Strumenti derivati (corso avanzato)

La volatilità di prezzo e di tasso

Dove D è la duration (modificata) del titolo alla scadenza dell'opzione. Pertanto, la volatilità di prezzo è legata alla volatilità di tasso dalla relazione: σ = D y σB 0 y 75 dove σ è la volatilità di prezzo, σ è la volatilità di tasso e y è il valore corrente di y. Spesso viene quotata σ piuttosto che σB y 0 F.

Giustificazione Teorica

In un mondo definito da un numerario pari al prezzo spot di uno zero-coupon bond con scadenza al tempo T, il prezzo di una bond call è P(0, T) E [max(B - K, 0]. Inoltre, E (B ) = F. Queste considerazioni portano al modello di Black.

Caps e Floors

Il cap è un portafoglio di calls scritte su un tasso d'interesse, in genere il Libor. Il cap associato a un finanziamento a tasso variabile assicura che il tasso d'interesse da pagare non superi un certo livello. Il payoff del cap in t è Lδ max(R -

R, 0), dove L è il capitale, δ = t – t, R è il cap ratek+1 k k K k k+1 k Ke R è il tasso d’interesse in t per il periodo (t, t).k k k k+1

Il floor è un portafoglio di puts scritte sul Libor. Il payoff del floor in t è Ld max(R – R, 0).k+1 k K k

Caplets

Il cap è un portafoglio di caplets. Ogni caplet può essere considerato come una call, scritta su un tasso d’interesse, il cui payoff è pagatoposticipatamente. Quando si utilizza il modello di Black, si assume che il tasso d’interesse sottostante ogni caplet sia log-normale.

Modello di Black per i Caplets –δL P(0, t) [F N(d) – R N(d)]+k k 1 k 1 K 2+ 2σln(F/R) t/2= = –σk K k kd e d d t1 2 1 k k

σ tk k

• F: forward zero rate per il periodo (t, t).k k k+1

• L: capitale.

• δ = t – t.k k+1 k

• σ: volatilità dello zero rate relativo al periodo (t, t).k k

k+1• R : tasso cap.KP(0,t ) va calcolato in base alla OIS zero curve. F è il tasso Libor forward su cui è scritto il caplet.

k+1 kValore di un CapQuando si valutano i caps con il modello di Black si possono seguire due metodi:

• usare una diversa volatilità per ciascun caplet (queste volatilità sono dette spot volatilities);
• usare la stessa volatilità per tutti i caplets di cui è composto un cap, variandola in funzione della vitadel cap (queste volatilità sono dette flat volatilities).

Giustificazione TeoricaIn un mondo definito da un numerario pari al prezzo di uno zero-coupon bond con scadenza al tempo t , ilk+1prezzo del caplet è Lδ P(0, t )E [max(R – R , 0]. Inoltre, E (R ) = F .k k+1 k+1 k K k+1 k kQueste considerazioni conducono al modello di Black. 76Tassi d’Interesse NegativiI caplets e i floorlets possono essere valutati sostituendo F con F + s e R con R + s, dove s è uno spread.k k

option) è un'opzione per scambiare un'obbligazione a tasso fisso con una a tasso variabile. All'inizio dello swap l'obbligazione a tasso variabile quota alla pari cosicché la swaption può essere vista come un'opzione per scambiare un'obbligazione a tasso fisso alla pari. Un'opzione su uno swap in cui si paga il fisso e si riceve il variabile è una put sull'obbligazione a tasso fisso con un prezzo d'esercizio alla pari. Un'opzione su uno swap in cui si paga il variabile e si riceve il fisso è una call sull'obbligazione a tasso fisso con un prezzo d'esercizio alla pari. Le swaptions possono essere valutate sostituendo s e s con s + s e s + s, rispettivamente. F K F K * Un'alternativa è quella di utilizzare il "modello normale di Bachelier" dove ds = σ dzF In tal caso il valore di una swaption che dà il diritto a pagare s è K - s s = F Kd-

+ * 'σL A [( s s ) N ( d ) T N ( d ) *σ TdoveF Ke il valore di una swaption che dà il diritto a ricevere s èK− − + * 'σL A [( s s ) N ( d ) T N ( d )K FAggiustamenti per la Convessità, il Timing e i QuantosPrezzi Forward e Tassi Forward⚫ Il tasso forward di un’obbligazione è il tasso di rendimento calcolato in base al prezzo forward.⚫ La relazione tra tassi e prezzi non è lineare.⚫ Quando il prezzo forward di un’obbligazione è uguale al valore atteso del suo futuro prezzo spot, iltasso forward non è necessariamente uguale al valore atteso del futuro tasso spot.⚫ Per convertire un tasso forward nell’appropriato valore atteso del futuro tasso spot è necessario unaggiustamento per la convessità.Aggiustamento per la Convessità⚫ Si consideri un derivato che dipende dal tasso, y , di un’obbligazione.T⚫ Sia G (y ) il prezzo dell’obbligazione,

y il tasso forward al tempo 0, σ la volatilità del tasso forward.

La differenza tra il tasso atteso e il tasso forward1 G ' ' ( y )− 2 2σ Fy TF y2 G ' ( y )FÈ nota come Aggiustamento per la Convessità 78Aggiustamento del Tasso Swap

La stessa formula può essere usata per il forward swap rate.In questo caso G(y) è il prezzo di un titolo con un tasso cedolare uguale al forward swap rate.

ESEMPIO:

⚫ Un derivato offre tra 10 anni il prodotto tra lo zero rate a 1 anno (composto annualmente) e $1.000.

⚫ La volatilità dello zero rate è del 20%.

⚫ 10La yield curve è piatta al livello del 4% (composto annualmente), per cui P(0, 10) = 1/1,04 = 0,6756.

⚫ L’aggiustamento per la convessità è di 6,15 p.b.:  2 20,04 0, 20 1 10 = 0, 000615+ 1 0, 04 1Il valore del derivato è ( )   + =0,6756 $1.000 1 0,04 0,000615 $27, 44.

Aggiustamento temporale⚫ In un mondo

Definito dal numerario P(0, T), il valore atteso di una variabile V osservata in T, il cui payoff è in T, è pari a 2 -ρσσR(TT)-VRVRFTT+1=1R/mE(V)E(V)eFTTT2 1 1 1 dove R è il tasso forward per il periodo (T, T), composto m volte l'anno, σ è la volatilità di V, σ è la volatilità di R, e ρ è la correlazione istantanea tra V e R.

QUANTOSI quantos sono derivati il cui valore finale è definito sulla base di variabili misurate in una valuta e pagate in un'altra valuta. Un esempio è rappresentato da un contratto il cui valore finale è pari a S - K dollari ($), dove S è l'indice Nikkei misurato in yen (¥).

Differential swaps I diff swaps appartengono alla categoria dei quantos. Il tasso variabile dei diff swaps è denominato in una certa valuta ma viene applicato a un capitale.