Strumenti derivati (corso avanzato)

Opzioni europee su obbligazioni

Il prezzo a termine di un'obbligazione converge al prezzo spot al tempo T e la volatilità di F è costante (F = F; σ = σ).

Sia P(t, T) il prezzo al tempo t di uno zero coupon bond che paga 1 al tempo T (si tratta del fattore di sconto e), le opzioni europee su obbligazioni sono pari a:

-c = P(0, T)[F N(d1) - K N(d2)]

-p = P(0, T)[K N(-d1) - F N(-d2)]

d1 = (2ln(F/K) + σ^2T/2) / (σ√T)

d2 = d1 - σ√T

In queste formule K rappresenta il prezzo di esercizio effettivo:

• se il prezzo d'esercizio viene definito come "prezzo tel quel" (prezzo effettivo o dirty price), si pone K uguale al prezzo di esercizio;
• se il prezzo d'esercizio viene definito come "prezzo secco" (clean price), si pone K uguale al prezzo di esercizio maggiorato degli interessi maturati.

alla data di scadenza dell'opzione. Il prezzo forward di un'obbligazione può essere calcolato come:
-B I0F =B P (0, T )
dove B è il prezzo spot dell'obbligazione e I è il valore attuale delle cedole che verranno pagate durante la vita dell'opzione. In questa formula sia F che B sono prezzi effettivi e non prezzi quotati (sul mercato obbligazionario i prezzi si quotano a corso secco).

29.1.2 Volatilità dei tassi di rendimento
Nel modello di Black si assume che la volatilità sia costante, mentre nella realtà la volatilità dei bond ha una forma "a ponte" (bridge shape), dove la deviazione standard è nulla nel punto in cui l'obbligazione viene emessa e/o scade (Figura 15).
Figura 21: Volatilità del logaritmo del prezzo e del prezzo forward di un'obbligazione
La volatilità in input del modello è la volatilità dei prezzi forward. Le volatilità che sono solitamente quotate per le opzioni obbligazionarie sono

volatilità dei rendimenti(o di tasso, forward yield volatilities), piuttosto che le volatilità dei prezzi. Pertanto, ènecessario convertire le yield volatilities in price volatilities.

La relazione tra il prezzo forward del titolo F e il suo tasso di rendimento forwardBy alla scadenza dell’opzione èF ∆F B −D= ∆ y FFBda cui ∆F ∆yB F≈ −D yFF yB Fdove D è la duration modificata del titolo alla scadenza dell’opzione.

Pertanto, la volatilità del prezzo forward σ è legata alla volatilità del corrispondenteFtasso forward σ dalla relazioney σ = D y σB 0 ydove y è il valore iniziale di y .

0 F29.2 Caps su tassi di interesseGli interest rate caps sono delle opzioni su tassi di interesse che forniscono protezione, achi contrae un prestito a tasso variabile, sulla possibilità che i tassi di interesse superinoun certo livello (cap rate).Si consideri un cap di T anni con valore nozionale L e tasso cap R . Le date

diKrevisione sono t , t , ..., t e t = T . Il pagamento offerto dal cap al tempo t (con1 2 n n+1 k+1k = 1, ..., n) è pari a −L δ max(R R , 0)k k K−dove δ = t t e R è il tasso in t per il periodo tra t e t .k k+1 k k k k k+1L’equazione rappresenta il valore finale di una call scritta su R (Libor osservato inkt ) con scadenza t (i caps non prevedono alcun pagamento per la prima scadenza, datok k+1che in t = 0 i tassi sono noti e non c’è incertezza all’inizio del contratto). Pertanto, il cappuò essere visto come un portafoglio di n calls (chiamate anche caplets) scritte sul Liborin t , t , ..., t con scadenza t , t , ..., t .1 2 n 2 3 n+1I caps possono anche essere visti come portafogli di puts, con scadenza uguale alladata di esercizio, scritte su zero-coupon bonds.6929.3 Floors su tassi di interesseGli interest rate floors sono delle opzioni su tassi di interesse che forniscono protezione, achi contrae un prestito a tasso variabile,

limitiinferiori e dei limiti superiori ai tassi di interesse dei prestiti a tasso variabile. Di solitoi collars vengono costituiti in modo che il valore iniziale del cap sia uguale a quello delfloor, cosı̀ da rendere nullo il costo del contratto (ZCC, zero-cost collar).Ciascuno dei precedenti contratti (cap e floor) viene stipulato in t e per tutta la0durata c'è una rilevazione anticipata del tasso e una liquidazione posticipata del flusso.

Figura 22: Collars su tassi di interesse

7029.5 Valutazione di caps e floors

Come si è visto, il cap è un portafoglio di n caplets, dove ogni caplet è una call option sul valore futuro del tasso Libor. Allo stesso modo, il floor è un portafoglio di n floorlet, dove ogni floorlet è una put option sul valore futuro del tasso Libor.

Per utilizzare il modello di Black bisogna assumere che la distribuzione dei tassi forward sia lognormale. Pertanto, in ogni intervallo (t , t ), il valore di un caplet è k k+1 -L δ P (0, t ) F N

(d ) R N (d )k k+1 k 1 K 2e il valore del corrispondente floorlet è −L δ P (0, t ) R N (−d ) F N (−d )k k+1 K 2 k 1dove 2 t /2ln(F /R ) + σ kk K k√d =1 σ tk k √2−ln(F /R ) σ t /2k K kk√ −d = t= d σ2 k1 kσ tk k −rTF è il tasso forward tra (t , t ) osservato in t e P (0, t ) = e .k k k+1 0 k+1Ogni caplet (e floorlet) viene valutato separatamente con la formula precedentementeindicata. Si hanno due opzioni sul parametro di volatilità da utilizzare:• con le spot volatilities, le volatilità sono specifiche (e potenzialmente diverse) perogni caplet all’interno di un cap;• con le flat volatilities, le volatilità sono le stesse per ogni caplet all’interno di undeterminato cap (ma variano in base alla durata del cap).Put-Call Parity: −Tabella 1: Swap lungo = Cap lungo F loor cortoR < R = S R < R = SK Kk k −Long cap 0 (R R )Kk−(R −Short f loor R

) 0Kk− − −+Cap F loor (R R ) (R R )K Kk k− −Long swap (R R ) (R R )K Kk kL’equivalenza finanziaria richiede che lo swap non abbia il primo pagamento (diversamentedalla prassi di mercato) e che sia il cap che il floor abbiano lo stesso prezzo di esercizio.7129.6 Swaptions europee

Le swaptions (o swap options) danno al portatore il diritto di entrare, a una certa data,su un interest rate swap. Esistono due tipologie di swaption:

• dove si ha il diritto di pagare un tasso fisso e ricevere il Libor (acquistare uno swap).
• dove si ha il diritto di ricevere un tasso fisso e pagare il Libor (vendere uno swap).

A differenza del forward swap (o deferred swap), nella swaption il possessore non è obbliga-to ad entrare nello swap, ma deve costenere dei costi iniziali dovuti al premio dell’opzione.Con le swaptions però, si ha la possibilità di beneficiare dei movimenti favorevoli dei tassidi interesse e di acquisire protezione dai movimenti

un bond a tasso variabile). Eguagliando la parte variabile e la parte fissa si ha -1NX - r(T - t) - r(T - t) - r(T - t) · - · -s(t) (T T ) e = e e0i+1 Ni+1 ii=0 che implica -r(T - t) - r(T - t) - −e e P (t, T ) P (t, T )0 N 0 Ns(t) = -1N A(t)P - (T T )i+1 ii=0 72

Figura 23: Il valore della gamba variabile

29.6.2 Valore delle swaption europee

Quando si valutano le swaption europee si assume che il tasso di swap sia log-normale. Si consideri un’opzione su swap che dia il diritto di entrare, tra T anni, in uno swapa n anni in cui si paga il tasso fisso s e si riceve il Libor. Il capitale nozionale dello swap Kè pari a L e il numero di pagamenti in un anno è pari a m. Supponendo che ogni pagamento fisso sia pari al prodotto tra il tasso fisso s e L/m Ke che, alla scadenza della swaption, il tasso swap sia pari a s (tasso fisso e tasso variabileT sono composti m volte l’anno), il