Meccanica dei fluidi - Lezioni

Esame: scritto, due esercizi, uno sulla teoria e uno sulla dinamica dei fluidi; orale

Campi scalari: sono funzioni che variano nello spazio e nel tempo. Argomento della funzione è uno scalare:

Q = Q(x, y, z, t)

Campi vettoriali: funzioni dello spazio e del tempo.

a = a (x, y, z, t) argomento della funzione è un vettore:

a = Q_x i + Q_y j + Q_z k = Q_x i + Q_y j + Q_z k = Q_x i + Q_y j + Q_z k

Q: componente scalare, funzioni dello spazio e del tempo

a = Q_x i + Q_y j + Q_z k = ∑_i=1³ Q_i i = Q_i i

|a| = √(Q_x² + Q_y² + Q_z²) = |0:0:0

^y

tan α =

^Q_y⁄_Qx

a

Q_y

α = la direzione del vettore

tgx =

Q_y⁄Q_x

sevo calcolare la retta direttrice del vettore, in questo caso la retta passa per l'origine, la calcolo calcolando la distanza da un punto

r: versore; vettore con modulo unitario

[...]: i, j, k = i_x + n_xi + n_yj + n_zk - M_ij

n_x, n_y, n_z sono detti coseni direttori e associati con la direzione i-esima

a̅ = (a_x, a_y, a_z)   b̅ = (b_x, b_y, b_z)

Tensore di ordine n = genere 3 componenti scalari

T̅ = | a_xx a_xy a_xz |

  | a_yx a_yy a_yz |

  | a_zx a_zy a_zz |

a_xx, a_yy, a_zz: componenti diagonali,

gli altri sono detti extradiagonali

(iT)_ij con elemento della riga i-esima e della colonna j-esima:

(iT)_ij = a₃

Quindi il tensore varia nello genere e nel tempo

b̅ = b̅(x,y,z,t)

Perché il tensore T̅ sono associati tre vettori (le tre righe)

o̅ = | C_i |   o̅ = a_xi + a_yj + a_zk

Non si possono sommane scalari con vettori e vettori con tensore

a̅ · b̅ : a_ib_i gode della proprietà commutativa

a̅ · b̅ (prodotto scalare) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = a_ib_i

a̅ × b̅ (prodotto vettoriale) = | i j k |

       _{ax ay az}

       _{bx by bz}

a̅ ☓ b̅ (prodotto misto) = | a_x a_y a_z |

       _{bx by bz}

       _{lx ly lz}

= (a_xb_xx + a_yb_yx + a_zb_zx)i + ...

= (a_jb_j) î

a̅ ⊗ b̅ (prodotto tensoriale) = | a_it_j   b_x b_y b_z |

           | b_xb_i  a_ib_i 

Vettore Nullo del ◀️ ► = (0/0         0/0         0/0)   (0/0)               0/0î

∇e ◀️ ̅̆/d/dx î: gradiente di a̅ e quindi il prodotto tra un vettore (∇) e uno scalare (a)

Fludi newtoniani

la viscosità è costante nello spazio, tempo, velocità e decl. angolare.

tgx = μ

Comportamento dei fluidi newtoniani

• Fluidi pseudoplastici

Il fluido diminuisce la viscosità (inclinazione della curva)

• Fluidi dilatanti

Newtoniani che non passano dall'origine

si comportano come i solidi = newtoniani che non passano dall'origine = fluidi Bingham. Anche se y=0 eseguono sempre uno sforzo tangenziale

Tensione superficiale

Interfaccia tra due fluidi immiscibili

L’interfaccia si comporta come una membrana elastica. Esercita una forza per allargante

• Fluido A
• Fluido B

può essere sostenuta e la tensione superficiale è questa forza per allargare questa interfaccia dove dove le particelle non sono in equilibrio dunque non voglia tante particelle devo esercitare una forza (sposto particelle da zone e dopo libero in una zona non erano equilibrio) (tensione superficiale) γ = F/l

Interface curva. I due fluidi esercitano due pression dentro e fuori

p_e - p_i = γ(1/R₁ + 1/R₂)

La raggio di circonferenza.

l: lunghezza "abord del foglio"

L'interfaccia vedenti della tensione superficiale avvolto sulla sua parte P e dentro

Sfruttando calcolo la forza F=Δp * superficie ovvero Δp * 1/2 * l²

p^r - p^atm = p (pressione relativa)

Le pressioni nei fluidi sono punti presi al contatto normale esterna.

Le pressioni relative possono essere negative.

z_cp: punto del piano dei condotti assoluti

Il piano dei condotti relativi coincide con il pelo libero (punto A); piano che contiene la superficie libera.

hb: affondamento di B rispetto al p.c.i.

p_zB = p_A + γ (z_B - z_zB)

altezza piezometrica

quota geodetica

altezza + quota = quota piezometrica

hb è detto affondamento

Come avere un piezometro chiuso

B: quota e la quota del piano dei condotti idraulica (quota del menisco)

Quindi posso calcolare la p con la legge di Bernoulli

Questo strumento di misura di pressione è detto piezometro.

Calcolo la p per via geometrica (questo e un altro modo):

Distribuzione delle pressioni triangolare

angolo alto del punto B

DIAGRAMMA DELLE PRESSIONI

P = f / (cost coeff)

T_ip: è una forza esterna - forza della sup. che si esercita sul contorno

h: profondità del recipiente

Se si determina la spinta, ovvero la forza che il fluido y esercita sulla fronto del recipiente (sup. AB)

T_ip = ∫_A0 p_n dA normale della sup. recipiente

T_ip = è una risultante che il gradro esercita sul recipiente e viceversa

T_ip = p_n ∫_AB p_n dA ho tirato fuori in quanto la superficie è piana

dove le quote è costante, ρ è costante

Forza normale alla superficie

distribuzione della pressione sulla superficie

T_ip = ∫_AB p_n dA = w/g/g∫_AB gh dA = A_Bgh_B

La retta di applicazione passa per il baricentro della superficie

S_ac = - T_pac (spinta della superficie

T_ip forza della sup. e vol. nel volume all'interno (S_na)

Calcolo la spinta sulla faccia BC S_BC punto equilibrio nullo se al minimo

T_pac = ∫_Abc p_n dA = ̂n ∫_Abc p_n da = ̂n ∫_Abc [(z_fac - ẑ)]dA

̂n è entrante

T_pac = ̂n∫ (z_fac - ẑ) l∫dx = ̂n∫ (z_fac - ẑ) dx

̂n ∫ (z_c - ẑ) = ẑ/2 z_c/2

volume del solido delle pressioni

̂n l [(x/g)(γ/g) L = l_ac ∏_bc ẑ

γ/g

solido delle pressioni