Strati Limite - flussi laminari viscosi

Strato limite incomprimibile

Il problema dello strato limite può essere risolto con tre metodologie differenti:

• Risoluzione numerica delle equazioni dello strato limite;
• Equazioni integrali dello strato limite (metodo approssimato);
• Assumendo profili "autosimili" (2-D- similarity methods).

Ipotesi:

• Flusso incomprimibile, stazionario e viscoso
• Modello bidimensionale
• Forze di volume nulle
• Superficie a curvatura nulla o dolce

Le equazioni dello strato limite sono:

∂u/∂x + ∂v/∂y = 0
u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y) = ν(∂²u/∂y²)

Conseguenza fondamentale è che la pressione è costante in direzione trasversale allo strato limite: p(x, y) = p(x)

Lo strato limite contiene il 99% di vorticità del campo fluidodinamico. All’esterno di esso dunque il flusso è considerabile come irrotazionale e dunque il principio di Bernoulli in forma differenziale stabilisce la variazione della pressione lungo il moto (non dipendendo da y), come segue:

∂p/∂x = -ρU(∂U/∂x)

N.B. Relazione valida per flusso stazionario (con forze di volume nulle).

L’equazione di continuità di massa ci dice che il flusso è solenoidale (∇·V = 0 in tutto il campo), e cioè che la componente verticale del flusso dipende dalla variazione della componente parallela alla parete. Ovvero:

v(x, y) = v(0) - ∂ψ/∂x = 0 con (impenetrabilità)

∫∂u/∂y dy = -∫0^x(∂u/∂x) dx

Ovvero: se il flusso potenziale accelera, la componente verticale tende a schiacciare lo strato limite. Se invece decelera, lo spessore tende ad aumentare. Dunque, per il principio di Bernoulli:

∂p/∂x > 0 (Gradiente Avverso) induce al distacco dello strato limite!

Quando il gradiente di pressione è "avverso" nel profilo di velocità è sempre presente un flesso!

N.B. Il flusso potenziale variabile si presenta, per esempio, in un condotto a sezione variabile, di espansione o compressione, quando il flusso incide un profilo angoloso, quando impatta una parete ad esso perpendicolare, oppure all’entrata in un condotto (come in figura, dove il flusso, dopo un transitorio caratterizzato da una regione di flusso potenziale, prossima all’asse, e una con vorticità non nulla, dentro lo strato limite, si stabilizza in un profilo paraboloide di Poiseuille).

Similarity methods

Il metodo di similarità si basa sulla ricerca di soluzioni similari alle equazioni dello strato limite. Generalmente parlando, le soluzioni similari sono quelle soluzioni nelle quali il numero delle variabili può essere ridotto attraverso "trucchi" matematici, comunemente trasformazioni di coordinate. Questa ricerca consente di descrivere il problema tramite una singola equazione differenziale ordinaria (in genere del terzo ordine).

L’esistenza di tale soluzione fa sì che ogni profilo lungo il corpo risulti "compresso" o "dilatato", in direzione normale al corpo, rispetto a un profilo generico fissata una certa distanza dal bordo d’attacco. In altre parole, fissata quindi la natura del profilo di velocità come profili autosimili, questi differiranno per un fattore di scala, che normalizza la variabile y e dipende da x. In generale:

• η = Δ(x) Variabile di similarità: η(x)
• √Δ(x) ~ Fattore di scala
• ψ(x, y) → ψ = ψ(x, η)
• Funzione di corrente (adimensionale): ψ(x, η)
• u(x, y) = U(x) → u = U(x)f'(η)

Soluzioni similari: Δ(x)

Procediamo dunque con la ricerca sostituendo il profilo autosimile nell’equazione-combinazione fra la continuità di massa e di quantità di moto:

∂∙(uU) - (∫f') = U√Δ(x) f''' - 3f''f' - ∼ √(x)

Profili di Falkner-Skan

La similarità è ottenuta solo se i coefficienti a moltiplicare non dipendono da x (ricordiamo infatti che lo scopo di questo metodo è arrivare a un'equazione differenziale ordinaria). Falkner e Skan trovarono la soluzione similare per le seguenti condizioni:

• Δ(x) = Fattore di scala:
• η = Variabile di similarità:
• u(x) = Distribuzione di velocità:

Affinché l’equazione risulti ordinaria e la (2 + 1x) svanisca dai coefficienti, occorre che:

Inoltre, il fattore di scala deve essere tale da adimensionalizzare la variabile e la scelta migliore è quella di legare i fattori A e K dalla seguente relazione: (A+1)=√2 + 1 (x)=√(x)

N.B. Ricordiamo che: quindi √(x)

Le equazioni dello strato limite dunque si trasformano in una sola equazione differenziale ordinaria (Equazione di Falkner-Skan) con le conseguenti condizioni al contorno:

• f''' + f''f + β(1 - f') = 0
• f'(0) = 0 Condizione d’aderenza: u(x, 0) = 0
• f(∞) = U(x) Congruenza al flusso potenziale: u(∞)

N.B. Abbiamo definito Coefficiente di Falkner-Skan (β). Esso rappresenta una misura del gradiente di pressione dp/dx. Se β > 0 allora il gradiente sarà negativo, mentre se β < 0 il gradiente sarà positivo, dunque sfavorevole. Quando invece il gradiente di pressione è nullo, il che corrisponde al caso in cui il flusso potenziale è omogeneo, e il corpo è una lastra piana. Le soluzioni di Falkner-Skan non hanno molto utilizzo pratico in campo ingegneristico, se non per alcune eccezioni. Infatti, queste descrivono molto bene il caso di flusso incidente un profilo angoloso.

Risolvendo numericamente l’equazione differenziale, al variare di β, i risultati sono plottati in figura. In questa possiamo distinguere dei casi particolari come il punto di ristagno (β = 1), il caso di profilo piatto (β = 0), e il punto di separazione (β = -0.19884).

Esempio: flusso stagnante

Consideriamo il flusso incidente una parete perpendicolare alla propria direzione di moto, come in figura. Si può dimostrare che il flusso potenziale (all’esterno dello strato limite) è caratterizzato da una funzione di corrente (potenziale, “ψ”) del tipo:

ψ = √(x)

Dunque le componenti del campo di velocità sono:

u(x, y) = -∂ψ/∂y, v(x, y) = ∂ψ/∂x

Data la dipendenza delle due componenti dalla sola relativa variabile, la seguente funzione di corrente interna allo strato limite che si viene a creare può essere scelta:

ψ = ∂ψ/∂x = ∂ψ/∂y

che adimensionalizzata diventa:

√(x)

Dobbiamo però notare che le equazioni dello strato limite sono diverse da quelle introdotte in precedenza poiché il flusso potenziale non è monodirezionale. In pratica non possiamo assumere la pressione costante (il bilancio della quantità di moto in y, ma anche in x, non si semplifica), ma risulta essere una funzione nella sola variabile y.

L’equazione dello strato limite risulta essere un’equazione di Falkner-Skan con:

f''' + ff'' + 1 - f' = 0

Profili di Blasius

La soluzione di Blasius all’equazione dello strato limite è un caso particolare del precedentemente trattato. Il procedimento per arrivare alla soluzione è identico al metodo di similarità utilizzato da Falkner-Skan, ma nel caso di flusso su lastra piana la velocità esterna allo strato limite è omogenea in x. Ovvero possiamo sostituire alle equazioni:

u = Uf'(η), η = √(Re)

Per ottenere l’Equazione di Blasius, con le c.b.:

• f''' + ff'' = 0
• f'(0) = 0, f(0) = 0, f(∞) = 1

Da cui la seguente soluzione:

f(η) ≅ η²/5, f'(0) ≅ 0.332

Altri risultati ricavabili:

• ∗ ≅ 1.721/√(Re)
• 0.664/Re = Cf
• 1.328/Re

dove:

• ∗ “Spessore di Spostamento”
• “Spessore della Quantità di Moto”
• “Coefficiente di Attrito”
• “Coefficiente di Resistenza”

Analogia di Reynolds

Sotto certe ipotesi le equazioni di bilancio della quantità di moto e dell’energia posso essere disaccoppiate e risultano molto simili fra loro, ad eccezione dell’unità di misura (della proprietà di cui si fa il bilancio). Quindi le due equazioni, da analoghe, possono diventare identiche se nel renderle adimensionali le condizioni al contorno coincidono. Supponiamo quindi:

• Gradienti di pressione trascurabili (Lastra Piana);
• Trascuriamo gli effetti viscosi (Ec << 1);

2 + u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y) = ν(∂²u/∂y²).