Studio di funzione - Come procedere

Studio di Funzione

Dominio:

• Denominatori ≠ 0
• Radici di indice pari ≥ 0
• Logaritmi > 0
• [f(x)]^g(x) → f(x) > 0

Intersezioni con gli Assi:

• y = f(x) (asse y)
  • x = 0 (se appartenente a dom.)
• y = f(x) (asse x)
  • y = 0

Simmetrie e Periodicità:

• Pari: f(x) = f(x)⇒ Simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
• Dispari: f(-x) = -f(x) ⇒ Simmetrico rispetto all’origine.
• Né pari né dispari: altro ⇒ Potrebbero esserci altri tipi di simmetrie.

NB. Cerco simmetrie pari/dispari solo se il dominio è simmetrico rispetto a x = 0.

• D (x ± t) - - - (x - t ∪ x + t) - - -

Periodica: f(x + T) = f(x) ⇒ Si ripete uguale dopo ogni periodo T.

Asintoti Verticali e Orizzontali:

• Asintoti Verticali
  • lim_x→a^- f(x) = ±∞ Sinistro
  • lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ Destro
• Asintoti Orizzontali
  • lim_x→+∞ f(x) = l Destro
  • lim_x→-∞ f(x) = l Sinistro

Possono esistere infiniti asintoti verticali - - -

Possono esistere solo 2 asintoti orizzontali e intersecabili infinite volte.

Studio di Funzione

Dominio:

• - Denominatori ≠ 0
• - Radici di indice pari ≥ 0
• - Logaritmi > 0
• - f(x) ≥ 0

Intersezioni con gli assi:

y = f(x)

• x = 0 (asse y, se appartenente a dom.)
• y = 0 (asse x)

Simmetrie e periodicità:

• - Pari: f(x) = f(-x) ⇒ simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
• - Dispari: f(-x) = -f(x) ⇒ simmetrico rispetto all'origine.
• - Né pari né dispari: altro ⇒ potrebbero esserci altri tipi di simmetrie.

NB: Cerco simmetrie pari/dispari solo se il dominio è simmetrico rispetto a x=0 ⇒ x ± 2 - x − 1 ∪ x ≥ 1

- Periodica: f(x+T) = f(x) ⇒ si ripete uguale dopo ogni periodo T.

Asintoti Verticale e Orizzontali:

Verticale:

• lim_x→a− f(x) = ±∞ sinistro
• lim_x→a+ f(x) = ±∞ destro

Orizzontale:

• lim_x→∞ f(x) = l destro
• lim_x→−∞ f(x) = l sinistro

Possono esistere solo 2 asintoti orizzontali e intersecabili infinite volte.

ASINTOTI OBLIQUI:

lim_{x → ± ∞} { f(x) - mx - q } = 0.

INTERSEZIONI:

• y = f(x)
• y = mx + q

COME TROVARLO:

m = lim_{x → ± ∞} f(x) / x

• SE m ∈ ℝ e
• SE m ≠ 0

q = lim_{x → ± ∞} [f(x) - mx]

• SE q ∈ ℝ

y = mx + qÈ ASINTO OBLIOQUO.

NB. Nel caso di funzioni razionali, esiste l'asintoto obliquo solo se il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore.

SE f(x) → ∞ per x → ∞ per il limite di m si può tentare l'Hôpital.

m = lim_{x → ± ∞} f(x) / x = lim_{x → ± ∞} f'(x) / 1 = lim_{x → ± ∞} f'(x).

CURVE ASINTOTICHE:

y = (x³ + 2x² + 7x + 4) / x = x² + 2x + 3 + (4/x)

PARABOLA ASINTOTICA.