Successioni e limiti di successioni

Successioni e serie

Successioni:

• Definizione di successione
• Definizione di limite

Consideriamo l'insieme N degli interi non negativi ordinato secondo l'ordine naturale

N: 0, 1, 2, 3, ..., n, ...

Questa è un esempio di successione

Una successione è una legge matematica che associa ad ogni numero n ∈ N un numero a_n ∈ R

Esempio:

1. n → n³ con n > 0
   • 1 → 1
   • 2 → 8
   • 3 → 27
   • 4 → n³
   • 5 → m²

Un modo per visualizzare le successioni è nel piano

2. n → (-1)ⁿ
   • 1 → -1
   • 2 → 1
   • 3 → -1
   • 4 → 1
   • 5 → (-1)^m
3. n → (2)^1/n con n > 1
   • 1 → 2
   • 2 → (2)^1/2 = √2
   • 3 → (2)^1/3 = ³√2
   • 4 → (2)^1/4 = &sup4;√2
4. n → 1 con n > 4
   • 1 → 1
   • 2 → 1
   • 3 → 1
5. n → 1/n² con n > 2
   • 1 → m → 1
   • 2 → ½
   • 3 → ⅓
   • 4 → ¼
   • 5 → ⅕
6. n → 3 con n > 0

È una successione costante

Una successione è nota se è nota la legge n → a_n anche {a_n, n ∈ N, n > 0}

Legge che lega ad ogni n il valore a_n

Successioni e serie

Successioni:

• Definizione di successione
• Definizione di limite

Consideriamo l’insieme N degli interi non negativi ordinato secondo l’ordine naturale N: 0, 1, 2, 3, …, m, …Questo è un esempio di successione:

Una successione è una legge matematica che associa ad ogni numero n ∈ N un numero a_n ∈ R

Esempi:

1. n → n² con n > 0

1. 1 → 1
2. 2 → 4
3. 3 → 9
4. n → n²

Un modo per visualizzare le successioni è nel piano

1. n→ (-1)ⁿ

1. 1 → -1
2. 2 → 1
3. 3 → -1
4. 4 → 1
5. n → (-1)ⁿ

1. n → (2)^1/n n > 1

1. 1 → 2
2. 2 → (2)^1/2 = √2
3. 3 → (2)^1/3 = ³√₂
4. n → (2)^1/n

1. n→ 1 n > 4

1. 1 → 1
2. 2 → 1
3. 3 → 1

1. n → m_n+1 / m n > 2

1. 1 → 1
2. 2 → 2
3. 3 → 3
4. 4 → 5

1. n → 3 n > 0 è una successione costante

1. 1 → 3
2. 2 → 3

Una successione è nota se è nota la legge: n → a_n anche {a_n} n ∈ N, m > 0 legge che lega ad ogni n il valore a_n

ESEMPI PARTICOLARI DI SUCCESSIONI:

• Successione geometrica Progressione geometrica di "ragione" q: qⁿ

Esempi:

• 5 · 2ⁿ successione geometrica di ragione 2
• 4/3 · (1/2)ⁿ successione geometrica di ragione 1/2
• ³/3 successione geometrica di ragione ¹/3

• Successione di Fibonacci

a₀ = 0

a₁ = 1

a₂ = a₀ + a₁

a₃ = a₁ + a₂

a₄ = a₂ + a₃

a_n = a_n-2 + a_n-1

0,4,1,2,3,5,8,13,24,34...

DEFINIZIONE:

Una successione {a_n} si dice:

• limitata inferiormente se esiste m | a_n ≥ m _m ∈ R
• limitata superiormente se esiste M | a_n ≤ M _m ∈ R
• limitata se esistono m ed M | m ≤ a_n ≤ M _{∀ n ∈ N}

ESEMPIO:

• {(-1)ⁿ} m = -1, M = 1 è limitata
• {³/_n} m = 0 è limitata inferiormente
• {¹/_n} È limitata

Una successione {a_n} possiede una certa proprietà definitivamente se esiste un numero N tale che questa proprietà risulta vera per ogni n ≥ N

ESEMPIO: