Studi di funzioni intere svolti passo passo

1.2 Esercizio 2

f(x) = 4x³ + 2x²

1. DOMINIO: D = ℝ
2. SIMMETRIE: f(-x) = -4x³ + 2x² ≠f(x) → NO PARI ≠-f(x) → NO DISPARI

3. INTERSEZIONI CON GLI ASSI :

   { x = 0 { x = 0{ f(x) = 4x³ + 2x² { y = 0 → [0,0) ∈ f(x) { y = 0 { y = 0{ y = 0 { y = 0 { y = 0{ y = 4x³ + 2x² { 4x³ + 2x² = 0 { x² (4x+2) = 0y = 0x = 0 ∨ x = -¹/₂ → (-¹/₂, 0) ∈ f(x)

4. SEGNO:

   f(x) > 0 → 4x³ + 2x² > 0 → x² (4x+2) > 0x² > 0 → x ≠ 04x+2 > 0 → x > -¹/₂ -¹/₂ 0+ | + + --------------- | + +

1.2 Esercizio 2

f(x) = 4x³ + 2x²

1. Dominio: D = ℝ
2. Simmetrie: f(-x) = -4x³ + 2x² ≠ f(x) -> no pari ≠ -f(x) -> no dispari
3. Intersezioni con gli assi:

   • x = 0

     f(x) = 4x³ + 2x²

     x = 0 -> (0,0) ∈ f(x)

   • y = 0

     y = 4x³ + 2x²

     y = 0

     4x³ + 2x² = 0

     x²(4x + 2) = 0

     y = 0

     x = 0 v x = -¹∕₂ -> ( -¹∕₂, 0) ∈ f(x)

4. Segno:

   • f(x) > 0 -> 4x³ + 2x² > 0 -> x²(4x + 2) > 0

     x² > 0 -> x ≠ 0

     4x + 2 > 0 -> x > -¹∕₂

   + -¹∕₂ 0 + - ø + +

5) LIMITI:

_{x → -∞} ^lim f(x) = ^lim x²(lx+2) = +∞(-∞) = -∞

_{x → +∞} ^lim f(x) = +∞

_{x → ±∞} ^{lim f(x)}/_x = ^lim x(lx+2) = ±∞ = 0 ⇒ NO ASINTOTI OBLIQUI

6) DERIVATE :

f'(x) = 12 x² + 4 x

f'(x) > 0 ⇒ 4x(3x+1) > 0

4x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

3x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -¹/₃

f'(-¹/₃) = 2/27 . (-¹/₃ 2/27) MAX

f(x)

f'(0) = 0 ⇒ (0,0) MIN

f''(x) = 24 x + 4

f''(x) > 0 ⇒ 24 x + 4 > 0 ⇒ x > -¹/₆

f'(-¹/₆) = ¹/₂₇ ⇒ (¹/₆ 2/27) F ⇒ PUNTO DI FLESSO

5

y

x

(-1/2, 0)

MAX

F

MIN

6

1.3 Esercizio 3

f(x) = x³ + 3x

1. DOMINIO: D = ℝ
2. SIMMETRIE:

   f(-x) = -x³ - 3x = -(x³ + 3x) = -f(x) → f(x) dispari

3. INTERSEZIONI CON GLI ASSI:
   • x = 0
     • f(x) = x³ + 3x
     • x = 0
       • y = 0 → (0,0) ∈ f(x)
     • y = 0
       • x³ + 3x = 0
         • x(x² + 3) = 0
           • x = 0
           • x² + 3 = 0 → ∅
   • SEGNO:

     x → 0⁺ → f(x) > 0 → x³ + 3x > 0 → x > 0

     f(x) < 0 → x < 0

   • LIMITI:

     lim f(x) = ±∞

   • DERIVATE:

     f'(x) = 3x² + 3 → f'(x) > 0 ∀ x ∈ D → f(x) ↗ ∀ x ∈ D

     f''(x) = 6x → f''(x) > 0 → x > 0

7

O

8

1.4 Esercizio 4

f(x) = 9x³ - 4x

1. DOMINIO:
   • D = ℝ
2. SIMMETRIE:

   f(-x) = -9x³ + 4x = -(9x³ - 4x) = -f(x)

   • f(x) DISPARI
3. INTERSEZIONI CON GLI ASSI:
• x = 0
• y = 9x³ - 4x
• x = 0
• y = 0
• (0,0) ∈ f(x)
• y = 0
• y = 9x³ - 4x
• x(9x² - 4) = 0
• 9x² - 4 = 0 → x = ±²/₃
• (-²/₃ , 0) , (²/₃ , 0) ∈ f(x)

4) SEGNO:

f(x) > 0 → x(9x²-4) > 0

x > 0