Successioni e serie

Il teorema della segnopermanente

Il teorema della segnopermanente si verifica quando il valore di una funzione rimane costante nel tempo. Questo fenomeno accade solamente quando il teorema del confronto viene applicato correttamente.

La dimostrazione del teorema si basa sull'ipotesi che la funzione sia limitata e continua. Se una funzione soddisfa queste condizioni, allora si può calcolare il limite della funzione e determinare se è costante o meno.

Le operazioni sui successioni sono fondamentali per dimostrare il teorema. Utilizzando le proprietà delle successioni, è possibile stabilire se una funzione è costante o varia nel tempo.

Il teorema della segnopermanente è molto utile nella teoria dei carabinieri, in quanto permette di calcolare il valore di una funzione in un determinato punto.

È importante sottolineare che il teorema della segnopermanente si applica solamente a funzioni che sono limitate e continue.

Riletti la serie Numericasia una successione. La serie è numerica e la somma dei termini è infinita. Consideriamo una seconda successione delle somme parziali. Se Sn è la somma parziale del termine n, allora Sn = S(n-1) + an. Il dato dal valore limite della serie è Smlimite. Se la serie converge, allora S è il suo limite. Se la serie diverge positivamente, allora S è +∞. Se la serie diverge negativamente, allora S è -∞. Se la serie è indeterminata, allora S è una serie resto. Una serie è chiamata geometrica se la ragione q è costante. La serie diverge positivamente se |q| > 1 e diverge negativamente se |q| < 1. Se |q| = 1, allora la serie è indeterminata. Serie di Mongolio: 1 + InE + niente + mentimai + E + ftp.tftti + tK + ttf + SE + f + ee + Telescopica. Serie, il termine può essere scritto come la differenza di due termini.

successivi successioneè be benebn tanti linil èsefinto la serie èConvergentediCriteri Convergenza Eonè cono affinanede il linon oconvengacriterioµ È.amla alloraSe serie Convergelim lnconil on 0 70mito Condizione necessaria nonmaSufficienteµ si B èan infinitesimoconvergeèciò contornominaleaequivalentelinen 5Ato non convergeinDimostrazione 5Per deip convergesappianofigo ftp.olntian Smulinea Smfinim sto sali Sef S S5poiche oe convergeteÈ dOn0mi Ghz eo vEs l È IIIDet il carattereftp.T la contromossa.depereÈ è divergenteIIIDimostrazioni Centro nominale àcasiniÈ Se SeOn 011 02rSi S snse Snaice c cessendo crescenteparticolauna secessioneesiste limiteil Su sul tosupline Pertanto diverse de v065 èConsiderando la Bnominalesolo ilcondizione pertanto seuna necessaria direnulla sulsi puòfini oconcarattere fàhaasinità oCGdimostrasidivengaÈ fin InSi

chiediamo di mostrare se la serie cento a negativi è convergente o divergente.

Dimostrazione:

Sia Sn la somma dei primi n termini della serie.

Poiché la serie è crescente, possiamo utilizzare il criterio del rapporto di d'Alembert.

Se il limite del rapporto è minore di 1, allora la serie converge.

Se il limite del rapporto è maggiore di 1, allora la serie diverge.

Se il limite del rapporto è uguale a 1, il criterio non fornisce informazioni.

Quindi, dobbiamo calcolare il limite del rapporto:

limite quando n tende a infinito di (Sn+1 / Sn)

Se il limite è minore di 1, allora la serie converge.

Se il limite è maggiore di 1, allora la serie diverge.

Se il limite è uguale a 1, il criterio non fornisce informazioni.

È utile utilizzare il fattoriale quando la radice del criterio di Cauchy non esiste.

Se converge, allora la serie converge per ogni n.

Se diverge, allora la serie diverge per ogni n.

Proviamo con n = 3:

limite quando n tende a infinito di (Sn+1 / Sn) = limite quando n tende a infinito di (3n / 2n) = 3/2

Il limite è minore di 1, quindi la serie converge.

Quindi, la serie cento a negativi è convergente.

carattere radice serie seguente

too naE nnei2Iiiein dobbiamocasoin trasformaquestoil forma piùinfattoriale unaOgevole mdiFormula fSTIRLING nerilinfa fa einenei za Hootlim Me 0lL 0lun 0e enÈ causafàe ce InÈ Ian fafare converge90 criterio del confronto alloraSe di ben ValgaE0 On esupponiamole implicazioniseguentimaggiorenteE E11 ben anconverge ConvergeminoranzaE E2 bendivergean etato diversesolo versoquestoDimostrazione siSionFnbmone e sisili lie f del cafsina.tnsiSe li fintoutilizzare introduciamoPer criterioNotai equestole Serie armonica generalizzataeaseconverseÈ1 sediverse a Eltao a pse aconverse ee ioE jump2 ma Ddiverge sene dai pt I0TÈdiA studiare cogentcarattereilas de COSÌScoppio E fa naÈÈ I cosiconverge converge121 E unNn I mln mabenfan 2E 1 1e mamlne0 ConKesaa 1E ConvergeTeminei asintotica50 criterio confrontodel terniCondata bn negativiae nonse In ilineeE Eben Leno stessolo caratterean eo team 0m70esci nE _3hnM

beneteamam in Lanmia_ EE ftp.I convergeconvergelmatoo el2 E 4Mnei i14ns ÈÈ ÈIn converseconverseInItfEnei cultitnt httfin linelo 1È n'È diversaf sedel criterio del confrontoGeneralizzazione asintoticaE tonlaconsiderisi n nserie aneotooE bnla tSerie Strettata positivie ame odesi limiteesiste ilsupponga lin egenl stessolek1 carattereSe 0 bnOn toEIbm conanSe lo è comue2 se neotEon è dir E divese cono Mao E2am benselatoSe3 comeconiie e 2Ibm dindir amèseDimostrazione eruttanoTipeV'E3 lettlinea1 peoelce19ambn bnltee caneE EIbmSe anconverge convergeEIbnSe divergecondivergel2 Se EOra co bnEbuon a EIbmse anconverge convergebnESonSe divergedivergeVM 7pm kmlato eat3 Mse pm granMbm ane E benE onse converge convergeEE ben onse diversediverseDimostrazione SERIE ARMONICHE generalizzataÈÈ MengadiserieinfamiiConverge tocriterio delPer confronto asintotiil f convergeEMaiao con azzE mamai per delil confrontocrie È

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