Strade, ferrovie ed aeroporti I

Resistenze al moto

06/03/2017

• Resistenza al rotolamento (R_r)
• Resistenza in curva (R_c)
• Resistenza dovuta alla pendenza (R_i)
• Resistenza dovuta dall'aria (R_a)
• Forze d'inerzia (R_Fi)

Se immaginiamo un’autovettura, possiamo rappresentare il suo verso del moto e se indichiamo con G il suo baricentro del veicolo, esso conserva una serie di resistenze che chiameremo R totale che sarà una somma delle resistenze:

Resistenza al rotolamento (R_r)

Immaginando di prendere la ruota del veicolo e durante il moto del veicolo ovvero durante il moto della ruota, c’è l’attrito della ruota ma ancora più importante c’è la resistenza al rotolamento legata alla deformabilità dello pneumatico e si chiama un fenomeno di isteresi elastica.

Se consideriamo un sistema di riferimento che sull’asse delle ascisse troviamo la deformata e sull’asse delle ordinate abbiamo la tensione, possiamo rappresentare con la legge di Hooke un materiale perfettamente plastico con la sua legge lineare che non è altro che una retta inclinata di un angolo alfa e la sua tangente è il modulo elastico. Durante la fase di carico la sigma cresce linearmente con la epsilon e così anche nella fase di scarico se diminuisco la tensione, la deformazione diminuisce linearmente tendendo a zero.

I materiali che noi trattiamo sono di tipo elastico non lineare, ovvero significa dire che abbiamo una fase di carico che non è più una retta ma sarà una curva e a parità di sigma otteniamo che la deformazione mentre nel comportamento elastico era epsilon1 ora abbiamo una epsilon2 che nella fase di carico risulterà più piccola della epsilon1 a parità di tensione fino a raggiungere il punto A, mentre nella fase di scarico, segue sempre una legge di tipo non lineare ma sempre di tipo elastico otteniamo che la epsilon due volte sopra segnato sarà più grande della epsilon una volta segnata (elastico lineare) a parità di sigma, ovvero otteniamo che nella fase di carico la sigma del materiale elastico non lineare sarà più piccola rispetto alla epsilon del materiale elastico lineare mentre nella fase di scarico otteniamo che la epsilon del materiale elastico non lineare sarà più grande della epsilon del materiale elastico lineare. Notiamo che il comportamento è comunque di un materiale elastico ovvero che dopo che ho applicato una tensione, il materiale ritorna come prima senza subire deformazioni permanenti, ma è di tipo non lineare ovvero che non segue una legge lineare ma una legge diversa (andamento curvilineo di carico e scarico).

Quando la ruota avanza durante il moto, otteniamo una deformazione dall’area sottesa alla curva (fase di carico) ovvero è l’energia che viene trasmessa alla ruota per deformarsi durante il moto:

Una parte di questa energia la recupero, ed è rappresentata dall’area sottesa alla curva di scarico, ma c’è anche una parte di energia che si perde e non è altro che l’area racchiusa nel cappio di isteresi elastica ed è l’energia che si perde sotto forma di altra energia ad esempio di calore. Ed è proprio la resistenza al rotolamento ovvero io fornisco energia e parte la perdo sotto forma di altra energia ed io avanzo meno di quanto ho esercitato.

La resistenza al rotolamento si esprime con una formula che ci dice che la resistenza al rotolamento è proporzionale al peso P del veicolo e ad un coefficiente NU che tiene conto del fenomeno di isteresi e questo coefficiente è una funzione della velocità V e del tipo di veicolo, ovvero per velocità basse questo coefficiente ha un valore basso mentre per velocità alte ha un valore alto.

Resistenza in curva (R_c)

Supponiamo di avere una curva e di un veicolo che la percorre, notiamo che sull’asse posteriore rimane fermo mentre l’asse anteriore ruota e succede che nascono due problematiche: la prima è che questo veicolo sta percorrendo una curva di angolo alfa ed è soggetto ad una forza centrifuga Fc che non è altro che il prodotto tra la massa e l’accelerazione, la massa la posso esprimere come il rapporto tra la forza peso e l’accelerazione gravitazionale g e l’accelerazione centripeta la posso esprimere come il rapporto tra il quadrato della velocità diviso il raggio della curva. Notiamo che tanto più è piccolo il raggio a parità di velocità tanto più è grande la forza centrifuga che tende a portare il nostro veicolo fuori strada mentre tanto maggiore è il raggio a parità di velocità tanto minore sarà la forza centrifuga e questa forza centrifuga determina un eccesso di deformazione degli pneumatici anteriori dovuto alla curvatura ed è un eccesso perché non solo abbiamo il fenomeno della resistenza al rotolamento ma c’è anche un fenomeno degli pneumatici dovuta alla rotazione degli pneumatici.

Allora la resistenza in curva è data dal prodotto di un coefficiente di resistenza in curva NU per la forza peso P del veicolo.

Questa resistenza in curva in alcuni casi la posso trascurare, ovvero quando il raggio della curva è molto grande, ovvero quando è maggiore di 50 metri, posso trascurare la resistenza in curva, allora noto che nel campo stradale devo tener conto della resistenza in curva solo se ho una curva inferiore a 50 metri e sono in presenza di autocarri:

NB: è molto accentuata questa presenza in curva quando sono in presenza dei tornanti perché ho delle curve molto strette ovvero un raggio piccolo e se sono in presenza di autocarri vedremo che avrà molti problemi di percorrenza del tornante. Il raggio minimo è di 120 metri, sotto il quale non teniamo in considerazione della resistenza in curva per gli autoveicoli.

Resistenza alla pendenza

Se stiamo in salita e supponiamo il verso del moto, sappiamo che nel baricentro G è applicata la forza gravitazionale (forza peso) sempre verticale e la possiamo scomporre in una componente ortogonale e una parallela alla piattaforma, notiamo che la componente parallela alla piattaforma è una componente che si oppone al moto allora è una resistenza alla pendenza che non è altro che il prodotto tra la forza peso P e il seno di alfa, notiamo che per angoli piccoli possiamo confondere il seno di alfa con la tangente di alfa ma la tangente di alfa è proprio la pendenza i, allora otteniamo che la resistenza alla pendenza non è altro che il prodotto tra P per i.

NB: Possiamo avere una pendenza massima delle strade secondarie del 10%, ovvero il valore massimo di i.

Resistenza aerodinamica (o all'aria)

L’aria esercita una pressione sulla parte frontale del veicolo provocando un incremento di pressione e provoca una diminuzione di pressione sulla parte posteriore del veicolo e sulla parte laterale c’è l’attrito tra l’area e il veicolo e questo meccanismo dà vita alla resistenza aerodinamica che è il prodotto tra un coefficiente C detto coefficiente di forma del veicolo moltiplicato per delta che rappresenta la densità dell’aria moltiplicato per la sezione maestra S che non è altro che una sezione del veicolo su un piano ortogonale e ci dà la sezione trasversale moltiplicato per la velocità al quadrato. Notiamo che più aumenta la velocità e più aumenta la resistenza all’aria. Notiamo che la densità dell’aria è una costante e anche il coefficiente di forma del veicolo è una costante allora posso chiamare k come il prodotto tra c e delta e lo chiamo coefficiente di aerodinamicità del veicolo.

Resistenza all'inerzia

Supponiamo che io voglia passare da una velocità di 50 km/h ad una velocità di 70 km/h, ovvero sto accelerando e nasce una forza che si oppone alla variazione di velocità alla quale ha un verso opposto al moto ed è una forza chiamata forza d’inerzia che è il prodotto della massa per l’accelerazione (rapporto tra la derivata della velocità rispetto al tempo) e se ci ricordiamo che la massa non è altro che il rapporto tra la forza peso e g, otteniamo la forza d’inerzia che si oppone al moto, ora bisogna dire che esiste anche l’inerzia degli organi di rotolamento all’interno del volano che hanno un moto relativo proprio che si oppone a questo cambiamento di velocità e quindi un’inerzia che fanno nascere una maggiorazione dell’inerzia che stiamo considerando e tutto questo lo definiamo con il coefficiente BETA.

Va detto anche qui che mettiamo + o – a seconda se stiamo accelerando o decelerando perché la forza d’inerzia se stiamo accelerando è positiva allora delta V su delta T è positiva mentre è negativa quando stiamo decelerando perché delta V su delta T è negativa e la forza d’inerzia tende a spingere la macchina quando decellero ovvero la forza d’inerzia sarà concorde alla direzione del moto.

Equazione della trazione

In tale equazione deve esserci un equilibrio alla traslazione tra le forze di trazione e le resistenze al moto, chiaramente qualora lo sforzo di trazione fornito dal motore è superato dalla resistenza al moto il corpo non si muoverà.

T = R_tot = R_r + R_c + R_i + R_a + R_Fi

T = μP + μP ± Pi ± β + KS V²

T = P(μ + μ ± i ± ) + KS V² (equazione della trazione in condizioni di moto vario)

T = P(μ + μ ± i) + KS V² (equazione della trazione in condizioni di moto uniforme)

Ovvero nel caso di moto uniforme NON avrò forze di inerzia dato che viaggiando a una velocità costante non ho variazione di velocità.

Esempi

• Supponiamo di avere un autovettura di peso P = 10 KN in condizioni di moto uniforme ad una velocità V = 100 km/h muovendosi su una livelletta con pendenza i = 2%

  Applicando l’equazione di equazione della trazione e supponendo di essere in un tratto in cui la resistenza in curva sia ritenuta trascurabile (rettifilo) avrò:

  T = P(μ + μ ± i) + KS V²

  1 * 10 (0.025 + 0 + 0.02) + 0.017 * 1.9 * 100 = 773 N

• Supponendo ora di avere un autocarro del peso P = 100 KN soggetto alle medesime condizioni avrò:

  T = P(μ + μ ± i) + KS V²

  1 * 10 (0.035 + 0 + 0.02) + 0.030 * 7 * 100 = 7600 N

  Laddove si è valutato la sezione maestro dell’autocarro pari a 7 m e k = 0.030

Calcolare lo sforzo di trazione necessario per superare la rampa con pendenza pari al 2% supponendo che la macchina sia ferma. Valutando il moto attraverso l’equazione della trazione in condizioni di moto vario, si osserva come l’ultimo termine dell’equazione variando con il quadrato della velocità diviene trascurabile.

T = P(μ + μ ± i ± )

Volendo invece calcolare quale sia la massima pendenza che il mio autoveicolo può superare, dovrò, innanzi legare lo sforzo di trazione alla potenza del motore attraverso la seguente relazione. Quindi mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione di trazione determinata in precedenza per il caso caratteristico della rampa avrò:

iPosso ricavare quindi valutando come velocità V pari a 5 km/h_max

Il termine inerziale dovrà comparire qualora le condizioni iniziali dell’autoveicolo non sono a velocità nulla, un esempio pratico può essere calcolare la pendenza massima viaggiando a una data velocità su strada.

Ovviamente nel primo caso riesco a raggiungere delle pendenze molto elevate (30-40 %) quando invece sono su strada dovrò considerare l’ulteriore contributo delle forze di inerzia.

Aderenza ruota/strada

Andiamo a considerare un pneumatico a contatto con il suolo stradale, andando ad analizzare le forze su di esse agenti osserviamo la forza peso P e una reazione uguale e opposta la forza che il sottofondo esercita su di essa, con R le resistenze agente in direzione opposta al moto e con M il momento motore, pensiamo ora di scomporre quest’ultimo rispetto al raggio r con la coppia di forze corrispondente di modulo M/r.

Dovendo tale sistema di forze risultare in equilibrio dovrò avere che vi sarà una forza A (aderenza), diretta nel verso del moto dove F_a è la forza di aderenza.

Possiamo avere diversi casi:

• Caso 1: In tal caso noi avremo che lo sforzo di trazione risulta inferiore alla resistenza naturalmente in tal caso il veicolo non riesce a muoversi.
• Caso 2: Stiamo facendo crescere M/r, il che implica che anche T è crescente. Abbiamo in questo caso che il veicolo si muove in quanto la resistenza risulta essere uguale allo sforzo di trazione e quest'ultimo minore della forza di aderenza.
• Caso 3: Stiamo facendo crescere M/r. Il veicolo non riesce ad avanzare, tale caso rappresenta il fenomeno di slittamento, il veicolo non avanza. In tal caso pur avendo una macchina molto potente non riesco a far avanzare il veicolo perché la resistenza è molto elevata.

La forza di aderenza risulta essere uguale a:

F_a = f_a P_a

dove P_a = peso aderente ovvero la quota parte di forza peso che grava sulle ruote motrici, negli autoveicoli ordinari circa il 60% di P, eccezione fatta per i veicoli a 4 ruote motrici che avranno peso aderente pari a P e di conseguenza hanno maggiore forza di aderenza. f_a è il coefficiente di aderenza.

NB: Da quanto suddetto si capisce bene che se ritorniamo al ragionamento fatto per quanto riguarda l’esempio 2 ovvero della rampa, bisogna chiaramente coniugare l’equazione della trazione con il concetto di aderenza, si avrà quindi:

La dove devo sostituire nella prima equazione la seconda.

Da tale semplice relazione si capisce che tutto sia legato al coefficiente f_a.

Da questa semplice equazione si capisce come e perché nei casi pratici legati allo slittamento (si resta impantanati con l’autovettura), si può o cercare di aumentare il peso aderente posizionandosi sul cofano o migliorare la componente attritiva apportando materiale sotto la ruota, come anche il tir risulta avere una buona aderenza in quanto il suo peso scarica tutto mediante il trattore anteriore.

Possiamo valutare la variabilità del coefficiente mediante degli abachi, dove si osserva come all’aumentare della velocità tale coefficiente diminuisca, dove si osserva che ho diverse curve in funzione di s ovvero del veloidrico presente sulla strada stessa, finché ad un certo punto di tale curva essa diviene orizzontale, cioè avrò il fenomeno dell’aqua planing ovvero lo spessore idrico è tale da perdere aderenza, per evitare appunto tale fenomeno avremo che la sezione trasversale di una strada è a doppia falda con pendenza minima del 2.5%, dotate di cunette di raccolta alle estremità della strada stessa. Naturalmente tale fenomeno dipende anche dallo spessore del battistrada stesso.

Il realtà tale coefficiente di aderenza può essere visto come la risultante tra la componente orizzontale ovvero componente nella direzione del moto aderenza longitudinale e aderenza trasversale se sono in rettifilo tale termine è nullo cosa che non accade in curva per effetto della forza centrifuga per cui avrò che posso quindi valutare

Bisogna inoltre dire che dipende da se la strada è:

• Asciutta si raggiungono pendenze del 40-45 %
• Bagnata si raggiungono pendenze del 20-25 %

Problema della frenatura

09/03/2017

Ruota frenante

Immaginiamo di avere una ruota sul manto stradale ipotizzato un certo verso del moto avrò seguenti azioni:

Supponendo ora di frenare avrò un momento frenante (M_f) sulla ruota stessa, si osservi con attenzione che esso risulta essere opposto in verso del momento motore, avrò comunque le azioni sulla ruota che avrò comunque una forza di inerzia che si oppone, per cui in tal caso avrò che essa sarà quindi diretta in direzione del moto. Scomponendo ora il momento frenante rispetto al raggio avrò una coppia di forze la prima diretta nella stessa direzione delle Resistenze al moto R, la seconda diretta nel verso del moto, di modulo pari a M_f/r, anche in questo caso avrò che per l’equilibrio delle forze dovrà nascere una forza A (aderenza), dove naturalmente i suoi valori saranno.

Condizione necessaria e sufficiente affinché non si abbia il bloccaggio delle ruote:

Ovvero dovrà accadere che la forza di inerzia meno le resistenze (ovvero la risultante delle forze che agiscono nel baricentro) dovranno essere minori o al più uguali alla forza aderente e che a sua volta lo sforzo derivante dal momento frenante sia anch’esso minore (in quanto non voglio che il momento frenante non permetta la rotazione della ruota). Il bloccaggio è un comportamento che diviene pericoloso in quanto il veicolo non segue più la traiettoria di guida ma scivola sul suolo stradale, naturalmente qualora sulla sua traiettoria sia presente un qualcosa (sasso) il veicolo cambia direzione fuori dal controllo dell’utente.

Esplicitiamo ^β

R = R_r + R_c + R_i + R_a + R_Fi = μP + μP ± Pi ± β + KS V²

Volendo semplificare tale calcolo si va a valutare che il moto stia avvenendo in rettifilo, in quanto solitamente si è soliti frenare prima di una curva e non durante. Si osservi inoltre che in tal caso ho P peso totale e non il peso aderente poiché sto considerando il veicolo in fase di frenatura e quindi tutte le ruote contribuiscono all’aderenza, essendo tutte e 4 le ruote frenanti.

Per effetto della semplificazione di essere in rettifilo avrò da cui:

P(μ + μ ±