Appunti Strumenti Derivati Corso Avanzato

STRUMENTI DERIVATI AVANZATO

INTRODUZIONE

Il problema dello studio del processo stocastico per modellizzare il valore\andamento del prezzo nasce

dall’esigenza a ritroso, dobbiamo capire il valore di . Dobbiamo capire al tempo zero come sarà il

!

!

sottostante al tempo T, per cui si faranno delle ipotesi sull’andamento del prezzo del sottostante. Il payoff

dipende dal sottostante al momento della scadenza. è fondamentale nel caso delle opzioni europee,

!

"

mentre nel caso delle americane, per cui l’esercizio è possibile anche prima della scadenza, non conterà solo

ma anche . C’è il problema come replicare, come immaginarsi un modello che generi l’andamento del

! !

" #

prezzo. Il lemma di Ito si compone fondamentalmente di una parte deterministica e una stocastica,

l’intuizione è: se l’andamento del prezzo del tempo è la somma del trend deterministico (con il passare del

tempo il prezzo aumenta) e dell’incertezza. Il prezzo di una azione dipende da aspettative di guadagno, il che

a sua volta dipende dall’andamento dell’azienda di generare flussi di cassa, il quale dipende da fattori di

mercato sistemici e fattori specifici dell’impresa. Per cui si guarderà all’economia italiana, se questa va bene

allora le imprese italiane e le banche andranno bene perché l’ammontare di non performing loans saranno

minori quindi si avranno maggiori ritorni, oppure le OPA ad esempio di Banca Intesa nei confronti di UBI..

CAPITOLO 14: PROCESSI DI WIENER E LEMMA DI ITO

Ogni variabile il cui valore cambia nel tempo in modo incerto segue un «processo stocastico», questi servono

per modellizzare l’incertezza e vengono classificati rispetto a due dimensioni:

tempo

- In tempo continuo, ovvero un’analisi valutata in qualsiasi istante temporale

- In tempo discreto, ovvero il prezzo viene analizzato in determinati momenti, come ad esempio

mensilmente o semestralmente (caso realistico in quando la valutazione delle azioni avviene

esclusivamente quando le borse sono aperte).

prezzo

- Variabili continue, ovvero che possono assumere qualsiasi valori, non si conoscono interruzioni, può

essere assunto qualsiasi valore tra 0 e 1.

- Variabili discrete, ovvero che possono assumere solo alcuni valori discreti, da 1 a 0,75 o 0,25(caso

realistico in quanto le azioni possono avere prezzi limitati al centesimo negli Stati Uniti, prima ottavi

o quarti di dollaro).

Il mondo del tempo continuo è quello di Black-Scholes.

Il mondo del tempo discreto è quello dell’albero binomiale (serve nelle opzioni americane, visto che è

possibile l’esercizio anticipato rispetto alla scadenza, ci interessa capire quanto vale il prezzo del sottostante

anche prima della maturity, ci consentono di valutare la possibilità di esercizio anticipato).

PROCESSI DI MARKOV = indipendenza dei rendimenti, dal punto di vista statistico ci sono due processi

indipendenti tra di loro, ma dal punto di vista intuitivo ci dice che il rendimento di domani o del prossimo

mese è indipendente da quello del mese scorso o di ieri. Ci fa capire che il mercato è imprevedibile. Sappiamo

l’importanza della previsione di mercato, ma ci si scontra contro il fatto che i mercati sono imprevedibili,

ovvero che i rendimenti siano indipendenti. “la storia non è significativa per il futuro = i rendimenti sono

indipendenti nel tempo”

I processi di Markov sono dei processi stocastici in cui solo il valore corrente della variabile è rilevante per

!

#

prevederne il valore futuro. Per cui, la storia passata e le motivazioni per cui è emerso il presente risultano

essere irrilevanti, i futuri movimenti di una variabile dipendono solo da dove ci troviamo. 1

STRUMENTI DERIVATI AVANZATO

Da ciò deriva che i rendimenti dei prezzi sono indipendenti nel tempo, perché l’andamento futuro non

dipende dal rendimento passato. La correlazione tra futuro e passato è nulla.

Si ipotizza che i prezzi delle azioni seguano un processo markoviano.

à

Questo implica che la distribuzione probabilistica del prezzo delle azioni non dipende dal sentiero temporale,

L’ipotesi è coerente con la forma debole di efficienza dei mercati, ovvero afferma che il prezzo corrente

à

delle azioni racchiuda in sé tutte le informazioni presenti nella serie storica dei prezzi.

Questo significa che l’andamento dei prezzi delle azioni non può essere previsto dal punto di vista storico.

Per completezza:

- In forma debole si ha la possibilità di prevede i rendimenti futuri sulla base dei rendimenti passati,

quindi osservazione dei rendimenti storici.

- In forma semi-forte riguarda la reazione del prezzo alle informazioni pubbliche. Esempio i prezzi di

Banca Intesa e UBI hanno reagito alle informazioni dell’OPA.

- In forma forte riguarda informazioni non ancora rilasciate al pubblico.

Analisi tecnica, ovvero quando si decide se comprare o vendere un titolo sulla base dell’analisi storica del

titolo, quindi un’analisi dal punto di vista graficoà questa non funziona per le azioni.

Analisi fondamentale riguarda se comprare o vendere un titolo sulla base dei bilanci della società

emittenteà efficace.

Se noi riteniamo che il mercato è efficiente in forma debole l’analisi tecnica non basta, non basta guardare

l’analisi storica, perché se si sta sul mercato, tutto ciò che già si sa deve essere già incorporato nel prezzo del

titolo corrente, per cui il prezzo corrente incorporerà già tutte le informazioni passate.

Es. Il mercato non aveva informazioni riguardo le operazioni previste da Intesa nei confronti di UBI, quando

è uscita l’OPA allora il prezzo si è dovuto allineare considerando la nuova informazione. Per cui tutto ciò che

accadrà domani porterà a nuovi prezzi, non c’è correlazione con quanto c’è stato in passato ma c’è con

quanto accadrà in futuro. Per cui le assunzioni di Markov sono realistiche, solo avvenimenti futuri influenzano

i prezzi.

PROCESSI STOCASTICI IN TEMPO CONTINUO (quando parliamo di variazioni di prezzo parliamo di

à

rendimenti)

Se una variabile segue un processo Markoviano, la distribuzione di probabilità della variazione di valore in un

periodo di lunghezza T è e in un periodo di lunghezza dove con si indica la

#(0, ') ∆* è #(0, ∆*), #(,, -)

funzione di densità di una variabile casuale normale con media e varianza

, -.

Esempio Lezione

Pensiamo di osservare a un anno un titolo che oggi ha valore corrente ! = 10.

#

Bisogna guardare alla variazione, cioè ai rendimenti . La distribuzione della variazione

∆! = ! − !

à ! !$%

(consideriamo la distribuzione perché vogliamo ) del prezzo con funzione di densità avente media nulla

! ∆!

"

e varianza unitaria. Ragionando alla variazione del prezzo è abbastanza normale che la media sia nulla perché

soprattutto in intervalli temporali brevi significa che è equiprobabile che la variazione sia positiva o negativa,

quindi la variazione atteso è valido ex ante attendersi variazioni positive o negative. Mentre tra due anni

bisogna usare il concetto di indipendenze, perché se il mercato è efficiente il rendimento di un anno non è

correlato al rendimento del secondo per cui è possibile sommare media e varianza senza tenere conto della

covarianza o correlazione. 2

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Quando mettiamo insieme variabili casuali, la variabilità complessiva dipende dalla variabilità dei singoli

ingredienti e dalla variabilità dell’interazione tra le due, ma se le variabili sono indipendenti allora la

covarianza, ovvero l’interazione tra le due sarà nulla.

Per cui si potrà sommare il rendimento del primo anno e il rendimento del secondo. (sommo media e

varianza). Mentre la deviazione standard, espressa nella stessa unità di misura della variabile casuale, non

può essere sommata. Man mano che alla fine otteniamo un processo in tempo continuo, perché si

∆* → 0

andrà ad analizzare istante infinitesimi di tempo, per cui il processo è svolto continuamente.

Esempio Libro

Supponiamo che:

- Valore corrente (unica cosa mai incerta) di una certa variabile sia uguale a 10

!

#

- La distribuzione di probabilità della variazione di valore nel prossimo anno sia #(0,1).

La variazione di valore nei prossimi due anni è la somma di 2 variabili casuali normali, ciascuna delle quali ha

media nulla e deviazione standard pari a 1.

dato che la variabile è markoviana, le due variabili sono indipendenti tra loro. La somma di due variabili

à

indipendenti equivale ad una variabile con distribuzione normale con media pari alla somma delle medie e

varianza pari alla somma delle varianze. La variazione di valore nei prossimi due anni ha quindi media nulla

e varianza pari a 2.

Quindi la distribuzione probabilistica della variazione di valore della variabile casuale tra due hanno sarà

equivalente a con deviazione standard pari a

#(0,2), √2.

Generalizzando

Attenzione: nei processi markoviani le varianze delle distribuzioni sono additive, le deviazioni standard no!

FORMULA -> perché se si vuole analizzare la

à

volatilità multiperiodale, ovvero per più periodi, bisogna prendere la varianza del singolo periodo e

moltiplicarla per la radice dei periodi (ci fa riflettere che all’aumentare dell’orizzonte temporale il rischio non

aumenta linearmente, ma aumenta in funzione della radice quadrata del tempo).

I PROCESSI DI WIENER importante per l’incertezza

à

Punto di partenza, strumento tecnico per modellizzare l’incertezza dei prezzi azionari.

I processi di Wiener sono particolari processi Markoviani con variazione media nulla e tasso di varianza

unitario. Questo si compone di due elementi:

- processo stocastico con media nulla e varianza unitaria

5 3

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- radice quadrata del tempo

√∆*

Fattore rappresentativo dell’incertezza che è tanto più impattante maggiore è l’intervallo di tempo. Se si va

a campionare il prezzo oggi e tra 6 mesi possono capitare più cose. Non si può moltiplicare l’incertezza per il

numero di anni, ma per la radice della variazione del tempo.

Formalmente, si dice che una variabile stocastica, il cui valore segue un processo di Wiener, soddisfa le due

6

seguenti proprietà:

1. La variazione in un intervallo molto piccolo è:

∆6 ∆*

∆6 = 5√∆*

Dove è un’estrazione casuale da una normale standardizzata Da qui deriva dunque

5 #(0,1).

l’incertezza, in particolare si usa una normale standardizzata perché la più semplice.

Maggiore è e maggiore sarà l’incertezza.

∆*

implica che si distribuisce come una normale con:

∆6

à • media di ∆6 = 0 7[∆6] = 0

à

visibile per definizione, il valore atteso dei due fattori, l’intervallo di tempo sarà un

valore ma l’incertezza per definizione ha valore atteso nullo.

• varianza di ∆6 = ∆* à

In pratica quando guardiamo i processi di Wiener la varianza equivale al passare del

tempo.

• deviazione standard di ∆6 = √∆*

è linearmente collegata alla radice del passare del tempo.

2. I valori di in due qualsiasi intervalli sono indipendenti.

∆6 ∆*

implica che segue un processo di Markov.

6

à

Consideriamo ora non un singolo periodo ma le variazioni di valore di (z è la parte stocastica) in un

∆*, 6

periodo relativamente lungo, T. Questo periodo lo indichiamo con 6(') − 6(0).

La variazione complessiva dell’intero periodo è pari alla somma delle variazioni di in N piccoli intervalli di

6

tempo, ciascuno di lunghezza dove

∆*, '

(T)

6 − 6(0) = ; 5 √∆*

&

&(%

Dove sono estrazioni casuali da una distribuzione normale standardizzata (incertezza

5 = (< = 1, 2, … , >)

&

complessiva). '

Possiamo anche analizzarlo come la somma di N incrementi, dove .

> = ?

∆* (T)

Dalla proprietà 2 noi sappiamo che queste estrazioni sono indipendenti tra loro, per cui si

6 − 6(0)

distribuisce in modo normale con:

• (T)

Media di [6 − 6(0)] = 0

Coerente con l’assunzione per cui la distribuzione è normale standardizzata,

singolarmente i momenti hanno media zero quindi il valore atteso è la sommatoria

di singoli elementi nulli.

• (T)

Varianza di [6 − 6(0)] = >∆* = '

• (T)

Deviazione standard di [6 − 6(0)] = √' 4

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Fino ad ora abbiamo analizzato il tempo discreto, ora facciamo un passo avanti nel tempo continuo.

Dobbiamo andare ad effettuare la conversione dal mondo discreto a quello continuo per quanto riguarda

anche la simbologia. Dobbiamo trasformare l’espressione da a d e sono cambiamenti molto molto

∆ @6 @*

à

piccoli di e

6 *.

- Mentre possono essere mesi, è infinitesimo, un istante temporale.

∆* @*

- La variazione del prezzo nell’infinitesimo equivale @6

Rappresentazione grafica del prezzo nel tempo continuo, istante per istante:

Il processo di Wiener è il limite per nel processo di Quanto è piccolo, è molto più grande di

∆* → 0 6. ∆* √∆*

∆*.

Due proprietà dei processi di Wiener riguardano:

1. Il valore atteso della lunghezza del sentiero seguito da in un qualsiasi intervallo, è infinito.

6,

2. Il valore atteso del numero delle volte in cui è uguale ad un particolare valore, in un qualsiasi

6

intervallo, è infinito.

Un processo di Wiener semplice non ha drift.

Dobbiamo andare ad aggiungere la deriva, o drift per quanto riguarda i processi generalizzati, per cui si avrà

un andamento tendenziale rispetto al tempo. Infatti, il tasso di deriva è un coefficiente che descrive

l’andamento aleatorio, nel tempo, di una variabile finanziaria.

I PROCESSI DI WIENER GENERALIZZATI = elementi base, tuttavia i mercati e gli strumenti finanziari non sono

tutti così per cui bisogna considerare media non più nulla e varianza non più unitaria.

Fino ad ora abbiamo analizzato tale processo utilizzando il drift rate (tasso di deriva) pari a zero, e il variance

rate (tasso di varianza) pari a 1.

Il tasso di deriva nullo indica che il valore atteso di a ogni futuro istante di tempo è uguale al suo valore

6

corrente. Il tasso di varianza pari a 1 vuole dire che la varianza della variazione di in un intervallo di

6

lunghezza T è pari a 1xT.

Un processo di Wiener generalizzato per una variabile può essere così definito in termini di

A @6:

@A = B @* + D @6

Dove e sono due costanti.

B D

La variazione complessiva del prezzo del sottostante è data dalla somma di due componenti, ovvero il tasso

di variazione per ogni istante di tempo (tendenziale e deterministica) sommato ad una parte incerta in cui

ritroviamo il processo di Wiener, fondamentale come unità di misura, ma il parametro b è fondamentale

5

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come moltiplicatore dell’incertezza unitaria (quanti processi di Wiener sono necessari per calibrare

2

l’incertezza di un determinato titolo). Preso b equivale alla varianza del titolo.

Se andiamo a considerare separatamente le due componenti alla destra dell’uguale:

- indica che ha una variazione attesa, per unità di tempo, pari ad

B @* A B

à

Senza il termine si ha

D @6 @A = B @*

Da cui:

@A

? = B

@*

E integrando rispetto al tempo: A = A + B*

#

Dove è il valore di al tempo 0. Nell’intervallo T, aumenta in misura pari a

A A A B'.

#

- aggiunge variabilità al sentiero temporale seguito da La quantità di rumore o di variabilità

D @6 A.

à

è pari a volte un processo di Wiener.

D

La variazione di in un piccolo intervallo di tempo dal punto di vista discreto è

A, ∆A, ∆*,

∆A = B ∆* + D 5√∆*

Dove, come prima, è un’estrazione casuale da una distribuzione normale standardizzata. Pertanto, ha

5 ∆A

una distribuzione normale con

• Media ∆A = B ∆*

)

• Varianza ∆A = D ∆*

• Deviazione standard ∆A = D√∆*

Argomentazioni simili a quelle appena date mostrano che la variazione di valore di in un intervallo di tempo

A

T ha una distribuzione normale con:

• Media A = B ' )

• Varianza A = D '

• Deviazione standard A = D√'

Pertanto, il processo di Wiener generalizzato ha un tasso di deriva atteso (ossia una variazione attesa per

)

unità di tempo) pari ad e un tasso di varianza (ossia una varianza per unità di tempo) pari a .

B D

Quindi abbiamo qualcosa che unisce la parte deterministica con il drift rate (il prezzo aumenta con il

à

passare del tempo) e una parte stocastica in cui ritroviamo il processo di Wiener con un aggiustamento per

tener conto della volatilità del singolo titolo.

Quindi quando guardiamo il prezzo di un’azione che per esempio ha tra un anno la distribuzione di

! = 40,

#

probabilità parte da varianza = 100, se assumiamo che il processo sia Markoviano senza drift, per cui

! +

#

si avrà solo la seconda parte del processo di Wiener generalizzato, avremo che la variazione del prezzo del

sottostante è uguale a ma se ci aspettiamo che in media ogni anno il prezzo

F = 10, G--HIG ∗ @6,

√100

dell’azione cresca di 8 dollari l’anno avremo un drift, variazione = 8 dollari all’anno mo