Strumenti derivati (corso avanzato), prof. Giovanni Petrella

P

Γ = gamma del portafoglio prima della copertura!

!

Γ = gamma traded!

T ·Γ

Dove q è l’effetto del gamma dell’opzione traded, dato dal numero di opzioni negoziate (q ) moltiplicato per Γ . Quindi prendo un certo

T T T T

portafoglio che ha un certo gamma, aggiungo un’opzione, metto insieme le due cose e mi viene fuori il gamma post copertura Γ . Cosa

P

voglio fare di tutto questo? Voglio che il gamma post copertura sia = 0 quindi per generare un gamma = 0 non devo far altro che portare

gamma Γ dall’altra parte, dividere per il gamma della singola opzione Γ . Questo per rendere il portafoglio gamma neutral, tramite una

T

posizione di segno opposto sull’opzione scambiata sul mercato in una quantità che è pari al rapporto tra l’esposizione al gamma del

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portafoglio e il gamma della singola opzione:!

!

q = - Γ/Γ !

T T

!

Portafoglio gamma neutral (III)!

Supponiamo che un portfolio sia delta neutral e abbia un gamma Γ = -3.000. Il delta e il gamma di un’opzione call negoziata sono 1,50 (Γ ).

T

Il portafoglio può essere reso neutrale includendo una posizione lunga nell’opzione call uguale a q = - Γ/Γ = -(-3.000)/1,5 = 2.000. Tuttavia,

T T

!

il delta del portafoglio non sarà più 0 perché 2.000·0,62 = 1.240 quindi per mantenere il portafoglio delta neutral devo vendere 1.240 azioni.!

• portafoglio con Γ = -3.000!

• opzione call negoziata sul mercato con Γ = 1,5!

T

!

• ∆ dell’opzione call = 0,62!

Ho un portafoglio con un gamma di Γ = -3.000, il segno meno vuol dire che ho venduto le opzioni. Poi dico guarda che io ho un’opzione call

che è negoziata sul mercato che ha un gamma di Γ = 1,5. Siccome io sono sotto di 3.000 ed una opzione mi consente di pareggiare 1,5 in

T

sintesi non devo far altro che prendere q = - Γ/Γ = -(-3.000)/1,5 = 2.000 in modo tale da avere 2.000·1,5 = 3.000 di gamma positivo che si

T T

!

compensano con i 3.000 di gamma negativo. In questo modo avendo coperto il gamma, ottengo una posizione gamma neutral.!

Sono a posto sul lato del gamma, ma attenzione, siccome ho messo nel mio portafoglio una opzione, l’opzione ha anche un delta. Un delta

che è sparito nella slide ma è di 0,62 (ricordiamoci che il delta di una call è un numero positivo compreso tra 0 e 1). Quelle 2.000 opzioni call

che compro per bilanciare l’esposizione al gamma mi rompono il delta, allora devo calcolare la nuova esposizione al delta: 2.000·0,62 =

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1.240 titoli, cioè vendo 1.240 titoli e così ho gamma = 0 e delta complessivo = 0. Il portafoglio è diventato gamma e delta neutral.!

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Relazione tra delta, gamma e theta (I)!

Questa è l’equazione differenziale di Black-Scholes in cui ho a sinistra la variazione del portafoglio di opzioni e a destra il risultato che,

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essendo un portafoglio privo di rischio, è un portafoglio ∏ che mi genera un rendimento pari ad r.!

!!

!

Quel rendimento è uguale alla variazione del portafoglio di Black-Scholes privo di rischio, dove la variazione del portafoglio di Black-Scholes

privo di rischio è come vedete molto simile a quella di prima. Ho una variazione del prim’ordine rispetto al tempo (∂∏/∂t) e quindi ho un

effetto theta Ɵ, ho una variazione del prim’ordine rispetto al delta (∂∏/∂S) e quindi ho un effetto delta, e ho una variazione del secondo

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ordine rispetto al gamma (∂ ∏/∂S ). Nel momento in cui faccio dei portafogli delta neutral ∆ = 0, poi ho l’effetto di segno opposto di gamma e

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di theta. E questo infatti vuol dire anche che in alcuni casi il theta viene interpretato come una proxy di gamma.!

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Vega!

Vega v = ∂c/∂σ è la variazione del valore del portafoglio rispetto alla volatilità. Di theta non ne abbiamo parlato perché il theta non è una

fonte di incertezza, so che passa il tempo e quindi non ha una sua fonte di rischio. L’opzione come sempre è più sensibile in corrispondenza

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dello strike price. La relazione è sempre positiva perché se aumento il vega, aumento il prezzo dell’opzione (vale sia per le call che per put). !

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!!

!!

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Gestione di delta, gamma e vega!

Cosa devo fare se voglio generare un portafoglio che sia delta, gamma, vega neutral? Chiaramente il problema esiste perché l’intermediario

cerca di coprirsi da tutte le possibili fonti di rischio. Anche qui devo fare lo stesso ragionamento di prima cioè il vega dell’azione è = 0 quindi

devo usare un’altra opzione che ha un altro vega e cerco di bilanciarle. Per avere una posizione coperta, quando ho venduto le opzioni devo

anche comprare volatilità, cioè ho venduto delle opzioni ai miei clienti e devo in sintesi comprare altre opzioni per avere un’esposizione al

vega che è pareggiata in modo tale che perdo con i miei clienti quando il vega aumenta ma devo guadagnare da qualcun altro con una

posizione di segno opposto sulle opzioni. Quindi l’esposizione a gamma e a vega le posso gestire negoziando opzioni o un altro strumento

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che abbia un payoff non lineare.!

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Un portafoglio vega neutral (I)!

Qui possiamo distinguere la trattazione in due parti. La prima parte è ok facciamo il portafoglio vega neutral. Se voglio avere un portafoglio

neutrale rispetto al vega applico la stessa logica di prima e cioè scarto le azioni (perché le azioni hanno un vega che non è calcolabile in

modo chiuso), guardo il mercato delle opzioni, trovo delle opzioni che hanno un certo vega e non faccio altro che prendere una posizione di

segno opposto data dal vega ante copertura v diviso il vega della singola opzione traded v perché come prima qui sto ponendo = 0

T

l’equazione del vega del portafoglio post copertura v data dal vega del portafoglio ante copertura più l’effetto delle opzioni che metto dentro

P

!

in aggiunta nel portafoglio:!

·v

!

v = q + v = 0!

P T T

!

Per rendere il portafoglio vega neutral: q = - v/v !

T T

!

Un portafoglio vega neutral (II) e gamma neutral (III)!

Per creare un portafoglio che sia contemporaneamente delta, gamma e vega neutral devo fare questo ulteriore passaggio. Supponiamo che

un portafoglio sia delta neutral e abbia un gamma Γ = -5.000 ed un vega v = -8.000. Il portafoglio può essere reso vega neutral aggiungendo

una posizione lunga in 4.000 opzioni #1. Tuttavia, questo aumenterebbe il delta a 2.400 che richiederebbe una vendita di 2.400 azioni per

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mantenere il portafoglio delta neutral:! !!

!!

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Tuttavia, il gamma del portafoglio è ancora ≠ 0, da -5.000 è ora -3.000. Per rendere il portafoglio sia gamma che vega neutral, entrambe le

opzioni dovrebbero essere utilizzate come implicite dal seguente sistema:!

!

-5.000 + 0,5q + 0,8q = 0!

1 2

!

-8.000 + 2,0q + 1,2q = 0!

1 2

La soluzione è q = 400 e q = 6.000. Anche in questo caso però il delta del portafoglio è ≠ 0. Per mantenere il portafoglio delta neutrale

1 2

!

devo vendere 3.240 azioni. !

Il mio portafoglio di partenza che è stato reso delta neutral. Per pareggiare il vega devo fare 8.000/2 = 4.000 quindi compro 4.000 opzioni

e pareggio il vega. Al tempo stesso se compro 4.000 opzioni ho anche l’effetto delta, 4.000·0,6 = 2.400 quindi ho un delta di 2.400 che

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dovrei compensare con una vendita di 2.400. Tutto questo però mi genera ancora un’esposizione al gamma. Il gamma adesso da -5.000 è

passato a -3.000 perché avevo un gamma di -5.000, ho un gamma individuale di +0,5: il gamma è positivo, ne ho comprate 4.000 quindi ho

+2.000 di gamma, -5.000 fa -3.000 di gamma quindi sono ancora con un gamma che è ≠ 0. Allora a questo punto se voglio coprire entrambe

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le dimensioni, ho 2 obiettivi e 2 strumenti. Secondo la più classica delle soluzioni delle equazioni, risolvo questo sistema di equazioni:!

→

-5.000 + 0,5q + 0,8q = 0 equazione relativa al gamma!

1 2 →

!

-8.000 + 2,0q + 1,2q = 0 equazione relativa al vega!

1 2

Il gamma è attualmente il gamma ante copertura -5.000 a cui aggiungo anche gli strumenti di copertura, che al momento sono un’incognita

perché non so quanti ne devo comprare e quanti ne devo vendere, ma so che lavorando su q1 e su q , ogni q addizionale mi porta 0,5 di

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gamma ed ogni q addizionale mi porta 0,8 di gamma. Il tutto dev’essere = 0 perché voglio un’esposizione post copertura = 0. Per quanto

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riguarda il vega inizio da -8.000 e l’opzione q mi vale 2 vega, l’opzione q mi vale 1,2 vega. Anche questo per essere vega neutral deve

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essere = 0. L’ultima verifica è data dal fatto che se guardo questo nuovo portafoglio, ricordando che il delta della prima opzione = 0,6 ed il

delta della seconda opzione = 0,5 mi rendo conto che il delta inizialmente era 0 ma ora non può più essere = 0 perché ho comprato 400

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pezzi della prima opzione e 6.000 pezzi della seconda quindi abbiamo un’esposizione al delta di:!

!

400·0,6 + 6.000·0,5 = 240 + 3.000 = 3.240!

Devo quindi vendere il sottostante per 3.240 azioni. É di segno opposto perché ricordiamoci che il delta del sottostante è ∆ = 1 quindi se ho

un portafoglio di opzioni che è +3.240 delta, vendo 3.240 azioni, ciascuna azione ha un delta ∆ = 1 quindi ho un -3.240 che mi permette di

compensare perfettamente il delta exposure. Questo è un portafoglio delta, gamma e vega neutral perché è pareggiato su tutte e tre le

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dimensioni di rischio.!

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Rho!

Rho ρ = ∂c/∂r è la derivata parziale del valore dell’opzione rispetto al tasso d’interesse. Se consideriamo un’opzione su valuta a questo

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punto ho due rho, uno per ogni tasso d’interesse: tasso d’interesse domestico e tasso d’interesse estero.!

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Coperture!

Dal punto di vista pratico la copertura più importante è la copertura rispetto al delta. Gamma e vega a volte non vengono coperti perché

possono essere delle posizioni che la banca detiene con un’ottica più aggressiva, non perfettamente coperta: se volessimo applicare tutte le

coperture dovremmo perdere anche qualsiasi altra opportunità di guadagno. La copertura diventa meno costosa quando il portafoglio

diventa più grande, questo è un motivo per il quale esistono pochi dealer di derivati al mondo, si dice che siano circa una decina le grandi

case di investimento che fanno