Strumenti derivati (corso avanzato)

Strumenti derivati (avanzato)

Lezione 1 (08/02)

Proprietà fondamentali delle opzioni su azioni

Simbologia:

• c -> call europea
• C -> call americana
• p -> put europea
• P -> put americana
• S₀ -> prezzo di mercato dell’azione
• S_t -> prezzo dell’azione alla scadenza

Effetto delle variabili su call e put:

• S -> Il prezzo dell’azione sottostante ha una relazione positiva con le call e negativa con le put. Più alto è il prezzo del sottostante, più vale l’opzione e viceversa per le put.
• K -> Viceversa per il prezzo d’esercizio, è meglio avere una call ad un prezzo di 10 euro piuttosto che 1.
• T -> In linea di massima, più è lunga la durata, meglio è. Tuttavia, ci sono punti interrogativi perché, considerando i vari scenari, potrebbe verificarsi il pagamento dei dividendi durante la vita dell’azione. In questo caso, la relazione potrebbe non essere positiva.
• σ -> È il parametro più importante. Più alta è la volatilità, più vale l’opzione, in quanto consente un payoff asimmetrico. Se le cose vanno bene, puoi guadagnare fino a infinito, ma non puoi perdere più di quanto hai pagato inizialmente.
• r -> Nel caso delle call, si paga più tardi. Se i tassi sono più alti, è meglio, viceversa per le put.
• D -> L’effetto dividendi è negativo nel caso della call.

Le opzioni americane/europee

&Cge;C c P≥ p Le americane valgono almeno quanto le corrispondenti opzioni europee

Limiti superiori

Il limite superiore per il prezzo di una call europea o americana è il prezzo dell’azione, altrimenti ci sarebbe un arbitraggio vendendo la call e comprando l’azione. Il limite superiore per il prezzo della put europea o americana è il prezzo di esercizio, altrimenti ci sarebbe un arbitraggio vendendo la put e investendo il ricavato al tasso privo di rischio.

Limiti inferiori

Il limite inferiore è quello che si chiama valore intrinseco. Il prezzo di un’opzione è formato da due componenti: il valore intrinseco e il time value (o valore temporale dell’opzione). Il valore intrinseco nel caso di una call è la differenza tra il prezzo di mercato dell’azione e il prezzo d’esercizio attualizzato in capitalizzazione continua al tasso r per il periodo di durata.

≥ -rtc max (S – Ke, 0) 0

Facciamo un esempio: abbiamo un prezzo di esercizio di 18, un prezzo di mercato di 20 e un prezzo dell’opzione di 3.

-0.1x1$3 < $20 - $18e = 3.71

Ci sarebbe un’opportunità di arbitraggio se si compra la call e si vende l’azione (-3+20) e si investe per 1 anno = 18.79.

Nel caso di una put

≥ -rtp max (Ke - S, 0) 0

Esempio: abbiamo un prezzo di esercizio di 40, un prezzo di mercato di 37 e il prezzo della put di 1

-0.05x0.5$1 < $40e - $37 = 2.01

Ci sarebbe un’opportunità di arbitraggio se si prende a prestito $38 e si compra sia la put sia l’azione. Alla scadenza del prestito, il debito sarà $38.96.

Put – Call Parity

È la relazione che c’è tra il prezzo della put e il prezzo della call.

Facciamo un esempio:

• PORTAFOGLIO A: una call europea scritta su un’azione più il valore attuale del prezzo d’esercizio in denaro.
• PORTAFOGLIO B: una put europea scritta su un’azione più un’altra azione.

Entrambi valgono max (S, K) alla scadenza. Pertanto, devono avere lo stesso valore oggi.

Ne segue che: -rTc + Ke = p + S 0

Esercizio anticipato

In genere, c'è una qualche probabilità che un'opzione americana venga esercitata anticipatamente. Un'eccezione è data dalla call americana scritta su un titolo che non paga dividendi. Quest'opzione non dovrebbe mai essere esercitata anticipatamente. Di regola, non c’è interesse a farlo, ma se il titolo paga dividendi ci sarebbe interesse a farlo. Se esercito prendo il valore intrinseco ma perdo il time value (quel qualcosa in più del valore intrinseco), a questo punto è meglio venderla che esercitarla.

Motivi per cui non conviene esercitare anticipatamente una call americana scritta su un titolo che non paga dividendi:

• Non si sacrifica alcun reddito.
• Si posticipa il pagamento del prezzo d'esercizio.
• Si conserva il valore assicurativo del contratto (ci si assicura contro la possibilità che il prezzo dell'azione scenda al di sotto del prezzo d'esercizio).

Esercizio anticipato di una put

Conviene esercitare una put quando il S₀ = $60, T = 0.25, r = 10%, K = $100, D = $0 ??? La put è deep in the money: se esercitata vale K-S = $100 - $60 = $40. Una put americana che in qualsiasi momento della sua vita sia sufficientemente deep in the money dovrebbe essere sempre esercitata anticipatamente.

I limiti per i puts

Effetto dei dividendi (valore attuale dei dividendi)

Il limite inferiore per il prezzo di una call europea scritta su un titolo che paga dividendi è:

≥ -rtc max (S – D – Ke, 0) 0

Il limite inferiore per il prezzo di una put europea scritta su un titolo che paga dividendi è:

≥ -rtp max (Ke – S + D, 0) 0

Estensioni della put-call parity con i dividendi

Opzioni americane con D = 0

-rtS – K < C – P < S – Ke

Opzioni europee con D > 0

-rtc + D + Ke = p + S 0

Opzioni americane con D > 0

-rtS – D – K < C – P < S – Ke

Lezione 2 (10/02)

Alberi binomiali

Il prezzo corrente di un’azione: 20$.
Tra 3 mesi sarà pari a 22 o a 18 $. Immaginiamo un’opzione call che abbia prezzo di esercizio di 21 dollari con scadenza sempre tre mesi. Il valore finale dell’opzione se va a 22 è un euro, se invece va a 18 varrà 0 perché non verrà esercitata.

Come determiniamo il prezzo dell’opzione ad oggi (t₀)?

Alla radice della riflessione avremo il principio di assenza di arbitraggio (se i prezzi sono disallineati si verifica un arbitraggio) e l’altro approccio che seguiamo è l’utilizzo di un portafoglio privo di rischio, ho un rendimento pari al tasso privo di rischio. Ho un portafoglio che ha delta azioni sia corto di una call (vendo la call e compro un altro certo numero di azioni delta). Quanto varrà il portafoglio alla scadenza?

Se il prezzo va a 22 varrà:

Il portafoglio è privo di rischio se:

Il portafoglio privo di rischio è lungo di 0.25 azioni e corto su 1 call. Il valore del portafoglio tra 3 mesi sarà:

Se il tasso privo di rischio è del 12% il valore oggi sarà:

Ma il valore corrente delle 0.25 azioni è pari a:

Quindi il valore corrente della call è:

Abbiamo capito che il delta è molto importante, perché mi permette di calcolare il valore del portafoglio. Il valore del derivato deriva dal valore del sottostante.

Generalizziamo

Si consideri un titolo, con prezzo corrente S₀, e un’opzione con prezzo corrente f e scadenza al tempo T. Il prezzo dell’azione può salire o scendere:

Il valore al tempo T sarà:

Il portafoglio è privo di rischio se:

Ossia se:

Stiamo valutando la differenza delle possibili variazioni (per questo parlavamo priva di derivazione del derivato dal sottostante). Stiamo individuando quindi una relazione tra i due.

Il valore del portafoglio a T:

Il valore del portafoglio ad oggi è:

Un'altra espressione è:

Quindi:

Da cui:

Ossia:

Sostituendo delta otteniamo:

Dove p:

p è la probabilità di rialzo e di ribasso in un mondo neutrale al rischio, queste probabilità non riflettono la variazione attesa del prezzo dell’azione. Stiamo semplicemente calcolando come ci si muove al rialzo o al ribasso in un mondo neutrale. Il valore dell’opzione lo troviamo in funzione del valore dell’azione, non ci serve fare ipotesi quindi sui premi al rischio che vogliono gli operatori. Attenzione però perché le probabilità sono neutrali vs il rischio, non sono effettive, sono utili per la ns stima con il ns modello in cui siamo neutrali al rischio. Però i parametri che ho dentro sono parametri coerenti con questa situazione modellistica, quindi queste probabilità sono solo funzionali a fare la stima. Non sono le probabilità effettive che si determini un certo evento!!

Naturalmente il valore del derivato è pari al suo payoff atteso in un mondo neutrale verso il rischio attualizzato in base al tasso privo di rischio. Se le probabilità di rialzo e di ribasso sono p e 1-p, il valore atteso del prezzo dell’azione al tempo T, ossia:

Pertanto in un mondo neutrale verso il rischio ci si aspetta che il prezzo dell’azione cresca in base al tasso d’interesse privo di rischio. In base al principio della valutazione neutrale verso il rischio possiamo valutare i derivati calcolando il valore atteso del loro payoff in un mondo risk neutral per poi attualizzarlo in base al tasso privo di rischio.

Riesaminiamo l’esempio originale

Quindi dall’equazione si ottiene che p = 0.652

Allo stesso modo, per ottenere p, possiamo utilizzare la formula:

Dato che:

Il valore dell’opzione è pari a:

Quando si valuta un’opzione in termini dell’azione sottostante le probabilità di rialzo e di ribasso del mondo reale sono irrilevanti. Ne segue che anche il tasso di rendimento atteso dell’azione è irrilevante.

Esempio a due stadi

Il prezzo del titolo parte da 20 e in ciascuno dei due intervalli di tempo può salire o scendere del 10%. Ogni intervallo è:

Consideriamo una call con uno strike di 21 $.

Il valore della call al nodo b è:

Il valore della call al nodo A è:

Consideriamo una put con uno strike di 52$

Il valore della put al nodo A:

Se la put è americana, si deve verificare a ogni nodo se è conveniente l’esercizio anticipato.

Al nodo C, l’opzione non esercitata vale $9.4636 e 12$ in caso di esercizio anticipato. In questo caso l’esercizio anticipato conviene.

Il DELTA

Il delta è il rapporto tra la variazione del prezzo dell’opzione e la variazione del prezzo dell’azione sottostante. Il valore del delta varia da nodo a nodo.

Volatilità e scelta di u e d

Un modo per far sì che la volatilità sia coerente con quella del processo è quello di porre:

Dove è la volatilità e è la lunghezza dell’intervallo temporale. Questo è l’approccio seguito da Cox, Ross e Rubinstein.

Teorema di Girsanov

Quando passiamo da un mondo con un certo insieme di attitudini verso il rischio a un mondo con un altro insieme di attitudini verso il rischio, cambiano i tassi di crescita attesi delle variabili, ma restano inalterate le volatilità. Questa è un’illustrazione di un importante risultato generale noto come teorema di Girsanov. Possiamo quindi stimare la volatilità nel mondo reale e utilizzarla nel mondo neutrale verso il rischio. La volatilità non è influenzata dalla propensione al rischio degli operatori, è già catturata nei prezzi di mercato, la inseriremmo due volte altrimenti.

NB: NON VALE LA STESSA COSA PER LE PROBABILITÀ!!

Opzioni su altre attività

Nel caso di opzioni scritte su indici azionari, valute e futures, la procedura di costruzione degli alberi resta invariata, fatta eccezione per il calcolo di p (probabilità). La probabilità di rialzo è:

dove:

Conclusioni

Nel prosieguo del corso il nostro scopo sarà valutare i derivati e stabilire come coprire la posizione (fare il prezzo e come coprire la posizione). Il modello binomiale è il più semplice, considereremo modelli che ipotizzano una dinamica del prezzo del sottostante dell’azione più aderente a ciò che avviene nei mercati. Il principio di assenza di arbitraggio resterà centrale. Il prezzo e la strategia di copertura dipendono dal modello utilizzato e quindi dalle sue specifiche assunzioni.

Alberi binomiali e formula BSM

Lezione 3 (15/02)

Processi di Wiener e lemma di Ito

Il primo passo è quello di descrivere la dinamica dei prezzi dell’azione, in modo da poter superare un approccio che, a seconda del numero di nodi, finisce con l’imporre dei vincoli alla possibilità di variare il prezzo. Si può andare da un processo stocastico (cambiamento della variabile è incerto) che può essere a tempo discreto (i nodi e i vari stadi ci danno degli intervalli temporali) o a tempo continuo (se tendono all’infinito al limite), anche a variabile continua (la variabile può assumere i vari valori tra i diversi valori, si può procedere con un’interpolazione di tipo lineare) invece che a variabile discreta.

Quello che noi facciamo è far tendere a 0 gli intervalli di tempo in modo che il processo sia a tempo e a variabile continua. Questo processo è utile per descrivere il comportamento del prezzo delle azioni. Anche le variazioni del prezzo sono a carattere discreto, ma possono essere descritte da un processo stocastico e a variabile continua. Noi dobbiamo valutare se quella semplificazione è corretta.

In un processo markoviano i futuri movimenti di una variabile dipendono solo da dove ci troviamo, non dalla storia che ci ha condotto a dove ci troviamo. Noi assumeremo che i prezzi delle azioni seguano un processo Markoviano.

I dati di trend consentono di osservare il comportamento che in passato hanno avuto in certi momenti gli operatori, serve innanzitutto quindi per comprendere la storia. Inoltre, nel brevissimo termine, le analisi colgono i flussi di domanda, quindi ci consente di capire nel breve cosa succede.

Quindi l’analisi tecnica non funziona perché i mercati sono efficienti almeno in forma debole, ma non è proprio da buttare. I processi di Markov per i prezzi delle azioni sono coerenti con l’ipotesi di efficienza dei mercati in forma debole.

Un altro aspetto è che le variazioni sono indipendenti l’uno dall’altra; in questo quadro, le varianze sono additive e le deviazioni standard non sono additive. Per esempio, il prezzo di un’azione tra un anno, distribuito in modo normale (con distribuzione simmetrica al rialzo e al ribasso) con media 40 e deviazione standard 10. Possiamo dire che la varianza è 100, ma la deviazione standard per anno non è 10 (perché non sono additive).

Un particolare processo markoviano è il processo di Wiener secondo il quale una variabile, ad esempio z, in piccolo intervallo di tempo (Delta t) si dice che segue un processo di Wiener se ha una variazione: Cioè ha una distribuzione normale con un termine diffusivo o termine di errore attorno al trend () che cresce all’allungarsi dell’orizzonte temporale ma meno che unitariamente (inferiore all’unità). In un processo di Wiener le variabili sono indipendenti e quindi i valori di Delta z in due intervalli di tempo successivi Delta t e Delta t+1 sono tra di loro indipendenti. Quindi è un processo in cui la media è 0, la varianza è t e la deviazione standard è . Ciò significa che z è una martingala perché l’espected è 0 e la distribuzione della variabile è definita dalla media e dalla deviazione standard. Questo è un modello che ci può descrivere adeguatamente la dinamica del prezzo delle azioni.

È necessario essere però più precisi, il processo ha un drift rate pari a 0 (la media delle variazioni per unità di tempo è nulla) e un variance rate pari a 1 (la varianza delle variazioni per unità di tempo è unitaria). Noi possiamo anche immaginare che questo processo sia definito da costanti arbitrarie, che possiamo estrarre da analisi fuori dal modello, che ci consentono di definire il drift rate e il variance rate (entrambi possono essere definiti da costanti che indichiamo con a e b). In un processo di Wiener generalizzato la variabile x segue un processo che ha un drift rate pari ad a e con un variance rate pari a b^2 e quindi:

Quest’approccio non è altro che l’analoga espressione che avremmo avuto nel discreto Delta z e Delta t, portando al limite Delta t che tende a 0. Quindi il calcolo stocastico e quello ordinario sono analoghi.

Il prezzo di un’azione è 40 e la sua distribuzione di probabilità è 40 media e 100 varianza. Se assumiamo che sia senza drift e che ds= 10 dz. Ci aspettiamo che il prezzo dell’azione cresca in media 8 euro l’anno con una probabilità che diventa (48;100) allora ds= 8dt + 10dz.

Processi stocastici per le azioni

Il processo di Wiener generalizzato può funzionare per le azioni ma non per modellizzare la dinamica del prezzo, ma modellizzare la dinamica delle variazioni del prezzo e quindi del rendimento delle azioni, perché altrimenti il prezzo sarebbe dipendente dal valore assoluto del prezzo delle azioni.