Strati Limite - flussi laminari viscosi

N.B.

maniera differente dalla trattazione di Falkner-Skan, come già detto in precedenza. Questa è la ragione della

−2/3

Pr

presenza del fattore correttivo .

Temperatura Adiabatica di Parete

Considerando la vera natura viscosa del fluido, la temperatura della parete ( ) a regime per lo scambio

termico fra fluido in moto e parete risulterà maggiore di quella del flusso asintotico ( ). Ad alte velocità gli

effetti viscosi dissipativi non possono essere trascurati (inoltre il fluido non può più essere considerato

incomprimibile). Il fluido viene rallentato dalla velocità potenziale U fino a 0 alla parete. Questo significa che

l'energia cinetica delle particelle prossime al corpo viene dissipata e che la temperatura della parete cresce

1).

come effetto del Riscaldamento Aerodinamico (rispetto al caso in cui Ec≪

Temperatura Adiabatica (o di “Recupero”) di Parete

Si definisce quella temperatura della parete associata

ad un processo adiabatico di decelerazione del fluido. La sua definizione risulta:

2

= +

2

− 2

= = = " "

dove − Ec

= 1, Pr = 1

N.B. Notiamo che per ovvero quando , la

definizione di temperatura adiabatica di parete coincide con

la definizione di temperatura di ristagno (temperatura totale),

ovvero il processo di decelerazione può considerarsi

adiabatico e ideale (isentropico).

La figura mostra il profilo di temperatura considerando anche gli effetti dissipativi nella situazione di equilibrio

~ | = 0).

in cui la parete può considerarsi adiabatica (̇

In questo caso (tipico degli strati limiti comprimibili), e comunque in generale, è comune ed appropriato

ridefinire i numeri adimensionali tipici del problema della convezione facendo riferimento non più alla

temperatura , ma alla temperatura adiabatica di parete . Ad esempio, la definizione rigorosa e generale

del numero di Stanton è: ̇

=

ℎ ( )

−

Equazione Integrale di Quantità di Moto

Sebbene le equazioni dello strato limite possono essere numericamente risolte seguendo certe ipotesi, come

già visto, esiste un altro metodo che può essere usato per semplificare i conti e avere dei risultati approssimati

ma ragionevoli. Si tratta delle equazioni integrali di Von Karman, ovvero dei bilanci integrali di massa e

quantità di moto considerando volumi che si estendono dalla parete del corpo fino alle linee di corrente (altezza

indicata di seguito con la lettera “H”). L’equazione che ne deriva è tale che, supponendo un profilo di velocità

(assunto), i risultati saranno tanto più accurati quanto più l’ipotesi sul profilo di velocità sarà fedele alla realtà.

N.B. Dato che nessuna considerazione sulla natura del fluido verrà fatta, questo metodo è applicabile sia a

flussi laminari che turbolenti.

Consideriamo il caso di lastra piana. Partiamo dalle equazioni

dello strato limite: 2

1

+ =− + 2

() = − ∫ ′

0

Integrando da 0 ad H come in figura:

2

()

∫ + ∫ = ∫ () + ∫

2

0 0 0 0

Sviluppiamo il secondo termine dell’equazione:

()|

∫ = − ∫ = ∫ + ∫

0

0 0 0 0

Dunque l’equazione di quantità di moto integrale risulta:

∫ ( + + − ) = | =

0 0

Al primo termine sotto l’integrale sommo e sottraggo / e ottengo:

∫ (1 − ) + ∫ (1 − ) =

0 0 otteniamo l’equazione

Infine, introducendo lo Spessore di Spostamento e lo Spessore di quantità di Moto,

“Momentum Integral Equation”)

integrale di Von Karman (detta anche

2 ∗

+ (2 + ) =

Storicamente esiste una soluzione spesso usata, anche se non del tutto accurata e vantaggiosa per ogni

situazione, cioè la soluzione di Pohlhausen:

Λ

3 4 3

(2 )

= (, Λ) = − 2 + + (1 − )

6

2

δ

Λ =

dove = parametro di Pohlhausen

Λ

N.B. Il parametro è legato al gradiente di pressione!

Sostituendo nell’equazione integrale della quantità di moto essa si trasforma in una equazione differenziale

nell’incognita sta nel fatto che l’intervallo del parametro

(). Λ

Lo svantaggio in questa soluzione in cui

Λ > 12

riusciamo a trovare soluzioni ben approssimate è ristretto. Infatti per i risultati non sono coerenti con

Λ < −12

la fisica del problema, mentre per (al punto di separazione) gli errori diventano grossolani.

genericamente, di solito si usa adimensionalizzare l’equazione integrale dividendola per la quantità /:

Più ∗ 2

= + (2 + )

Dopo di che si assume un profilo del tipo: (, ) = ()(, )

2

=

con parametro opportuno, ad esempio: (Holstein & Bohlen)

Quindi si definiscono delle funzioni di correlazione: 1

() = = | = ′(0, ) (1 − )

∫

Correlazione di Taglio: 0

0

1

∗ (1−)

∫

0

() = =

Correlazione di Forma: 1

(1−)

∫

0

L’equazione adimensionale di Von Karman diventa: 2

1 1

() = (2 + ()) + = (2 + ()) + ( )

′

2 2

⇒ ( ) = 2[() − (2 + ())]

′

A questo punto occorre conoscere la funzione a secondo membro, dunque ci si affida a dati empirici:

⇒ ( ) = () ≅ 0.45 − 6 (Metodo di Thwaites)

′

L’equazione viene svolta con il metodo del “fattore di integrazione” (vedi Appendice A), date le condizioni

) )

( = ( =

e , ottenendo così:

0 0 0 0 06

2

2 5 ()

= 0.45 ∫ +

0

6 6 ()

0

∗

= ()

= ()

() ()

(dove e sono tabulate)

Strato Limite Assial-Simmetrico

in vestito da un flusso anch’esso indipendente dalla coordinata

Consideriamo un corpo assial-simmetrico

azimutale (ovvero è nulla la componente di velocità “vorticosa”, w, in inglese swirl velocity). Il modo più

conveniente per trattare il problema è riferirsi ad un sistema di coordinate curvilinee particolare (figura), dove

()

= ≫ ()

il raggio locale (≠ Raggio di Curvatura) è ipotizzato noto a priori. Con le stesse ipotesi

0 0

fatte in precedenza, le equazioni dello strato limite diventano:

( )

0 + =0

0

2

+ = + 2

1

− =0

2

2

+ = + ( )

2

() =

Fortunatamente è possibile semplificare la trattazione nel caso di flusso potenziale , poiché sono

riutilizzabili i risultati di Falkner-Skan. Tutto grazie ad un trucco matematico; la trasformazione di Mangler:

1 2

̃ = ∫ ̃(̃, ̃) = (, )

0

2

0

0 0

̃ = ̃ = [(, ) + (, )]

0 0

La trasformazione di Mangler permette di trasferire il problema dello strato limite conico (coordinate x e y) ad

̃ ̃.

un caso equivalente di strato limite planare (corpo cuneiforme) nelle variabili trasformate e

N.B. Infatti grazie a questo espediente le equazioni tornano alla forma di strato limite piano.

Esempio: (Soluzioni similari: equivalenza cono-cuneo)

= ()

Geometria: 0

() =

Consideriamo un flusso potenziale e applichiamo la trasformazione di Mangler:

1

2 3 2 3

sin () 1 3 1

2 2

̃ = ∫ = sin () ⇒ =( ) ̃ 3

2 2 2 ()

3 sin

0

0

̃ =

2 3

3

̃

= = ̃ = ⇒ = ( ) ̃ = ̃

3

2 ()

sin

=

La soluzione è equivalente a quella di Falkner-Skan con ovvero sto cercando profili autosimili tipo:

3 +3 ()

=√

(, ) = ()′()

con 2

Strato Limite Comprimibile

Considerando la comprimibilità del fluido, per alte velocità, le equazioni del moto in prossimità della parete

piana sono simili alle precedenti con delle complicazioni dovute al fatto che le proprietà termofisiche del fluido

dipendono dalla temperatura, dunque non sono omogenee. In pratica non è più possibile disaccoppiare le

equazioni differenziali, che inoltre presentano termini non lineari.

Molti sono i modelli per descrivere le proprietà dei fluidi a seconda della loro natura. Per gas