Strumenti derivati (corso avanzato)

Strumenti derivati

Andrea Greci

greci.andrea@yahoo.it

Università Cattolica del Sacro Cuore

Febbraio 2021 - Maggio 2021

Indice

• Capitolo 14: Processi di Wiener e Lemma di Itô 6
• 14.1 Processi di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 14.2 Processi di Wiener (moti Browniani) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 14.3 Processi di Wiener Generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 14.4 Processi di Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 14.5 Processi di Itô per il prezzo delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 14.6 Lemma di Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• Capitolo 15: Modello Black-Scholes-Merton 9
• 15.1 Rendimenti discreti e rendimenti continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 15.2 Rendimenti attesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 15.3 Log-normalità dei prezzi delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 15.4 La distribuzione del tasso di rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 15.5 Volatilità storiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 15.6 Concetti sottostanti il modello di Black-Scholes-Merton . . . . . . . . . . . 12
• 15.7 Equazione differenziale fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 15.8 Applicazione dell’equazione BSM su un contratto forward . . . . . . . . . . 13
• 15.9 Formule Black-Scholes-Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 15.10 Valutazione neutrale al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 15.11 La probabilità di esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 15.12 Le proprietà delle formule di BSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 15.13 Volatilità implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 15.14 Dividendi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 15.15 Approssimazione di Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• Capitolo 17: Opzioni su indici azionari e valute 18
• 17.1 Opzioni su indici azionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 17.2 Opzioni europee su azioni con dividend yield noto . . . . . . . . . . . . . . 18
• 17.3 Opzioni europee su indici (formula alternativa) . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 1
• 17.4 Opzioni europee su valute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 17.5 Range forwards (o collar a costo nullo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 17.6 Opzioni americane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• Capitolo 18: Opzioni su futures e Modello di Black 22
• 18.1 Opzioni su futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 18.2 Put-Call Parity e limiti inferiori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 18.3 Modello di Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 18.4 Valutazione con gli alberi binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 18.5 Opzioni Futures-Style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 18.6 Una formula generale di pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• Capitolo 19: Lettere Greche 26
• 19.1 Strategie di copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 19.2 Il Delta ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 19.3 Il Theta Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 19.4 Il Gamma Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 19.5 Relazione tra Delta, Theta e Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 19.6 Il Vega V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 19.7 Il Rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 19.8 Portfolio insurance e opzioni sintetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 19.9 Rappresentazioni delle Greche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• Capitolo 20: Volatility Smiles 33
• 20.1 Put-Call Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 20.2 Volatility smiles/skew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 20.3 Rappresentazione dello smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 20.4 Superfici delle volatilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 20.5 Delta a varianza minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• Capitolo 21: Procedure numeriche 37
• 21.1 Alberi binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 2
• 21.1.1 Backward induction (induzione a ritroso) . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 21.1.2 Stima del delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 21.1.3 Stima del gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 21.1.4 Stima del theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 21.1.5 Stima del vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 21.2 Alberi binomiali per opzioni su indici, valute e futures . . . . . . . . . . . . 40
• 21.3 Alberi binomiali per titoli che pagano dividendi . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 21.3.1 Dividend yield noto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 21.3.2 Dividendi noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 21.3.3 Tecnica della variabile di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 21.4 Metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 21.4.1 Applicazioni del Metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 21.4.2 Lettere Greche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• Capitolo 25: Derivati creditizi 45
• 25.1 Credit default swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 25.2 CDS e bond yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 25.3 La valutazione dei CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 25.4 Mark-to-market di un CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 25.5 Probabilità di insolvenza implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 25.6 Binary CDSs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 25.7 Indici creditizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 25.8 Tasso cedolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 25.9 CDS forwards e CDS options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 25.10 Basket CDSs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 25.11 Total return swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 25.12 Asset-backed securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 25.13 Collateralized debt obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• Capitolo 26: Opzioni esotiche 56
• 26.1 Packages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 3
• 26.2 Opzioni americane fuori standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 26.3 Gap options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 26.4 Opzioni binarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 26.5 Opzioni forward start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 26.6 Opzioni chooser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 26.7 Opzioni lookback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 26.8 Opzioni shout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 26.9 Opzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 26.10 Opzioni con barriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 26.11 Opzioni asiatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 26.12 Opzioni di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• Capitolo 29: Derivati su tassi di interesse 66
• 29.1 Opzioni su obbligazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 29.1.1 Opzioni europee su obbligazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 29.1.2 Volatilità dei tassi di rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 29.2 Caps su tassi di interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 29.3 Floors su tassi di interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 29.4 Collars su tassi di interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 29.5 Valutazione di caps e floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
• 29.6 Swaptions europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
• 29.6.1 Tasso del forward swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
• 29.6.2 Valore delle swaption europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
• 29.7 Gestione dei rischi dei derivati di tasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 29.7.1 Portafogli equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 29.7.2 Relazione tra swaption e opzioni su titoli obbligazionari . . . . . . . 75
• Capitolo 31: Modelli di equilibrio del tasso a breve 76
• 31.1 Modelli a un fattore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 31.1.1 Il modello di Rendleman e Bartter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 31.1.2 Il modello di Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 4
• 31.1.3 Il modello di Cox, Ingersoll e Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 31.1.4 Proprietà del modello di Vasicek e del modello CIR . . . . . . . . . 80
• 31.2 Dinamica del prezzo di uno zero coupon bond . . . . . . . . . . . . . . . . 81
• 31.3 Mondo reale e mondo neutrale verso il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 5

Capitolo 14: Processi di Wiener e Lemma di Itô

14.1 Processi di Markov

In un processo Markoviano i futuri movimenti di una variabile dipendono solo da dove ci troviamo, non dalla storia che ci ha condotto in quel punto. I rendimenti sono indipendenti nel tempo. Assumiamo dunque che i prezzi delle azioni seguano un processo Markoviano.

Se una variabile segue un processo stocastico Markoviano, la distribuzione probabilistica della variazione di valore in un periodo di lunghezza T è φ(0, T) e in un periodo di lunghezza ∆t è uguale a φ(0, ∆t), dove φ(m, v) indica una funzione di densità di una normale di media m e varianza v. Nei processi Markoviani le varianze (e non le deviazioni standard) sono additive.

14.2 Processi di Wiener (moti Browniani)

La variabile z segue un processo di Wiener se soddisfa due proprietà:

• Proprietà 1: la variazione ∆z in un piccolo intervallo ∆t è √∆z = ε ∆t dove ε è un’estrazione casuale da una normale standardizzata φ(0, 1).
• Proprietà 2: i valori di ∆z in due intervalli ∆t (non sovrapposti) sono indipendenti.

La Proprietà 1 implica che ∆z ∼ φ(0, ∆t), dunque E[∆z] = 0 e Var[∆z] = ∆t.

La Proprietà 2 implica che z segue un processo di Markov.

La variazione di z in un intervallo T: N √ X − z(T) z(0) = ε ∆t i i=1 con un numero di intervalli di lunghezza ∆t pari a: T N = ∆t.

− z(T) z(0) si distribuisce in maniera normale con:

• − E[z(T) z(0)] = 0 T
• − Var[z(T) z(0)] = N ∆t = ∆t = T ∆t
• − SD[z(T) z(0)] = √T 6

14.3 Processi di Wiener generalizzati

Un processo di Wiener generalizzato per una variabile x può essere definito in termini di dz come: dx = a dt + b dz dove a è il drift e b è il noise.

La variazione di x in un piccolo intervallo di tempo ∆t è: √∆x = a ∆t + b ε ∆t dove ∆x si distribuisce in maniera normale con:

• E[∆x] = a ∆t
• Var[∆x] = b² ∆t
• SD[∆x] = b √∆t

In un intervallo T: √ T ∆x = a T + b √p pertanto E[∆x] = a T e la deviazione standard Var[∆x] = b √T.

14.4 Processi di Itô

In un processo di Itô, il drift e la varianza sono funzioni della variabile sottostante x e del tempo t: dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz dove i parametri a e b possono cambiare nel tempo.

In tempo discreto: √∆x = a(x, t) ∆t + b(x, t) ε ∆t.

14.5 Processi di Itô per il prezzo delle azioni

In tempo continuo, se il tasso di varianza del prezzo dell’azione è nullo:

dS = μ S dt

dS = μ dt S

μT S = S e T 0 7

Se il tasso di varianza del prezzo dell’azione non è nullo:

dS = μ S dt + σ S dz

dS = μ dt + σ dz S

Modello in tempo discreto: √∆S = μ S ∆t + σ S ε ∆t.

√∆S = μ ∆t + σε ∆t S

∆S ∼ φ(μ ∆t, σ² ∆t) S

L’intervallo di confidenza per il prezzo delle azioni è dato da: ± · μ Z σ x α x α − IC: 90% ⇒ 1 = 0.950 ⇒ Z = 1.65 α 2 α − IC: 95% ⇒ 1 = 0.975 ⇒ Z = 1.96 α 2 α − IC: 99% ⇒ 1 = 0.995 ⇒ Z = 2.58 α 2 α − . dove Z è il quantile della Normale di ordine 1 α 2.

14.6 Lemma di Itô

Se una variabile x segue un processo di Itô dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz in base al lemma di Itô, la funzione G(x, t) segue il processo 2 ∂G ∂G 1 ∂G ∂G² dG = a + + b dt + b dz 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x.

Pertanto anche G(x, t) segue un processo di Itô con:

• ∂G ∂G ∂G 1 ² tasso di deriva: a + + b² ∂x ∂t 2 ∂x
• ∂G ² tasso di varianza: ( ) b ∂x

Il processo seguito da una funzione G(S, t) è 2 ∂G ∂G 1 ∂G ∂G^{2 2} dG = μS + + σ S dt + σS dz 2 ∂S ∂t 2 ∂S ∂S 8.

Capitolo 15: Modello Black-Scholes-Merton

15.1 Rendimenti discreti e rendimenti continui

Rendimenti discreti (R): −S S ∆S t t−1 R = = S S t−1.

Rendimenti continui (r): S t − r = ln = ln(S) ln(S) t t−1 S t−1.

Evoluzione: S = S (1 + R) t t−1 r S = S e t t−1.

15.2 Rendimenti attesi

Media aritmetica dei rendimenti: N R X i μ = N i=1.

Media geometrica dei rendimenti: v N u 2 σ u Y N − μ̄ = R̄ = R = μ t i 2 i=1.

15.3 Log-normalità dei prezzi delle azioni

La distribuzione dei rendimenti in tempo discreto: ∆S ∼ φ(μ ∆t, σ² ∆t) S dove φ(m, v) indica una distribuzione normale con media m e varianza v.

Sia G = ln(S), si ha che 2 ∂G 1 ∂G 1 ∂G − = = = 0 2 2 ∂S S ∂S S ∂t.

Per il lemma di Itô, il processo seguito da G è 2 σ − dG = μ dt + σ dz 2 9.

Dato che μ e σ sono costanti, questa equazione indica che G segue un processo di Wiener σ² − e tasso di varianza σ². generalizzato con tasso di deriva μ 2.

Pertanto la distribuzione dei rendimenti in tempo continuo (i log-rendimenti): 2 S σT ² − ∼ − ln S ln S = ln φ μ T, σ T T 0 S 2 0 e (i log-prezzi) 2 σ ² ∼ − T, σ T ln S φ ln S + μT 0 2.

Dato che ln(S) è normale, S è distribuito come una log-normale. T T.

In base alle proprietà delle distribuzioni log-normali, si può dimostrare che il valore atteso di S è dato da T μT E(S) = S e T 0 e la varianza di S è data da T 22 2 μT σ T − Var(S) = S e (e 1) T 0.

15.4 La distribuzione del tasso di rendimento

Sia η il tasso di rendimento annuo (composto continuamente) relativo al periodo tra 0 e T, ne segue che ηT S = S e T 0 dove 1 S T ln η = T S 0.

Per la distribuzione dei log-rendimenti, risulta che 2 2 σ σ ∼ − η φ μ, 2 T.

All’aumentare di T la deviazione standard diminuisce.

15.5 Volatilità storiche

La volatilità è la deviazione standard del tasso di rendimento (composto continuamente) relativo a un periodo di un anno. Dalla distribuzione dei rendimenti in tempo discreto si ha che la varianza è pari a σ² ∆t 10 pertanto la deviazione standard è pari a √σ ∆t.

Dalla volatilità giornaliera σ alla volatilità annuale σ: d y √ r 1 ∆t = σ σ = σ y d y 252.

Dalla volatilità annuale σ alla volatilità giornaliera σ: y d √ σ σ d d √ = σ = = σ 252 y d q ∆t 1 252.

Di solito la volatilità è maggiore quando i mercati sono aperti piuttosto che quando sono chiusi, per questa ragione, quando si valutano le opzioni, si misura il tempo in “giorni di negoziazione” piuttosto che in giorni di calendario (75 ≈ ). 252 365.

Per stimare la volatilità del prezzo di un’azione si può utilizzare la serie storica dei suoi tassi di variazione. Siano S, S, ..., S i prezzi osservati in τ anni, u il tasso di 0 1 n i rendimento composto continuamente S i u = ln i S i−1 e s la deviazione standard delle u i v n u 1 X u ² − s = (u ū) t i − n 1 i=1 v n n ² u 1 1 X X u ² − = u u t i i − − n 1 n(n 1) i=1 i=1 √τ. Pertanto, dato che la variabile s è una stima della deviazione stan