Successioni

LE SUCCESSIONI

= Sequenza ordinata di elementi

DEFINIZIONE

DEF. Una successione numerica è una funzione:s:ℕ→ℝn → f(n) = a_n tipo di recessione definisce R codominioIm(s) = {a_n}_n≥0 = {a_n}

NOTAZIONE

Una successione numerica si indica {a_n}_n≥0oppure1) {a_n} 2) {a_n}3) {a_n}

tutto in un unico graffio, chiama successione con ℂ→ℕ

Esempio

1) {3} n∈ℕ Successione costante2) {n} Successione identità3) {n, n + x}4) {1/n, -1/n + 1}

Esempio: a_n = 1/n → {1, 1/2, 1/3, ...}

Visualizzazione

1) Tracciareq₁ q₂0 1 2 3 4 5 6 7a_∞

LE SUCCESSIONI

DEFINIZIONE.

DEF. Una successione numerica è una funzione

Im(f) = {aₙ}ₙ∈ℕ₀ = {aₙ}

NOTAZIONE.

Una successione numerica si indica {aₙ}ₙ∈ℕ oppure

• aₙ|n∈ℕ
• {aₙ}
• {aₙ}

ESPMPIO.

1. {3}ₙ∈ℕ Successione costante
2. {n⁴} Successione identitate (0, 1, 2, ...)
3. {n, 2 + n²}
4. {1/n !, -1/n+4}

Esempio: aₙ=1/n => 1, 1/2, 1/3, ...

VISUALIZZAZIONE

INDICI

2^a modo

a_n =  (−1)ⁿ / n

a₁ = −1a₂ = −1/2a₃ = −1/3

Definizione di limite.

DEF. Diciamo che posso quantificare e mi metto un intorno di 0.Prima 0poi tutti gli a_n stanno qui dentro

Diremo che

lim_n→+∞ a_n = a ,  a ∈ ℜ

(scrivo a_n→a)

Se  ∀ ε>0  ∃ N ∈ ℕ  t.c. n≥N

|a_n−a|<ε

Spiegazione

−ε < a_n−a < ε  quindia−ε < a_n < a+ε

Verifica che:

lim_n→+∞ ¹/_n = 0

Usando la def. lim a_n = a. |a_n - a| < ε

dico che |¹/_n| < ε

¹/_n < ε n > ¹/_ε

e perciò scelgo N = ¹/_ε.

Ho verificato che per ogni ε > 0, esiste N = ¹/_ε (n ≥ N) per cui |a_n - a| = ¹/_n < ε

(2)

lim_n→+∞ ^{n - i}/_n =

|^{n - i}/_n|

|ⁿ/_n - ¹/_ε| < ε

¹/_n < ε n > ¹/_ε e scelgo N = ¹/_ε

(3)

lim_n→+∞ ¹/_n + i = i

|¹/_n - i| < ε

¹/_n < ε e paragono un - | -( ¹/_n + i) | < ε

¹/_n < ε + i

n > ¹/_ε + x

Verificato, b è grande ( ε = 1), b² è piccolo ( ε = i/2) ho verificato detto n ε Z

Limite Finito di una Successione

Idea Generale

Avendo una successione, identifichiamo tutti:

Diciamo che una successione <a_n> tende ad a 0 ∈ ℝ, se per ogni intorno aperto (intorno) contenente a₀, tutti i termini della successione <a_n>, a partire da un certo N, vi saranno contenuti.

Quando disegna

• Si sceglie ε perché da a₃ ci siamo dentro (questo è un certo N in poi ci siamo).
• Se un intorno è troppo grande si prende uno più piccolo di un certo termine tutti, numeri a sezioni dentro (magari i primi no).

Definizione

DEF.

lim_{n → +∞} a_n = a₀

Si intende con n → +∞ dove a successione è in

Questo simbolo fa senso se :

1. ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ \forall n > N
2. a_n ∈ a₀ - ε, a₀ + ε
3. a_n ∈ I ε Equivalente

Esempio (con idee)

1. a_n = 1/n n ∈ ℕ - {0}

Sia ε > 0, e vero che ∃ N ∈ ℕ t.c. n > N allora :

1. lim_{n → +∞} 1/n = 0

|¹/_n - 0| < ε ?

Sì, infatti ¹/_n < ε <=> n > ¹/_ε

Definizione ©.

DEF. Sia ∀ε>0 ∃n>0 t.c. ∀n>N, |a