Successioni e serie di funzioni

La serie di funzioni

Dato il termine generale della serie di funzioni f, si considerano le somme parziali S_n definite come:

S_n = f₁ + f₂ + f₃ + ... + f_n

Si dice che la serie è convergente puntualmente se per ogni punto x del dominio A la successione delle somme parziali converge, cioè:

lim_n→∞ S_n(x) = S(x)

Si dice che la serie è convergente uniformemente se la successione delle somme parziali converge uniformemente, cioè:

lim_n→∞ sup|S_n(x) - S(x)| = 0

Il resto della serie, indicato con R_n, è definito come:

R_n = f - S_n

Si dice che la serie è uniformemente convergente se il resto tende a zero uniformemente, cioè:

lim_n→∞ sup|R_n(x)| = 0

Il criterio del resto per la convergenza di una serie è dato dalla seguente condizione:

Se esiste una serie numerica C tale che per ogni n si abbia |R_n(x)| ≤ C|x - a|^p per ogni x in A, allora la serie è uniformemente convergente.

ta Ino da3 SerieComu assoluta dei modulifin fenceSec Conti assolutamente Convenga4 Conti fuTOTALE Èfin totalmente finche seConti ConvergeTeorema UnfConnSe Conn Totalserie convergeuna Conti AssWeierstrassCriterio di È.mn tooSe temposa totalmentef e contiticconvergente e metn.tkMmInca E talvoltaNn il funNota esserepotrebbeEsempioE 1 studiare1 o lain convergenzanei ritmiMme il supconproviamo tooE1 1sup i convergem2 maXE tua neOita totComu umiliconmiE t.it sine2 nrnei toomi Eitc I1sup contisine m2ml ml iX mtotComu conunif ton inVenisil che toolun'f o3 AComu aMel Xin 00n ECsup il lI dirTEA nm neimcriterio restodelilusiamo teorema E sai allorase la ConnSch Smu fntE leiVale solo serie numerosipersegni alterniconRnai 1Sai Snk IE E rititinti1Rna 1Innatifin finE e mt ihtt f delconfronto 0 0Rm Cei contioTeoremi sulle di funzioniserieTeorema Sanadellasulla continuità1 fnlxiiac.IR IRsia èfeci incontinua Atotn'È faifaise unicofnA se continuain eteorema

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attilet r e1 a è Formula dimi Stirlingex nnnel mmineaE ve dirne too I e eÈ I'è finita3 fin 2 tolet I 2 0r a inSoloComutoo n1miEa n nnei mti f xXXI1 a nE t en fin mentimai aEt.is mai continonneiO né con per cifilm tine LI Va toÈ È Isi t.az5 In mX 3 2 lae traii e 5 i00 È ITE6 t.usne m2 300E itI fa mnei mate ilclei i2 1cof E I contiL m2nel too Ete E fai ai contim2 mlneinel la ComuOsscomu 3E 51 1I ie e Fx37L BI EÈ È lett te eOOn È t 1 Tneo 1Sai 1se nel i ex1 lui EcoEil I odellaRaggio derivatedi serieconvergenzateoremi hadiOgni Serie potenzelo stesso delladiraggio convergenzaderivatasua seriateorema sullateorema derivataintdesii seriee2 tooEfai conse con r omio uèf chederivabile risultaea èfai E11 nonnel È FIfai di an2Sono particolari fai caroteneinVogliono1 seriesviluppare to t 11ki cons tItil nei 1teponiamo okC n okOÈ xrndxc.inautoma 1 ao I2MtE canatema il in seriesviluppoI2MtMeocoE 12

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