ + +-- -- = =(E)Nnse ≥n (E)Na≥se n )( (E) )quindi NZCENn .quindiMaxsee ≥n , 11=12la/ /¥ ln lato/ liE E2<> o - - ↓↓↓Similmente cosiE ilpiccolo che numeroEE possono2 o> solo →>o → Edi 'piccolonumero70 puo+sieguaglia ' essere solo ∅ .2 Supponiamo lineman =L7che /Scegliamo (E)E allora 7 N> 0 , E)lt((E)N lh ≥ an Ee - ,fanfan } {} "" " }anu= no )n ≥0nne =/ ↑ ↑( limitato limitato 'poiche' 'e e E)ltfinito ( l Epoiche ' compreso in - ,

(E)↳ NNCE dopo) PuntiPunti diprima> In È% •≥ . .., )NCE {-1 }}{ "an "no (c)nonNk )ln lÉÀÈÈ( ) 1^+12line3 bn il laan dellalimite++ 'sauna saunae== ^ limiti^ dei .,_ che esistanoSupponiamo dalle ipotesi→/ }// 11(E)(E)( V-E deiE3- an <≥ NnNn ≥o esistenza> no -* limitidue/ // -12bn(E)(E)y EIN <e ≥ Na≥o> n ↳o ①≥ dinvedi .Abbiamo : )/=/( (// ) ) ) ( la( bnlala ln ≤ disuguaglianzabn an +≤◦ +an + --- triangolare/ /// laln bn≤ 21tean + < <-- ee (E)((E) (E)N Nase n ≥ NnMax: = , neme *(( ( ))) lieuliam l'bn li4 -12in bnanan ipotesidalle- . supponiamo= → che esistano=lzlievi bnSupponiamo lunari ln le ipotesiquindi valganoe== ,ÈÉÉÉeÈn " "alii ° hain libri'an - toltoaggiunto /e /an.bn-ln.la/ /→ // // (Ebr )(libri) la( lala bn≤◦ +≤ an+an -- -- =[ = -infinitesimaE differenza 2)12bn = disuguaglianza/

triangolare

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lala la bnbnan &le;t- -.- deimodo della Zeuoduiidonna= 'ioun minoree&asymp;&Eacute;