Strumenti derivati (corso avanzato), prof. Giovanni Petrella

PROGRAMMA!

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forward, futures, swap e opzioni forward, futures, swap (strumenti lineari) e opzioni (solamente la parte di descrizione e la parte di

• pricing con il modello binomiale quindi in tempo discreto). Questo corso parte da dove arriva il corso precedente, se il corso precedente si

! ferma al pricing in tempo discreto, si parte dal pricing in tempo continuo quindi con Black-Scholes.!

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processi di Wiener e lemma di Ito come modellizzare l’andamento di un sottostante quindi processi di Wiener e lemma di Ito perché se

• sono in tempo continuo devo capire come si muove il sottostante nel corso del tempo perché mi interessa capire quale sarà il valore

atteso del sottostante alla data di scadenza T del mio derivato. Quindi prima di entrare nel pricing delle opzioni su azioni c’è una parte

! legata proprio alla modellizzazione dell’andamento del sottostante.!

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opzioni su azioni il modello di Black-Scholes è un modello fondamentale che nasce per opzioni che hanno un sottostante azionario che

• non eroga dividendi e che ha uno stile di esercizio europeo. Tuttavia ci sono diverse varianti in relazione al tipo di sottostante se eroga

dividendi, se non eroga dividendi, in relazione al tipo di opzione, se è un’opzione con stile di esercizio europeo o con stile di esercizio

americano, quindi bisogna entrare nelle diverse fattispecie. Per esempio c’è il modello di Black che può essere utilizzato per i forward, con

! alcuni aggiustamenti può essere utilizzato per i derivati su tassi di interesse oppure per le opzioni su titoli obbligazionari.!

! opzioni su indici azionari e valute!

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! opzioni su futures e forward!

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lettere greche indicatori di rischio delle posizioni in opzione. Il rischio essenzialmente si quantifica rispondendo a questa domanda:

• come varia il valore della posizione al variare di un certo fattore di rischio? Per esempio il delta ∆ dell’opzione è la derivata parziale del

! prezzo dell’opzione al variare del prezzo del sottostante. !

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volatility smiles fa riferimento al concetto di volatilità del sottostante. La volatilità non è costante ai diversi livelli di prezzo come si

• assume nei modelli, ma poiché i prezzi delle opzioni variano in relazione alla domanda e all’offerta, la volatilità che si chiama implicita in

quei prezzi non è sempre la stessa. Quando gli strike sono più alti la volatilità tende a diminuire, quando gli strike sono più bassi

! la volatilità tende ad aumentare quindi si ottiene un effetto ad ‘u’ oppure se volete un effetto smile.!

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derivati creditizi essenzialmente credit default swap. Hanno un ruolo importante non soltanto come strumenti per sé ma anche per il

• contenuto informativo associato ad essi che può dare una rappresentazione mark to market dello stato di salute di un certo emittente e per

poter estrapolare la probabilità di fallimento di questo emittente. Grazie al prezzo dei credit default swap è possibile estrarre quella che è

! la probabilità che il mercato stima di inadempimento della controparte.!

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derivati su tassi di interesse swap, opzioni su tassi di interesse (cap, floor, call per comprare un tasso di interesse) oppure opzioni per

• comprare un contratto di swap (swaption). Le swaption che sono opzioni per comprare degli swap. Il pricing si fa usando una variante del

! modello di Black-Scholes che è il modello di Black.!

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opzioni esotiche sono una variante delle versioni standard. Per esempio le opzioni gap in cui ho due strike, uno strike mi fa scattare

• l’esercizio e l’altro mi serve per calcolare il payoff, le opzioni barriera in cui quando il prezzo tocca la barriera scatta la vita dell’opzione

oppure l’opzione muore. Le opzioni binarie sono opzioni on/off in cui se il prezzo è sotto a €10 non incasso nulla, se è sopra o pari a €10

! incasserò per esempio €30 cioè una somma fissa, quindi possono scattare sia quando il prezzo è €10,01 sia quando il prezzo è €1.000.!

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procedure numeriche vuol dire uno sguardo al pricing con un approccio diverso da quello in forma chiusa, cioè non ho una formula

• come quella di Black-Scholes in cui inserisco certi input (sottostante, strike price, tempo a scadenza, volatilità, tasso di interesse,

eventuale dividendo) e questi mi danno il risultato. In alcuni casi quella formula non può essere applicata perché per esempio non sono

rispettate le assunzioni che stanno alla base di quel modello, quello è un modello per opzioni europee, se ho l’opzione americana quella

formula non la posso applicare quindi devo usare un altro metodo. Un esempio sono i percorsi di simulazione. Quindi quando parliamo di

procedure numeriche in generale ci riferiamo ad un approccio di simulazione numerica e simulando n possibili sentieri è possibile poi

! stimare il valore del contratto.!

1. INTRODUZIONE AI DERIVATI !

!

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Un derivato è uno strumento il cui valore dipende da, o meglio deriva, dal valore di un altro asset. Sono importanti perché:!

svolgono un ruolo chiave nel trasferimento dei rischi nell’economia!

• le attività sottostanti comprendono azioni, valute, tassi di interesse, materie prime, strumenti di debito, energia elettrica, pagamenti

• assicurativi, condizioni meteorologiche, etc.!

molte operazioni finanziarie hanno derivati incorporati!

•

! l’approccio delle opzioni reali per valutare le decisioni di investimento di capitale è diventato ampiamente accettato!

•

!

I derivati vengono essenzialmente utilizzati con finalità di:!

copertura di rischi finanziari!

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speculazione (sulla base di una previsione degli andamenti dei mercati)!

• bloccare profitti da arbitraggio!

• cambiare la natura di una passività (fix vs. float)!

•

! cambiare la natura di un investimento!

•

La copertura si ha nel momento in cui esiste un’attività rischiosa e si associa all’attività rischiosa uno strumento derivato con l’obiettivo di

ridurne il rischio. La speculazione invece è un’attività per definizione rischiosa quindi richiede per esempio che la banca allochi una certa %

di capitale proprio per coprire il rischio che assume sugli asset. Con la speculazione non c’è una seconda attività, esiste soltanto il derivato.

Il derivato che viene in posizione lunga se penso che il prezzo aumenti, in posizione corta se penso che il prezzo diminuisca. I profitti da

arbitraggio si ottengono tramite la negoziazione contestuale di due contratti che generano un profitto privo di rischio. É un profitto piccolo

perché i disallineamenti di prezzo durano poco, però dev’essere privo di rischio. L’arbitraggio posso farlo anche su un derivato, l’esempio più

immediato è quello tra forward e sottostante, quando il prezzo forward non è uguale al prezzo teorico di equilibrio: se F = 10 sul mercato ma

F* = 8 allora vendo il prezzo a forward e contestualmente compro spot +10 -8 = +2 in questo modo ho una posizione priva di rischio. Per

generare l’arbitraggio di solito devo trovare un altro mercato in cui il prezzo non è allineato. Nel caso dell’arbitraggio spot-forward non trovo

un altro mercato spot geograficamente distinto ma trovo un altro mercato che è temporalmente distinto. Infine per quanto riguarda il fatto di

cambiare la natura di una passività, il caso classico è quello del mutuo a tasso variabile in cui paghi di più quando i tassi aumentano. Per

coprirti contro il rischio dell’aumento dei tassi quindi per pagare fisso potresti comprare uno swap. Infatti con il contratto di swap io mi

impegno a pagare un tasso fisso uguale al 2% e a fronte di quello che pago mi aspetto di ricevere come tasso variabile l’Euribor a 6 mesi.

Qui entra in gioco l’equilibrio tra il valore atteso di quello che pago ed il valore atteso di quello che ricevo: il valore attuale del valore atteso

dell’Euribor a 6 mesi per i prossimi 10 anni è pari al 2%. Non sto facendo previsioni, il tasso variabile viene rappresentato attraverso il tasso

forward quindi ho un tasso forward che mi dice qual è il tasso relativo al periodo dei prossimi 6 mesi, tra 6 e 12 mesi, tra 12 e 18 mesi quindi

in pratica anziché pagare tanti tassi forward di livello diverso pago un unico tasso dato dalla media ponderata dei tassi forward. La stessa

!

cosa la posso fare per cambiare la natura di un investimento facendolo diventare a tasso variabile o viceversa.!

!

Prezzo forward!

Il prezzo forward (o a termine) è il prezzo relativo ad un contratto con esecuzione futura: oggi fisso le condizioni di una transazione che sarà

effettivamente regolata in un momento futuro e quando arriverò a regolarla magari le condizioni di mercato saranno completamente

diverse però la forza e la potenza di questi contratti sta nel fatto che quali che siano le condizioni al momento dello scambio, io comunque

applicherò i prezzi che avevo contrattato dall’inizio. Se io oggi compro un barile di petrolio a $50, ed è forward perché sarà consegnato tra

un anno, se tra un anno costa $80 in ogni caso pago $50 quindi positivo per chi compra, negativo per chi vende. Se tra un anno il prezzo è

pari a $20, io in ogni caso pago $50 quindi negativo per chi compra, positivo per chi vende. Che poi è relativo perché magari io ho un

obiettivo che è quello di copertura, e la copertura per esempio per una compagnia aerea consiste nel voler avere costi costanti nel tempo,

prescindendo dal prezzo del petrolio. Quindi con il fatto di pagare comunque $50, il risultato non è più quello di guadagnare o perdere ma

quello di avere dei costi sotto controllo che non sono legati all’andamento del prezzo del petrolio. Il prezzo forward è diverso in relazione alla

durata, chiaramente perché è come se fossero mercati diversi. Il barile di petrolio tra un anno ha un prezzo, tra 18 mesi ha un altro prezzo,

!

tra 2 anni ha un altro prezzo ancora.!

• la controparte che ha il diritto di acquistare viene definita “lunga sul sottostante”!

!

• la controparte che ha il diritto di vendere viene definita “corta sul sottostante”! !

Payoff della posizione lunga forward e corta forward:! !! !

!!

!!

!!

!

!

Nel caso di una posizione lunga forward guadagno quando i prezzi aumentano e perdo quando i prezzi diminuiscono. É una funzione

lineare con inclinazione costante = 1 quindi se aumenta di uno il sottostante, aumenta di uno anche il profitto. Con le opzioni, la relazione

non è lineare nel senso che il sottostante aumenta di uno ma il payoff dell’opzione aumenta di meno di uno. La posizione corta forward è di

!

segno opposto, cioè guadagno se il prezzo diminuisce e perdo se il prezzo aumenta.!

!

1. Oro: un’opportunità di arbitraggio?!

• prezzo a pronti dell’oro = $1.400!

• prezzo a termine tra un anno dell’oro = $1.500!

!

• tasso di interesse ad un anno = 5% !

C'è un'opportunità di arbitraggio? ! 2 di 59

! T

Il prezzo forward teorico F* = S(1 + r) = $1.400 (1 + 0,05) = $1.470 è minore del forward effettivo F = $1.500. Devo quindi vendere il forward

e contestualmente comprare lo spot. In questo modo ottengo un profitto di arbitraggio pari a $1.500 - $1.470 = $30. L’unico modo per non

!

avere profitti di arbitraggio è avere prezzo forward = prezzo spot + tasso di interesse.!

→

!

F* < F quindi vendo forward compro spot vendo ciò che è sovrapprezzato!

!

2. Oro: un’opportunità di arbitraggio?!

• prezzo a pronti dell’oro = $1.400!

• prezzo a termine tra un anno dell’oro = $1.400!

!

• tasso di interesse ad un anno = 5% !

!

C'è un'opportunità di arbitraggio? ! T

Il prezzo forward teorico F* = S(1 + r) = $1.400 (1 + 0,05) = $1.470 è maggiore del forward effettivo F = $1.400. Devo quindi comprare il

forward e contestualmente vendere lo spot. In questo modo ottengo un profitto di arbitraggio pari a -$1.400 + $1.470 = $70. L’unico modo

!

per non avere profitti di arbitraggio è avere prezzo forward = prezzo spot + tasso di interesse.!

→

!

F* > F quindi compro forward vendo spot vendo ciò che è sovrapprezzato!

Vendere a spot vuol dire vendere qualcosa che non ho: questo posso farlo tramite uno short selling, cioè vendo il sottostante pur non

possedendolo. Questo ovviamente è possibile soltanto quando la consegna è differita nel tempo, quindi esistono dei mercati in cui vendo e

compro oggi ma per ragioni di economia non faccio le liquidazioni tutti i giorni ma a fine mese. Quindi nel mentre posso vendere qualcosa

che non ho e poi entro la fine del mese devo procurarmelo per poter onorare la vendita. L’altro modo per farlo è prendere a prestito, cioè

vado da una banca e dico ho bisogno di vendere l’oro quindi devo prenderlo a prestito (e quando prendo a prestito pago degli interessi che

!

poi dovrò restituire).! T

• in tempo discreto F = S(1 + r ) !

d

! r T

• in tempo continuo F = Se !

c

!

Per essere finanziariamente equivalenti r < r perché con la funzione esponenziale ho un valore che è più elevato.!

c d

→ → → →

! T r T T r T T T

S(1 + r ) = Se (1 + r ) = e ln(1 + r ) = r T r = 1/T ln(1 + r ) r = ln(1 + r )!

c c

d d d c c d c d

!

Formula più precisa per la conversione:!

→ → → →

! r n mn r m m r m m r /m r /m

Ae = A(1 + r /m) e = (1 + r /m) √e = √ (1 + r /m) e = 1 + r /m r = m(e - 1)!

c c c c c

c c c c c

!

Problema di fine capitolo del libro!

S(0) = 40!

r = 0,1 con capitalizzazione discreta r = 0,1052!

c d

!

T - t = 1!

F è il valore del prezzo forward, il prezzo che sarà pagato a scadenza, quindi il prezzo del sottostante. Mentre f è il valore del contratto

forward, il valore dell’accordo contrattuale che mi genera l’obbligo di comprare o vendere ad un certo prezzo ed in quanto obbligatorio può

avere sia valore positivo che negativo perché se è un’affare, quel contratto ha un valore positivo e lo posso pure cedere ad un terzo il quale

mi deve anche pagare per ottenere quel contratto perché è come avere un buono sconto che mi dà il diritto di pagare meno di quello che è il

prezzo di mercato oppure può avere un valore negativo perché mi obbliga a pagare di più di quello che dovrei e allora a quel punto devo

!

essere io a pagare lui affinché si prenda questo contratto che è una fregatura. !

!

a) Qual è il prezzo forward del contratto e qual è il valore iniziale del contratto? !

!

Il prezzo forward del contratto è:!

T

• in tempo discreto F = S(1 + r ) = 40(1 + 0,1052) = 44,21!

d

! r T 0,1 0,1

• in tempo continuo F = Se = 40e = 40 (2,718) = 44,193 ≈ 44,21!

c

Al tempo 0 il valore del contratto forward f vale 0 se il prezzo forward è quello giusto. Il fatto di non pagare non vuol dire che non ho degli

oneri oppure non ho dei rischi, vuol dire soltanto che il valore atteso di quello che riceverò è uguale valore atteso di quello che pagherò, ma

!

il valore ‘atteso' alla data t(0) poi ex post il mercato deciderà chi ha guadagnato e chi ha perso. !

!

Quindi:!

F(0) = 44,21! 3 di 59

!

f(0) = 0!

!

b) Se 6 mesi dopo il mercato è cambiato, il sottostante che valeva 40 oggi vale 45, qual è il prezzo forward e il valore del contratto forward?!

T + 1 = 0,5!

!

S(1) = 45!

! r T 0,1x0,5 0,1x0,5

Il nuovo fair forward price è F = Se = 45e = 40 (2,718) = 47,31!

c

Ma attenzione io ho in mano un contratto che invece è 44,21. Ecco il punto, il punto è che quel vecchio contratto ha un suo valore perché 6

mesi fa era il prezzo giusto e non aveva nessun vantaggio o svantaggio particolare, oggi invece è andata bene perché io ho l’obbligo di

pagare 44,21 per qualcosa che già oggi vale 45 e che se vado a negoziarlo a forward dovrei pagare 47,31. Questo è il valore del contratto, il

valore del contratto è che io ho bloccato a $44,21 il prezzo del sottostante quando, date le condizioni correnti di mercato, oggi lo bloccherei

!

a $47,31 allora automaticamente c’è un valore di $2,95 che va associato al contatto perché:!

LONG -0,1x0,5

= PV(sell price - buy price) = PV(47,31 - 44,21) = PV(3,1) = 3,1e = 2,95!

!

!

Quindi:!

F(1) = 47,31!

!

f(1) = 2,95 (posizione lunga) e -2,95 (posizione corta)!

!

OPZIONI!

• un’opzione call è un'opzione per acquistare un determinato asset entro una certa data per un determinato prezzo !

• un’opzione put è un'opzione per vendere un determinato asset entro una certa data per un determinato prezzo!

• un’opzione americana può essere esercitata in qualsiasi momento durante la sua vita!

• un’opzione europea può essere esercitata solo alla scadenza T!

!

• un’opzione bermudana può essere esercitata in date specificate durante la sua vita!

Nei futures e nei forward non posso scegliere se comprare o vendere, mentre per quanto riguarda la opzioni posso scegliere se comprare o

vendere: un contratto futures/forward conferisce al titolare l’obbligo di acquistare o vendere ad un determinato prezzo, un’opzione conferisce

!

al titolare il diritto di acquistare o vendere ad un determinato prezzo.!

!

Esempio di hedging!

- un investitore possiede 1.000 azioni Microsoft attualmente del valore di $28 per azione!

- un’opzione put con scadenza 2 mesi e con prezzo di esercizio di $27,50 costa $1!

!

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