Riassunto esame Storia della Filosofia Contemporanea, prof. Pettoello, libro consigliato La Scienza e l'Ipotesi, Poincarè

Introduzione

Ad uno sguardo superficiale la verità scientifica sembra immune da ogni dubbio. Ma chi vi si addentri si accorge del ruolo che ricopre l’ipotesi: né il matematico, né lo sperimentale possono farne a meno. Il ruolo dell’ipotesi è necessario e legittimo. Vi sono più tipi di ipotesi: alcune verificabili e, confermate dall’esperienza, diventano verità feconde, altre possono essere utili per fissare il pensiero, altre ancora sono solo in apparenza ipotesi, ma sono convenzioni o definizioni camuffate.

Le ipotesi hanno ampia rilevanza soprattutto nella matematica: qui le convenzioni derivano dalle nostre libere scelte. La nostra mente produce dei decreti che si impongono alla nostra scienza che altrimenti sarebbe impossibile, non si impongono però alla natura. Nonostante ciò non si può dire siano arbitrari, perché senza il confronto con la natura sarebbero sterili. Libertà non è arbitrio.

Il nominalismo si è allora chiesto se lo scienziato non sia vittima delle sue definizioni e se il mondo che vuole scoprire non sia solo un parto del suo capriccio. Se così fosse, la scienza sarebbe impotente. Tuttavia, ciò che la scienza può attingere non sono le cose in sé, come ritengono i dogmatici ingenui, ma solo le relazioni fra le cose. Al di fuori di tali relazioni non c’è realtà conoscibile.

Sulla natura del ragionamento matematico

Il ruolo del ragionamento induttivo

Qual è la natura del ragionamento matematico? Esso partecipa del ragionamento induttivo, per questo è così fecondo, mantenendo comunque rigore assoluto. Per quel che riguarda la grandezza matematica possiamo dire che siamo stati noi a costruirci il quadro entro cui far rientrare tutto, ma non a caso, bensì su misura, e possiamo farvi rientrare i fatti senza snaturarli.

Principi primi della geometria

Da dove vengono i principi primi della geometria? Non dalla logica, come ha mostrato Lobacevskij, creando le geometrie non euclidee, e nemmeno dai sensi, perché lo spazio mostrato dai nostri sensi differisce del tutto da quello della geometria. Questi principi non derivano neanche dall’esperienza: i principi della geometria non sono che convenzioni; tali convenzioni, però, non sono arbitrarie e qualora fossimo trasportati in un altro mondo, saremmo condotti ad adottarne altre. Anche i principi della meccanica partecipano del carattere convenzionale dei postulati geometrici.

Le teorie ci appaiono fragili e la storia della scienza ci mostra quanto siano effimere, eppure esse non muoiono del tutto, di ognuna di loro rimane qualcosa. È questo qualcosa che bisogna rintracciare, perché è solo qui che sta la genuina realtà.

Fonte ultima del ragionamento matematico

1. Fonte ultima del ragionamento matematico non può essere il ragionamento sillogistico, perché esso è incapace di aggiungere alcunché ai dati fornitigli: questi ultimi si riducono a qualche assioma e non si dovrebbe trovare altro nelle conclusioni. La contraddizione è ancora più evidente se pensiamo ad un qualsiasi testo di matematica: ivi l’autore annuncerà l’intenzione di generalizzare una proposizione già nota. Se la matematica fosse puramente analitica, una mente potente potrebbe in un sol colpo d’occhio coglierne tutte le verità e si potrebbe inventare un linguaggio apposito. Ma non è così, e allora ci resta da dire che il ragionamento matematico possiede di per sé una sorta di virtù creatrice e che, perciò, si distingue dal sillogismo, il quale rimane impotente per via della sua analiticità.

2. Già Leibniz tentò di dimostrare che 2+2=4, mostrando un procedimento puramente analitico. Per un matematico, però, questa non è una dimostrazione, ma una verificazione, che differisce dalla prima proprio perché analitica e quindi sterile. La conclusione, infatti, non è che la traduzione delle premesse in un altro linguaggio. Invece, la dimostrazione è feconda perché la conclusione possiede un senso più generale delle premesse. L’uguaglianza è stata allora suscettibile di verificazione in quanto particolare. Ma se la matematica si riducesse a una sequenza di simili verificazioni, allora non sarebbe una scienza. Non vi è scienza se non del generale.

Il pensiero matematico puro

3. Dobbiamo cercare il pensiero matematico là dove è rimasto puro, pertanto dobbiamo escludere la geometria e l’analisi infinitesimale, per studiare invece l’aritmetica. Dobbiamo andare all’inizio dell’aritmetica e, a costo di deviare dall’obiettivo, dobbiamo rifare le dimostrazioni dei teoremi più elementari, dando loro non la forma rozza per i principianti, ma quella che soddisfi l’esperto. Abbiamo allora una definizione dell’addizione, che non è puramente logica, perché l’uguaglianza contiene un’infinità di definizioni distinte. Vengono poi studiate le proprietà dell’addizione, ovvero sia l’associatività e la commutatività. Tramite delle uguaglianze viene definita la moltiplicazione e le sue proprietà della distributività e della commutatività.

Procedimento uniforme e ricorrente

4. Il procedimento è uniforme e ricorrente. Tale procedimento è la dimostrazione per ricorrenza. Si stabilisce dapprima un teorema per n= 1, poi si dimostra che se è vero per n-1, è vero anche per n e se ne conclude che è vero per tutti i numeri interi. È possibile servirsene per le regole di addizione e moltiplicazione, per il calcolo algebrico, il quale, però, è ancora uno strumento puramente analitico. Se la matematica non avesse altri strumenti, non si sarebbe sviluppata, ma essa fa ricorso al ragionamento per ricorrenza e quindi procede.

Carattere essenziale del ragionamento per ricorrenza

5. Il carattere essenziale del ragionamento per ricorrenza è che contiene, condensati in un’unica formula, un’infinità di sillogismi, che sono sillogismi ipotetici. Nei ragionamenti per ricorrenza ci si limita a enunciare la premessa minore del primo sillogismo e la formula generale che contiene come casi particolari tutte le premesse maggiori. Ecco perché ogni conseguenza particolare di un teorema può essere verificata con procedimenti puramente analitici. Eppure, per questa via, non si arriverà mai al teorema generale applicabile a tutti i numeri, il solo che possa essere oggetto di scienza: ci vorrebbe un’infinità di sillogismi. Non si può fare a meno del ragionamento per ricorrenza, perché esso rende possibile il passaggio dal finito all’infinito. Già qui l’idea dell’infinito matematico svolge un importante ruolo, e senza tale idea non vi sarebbe scienza, poiché non vi sarebbe niente di generale.

La regola del ragionamento per ricorrenza

6. La regola del ragionamento per ricorrenza è irriducibile al principio di non-contraddizione. Tale regola non può venirci neanche dall’esperienza: essa può solo insegnarci che la regola è vera, ma non può abbracciare la successione infinita dei numeri, bensì solo una sua porzione. Quando quest’ultima non ci basta e vogliamo rinchiudere un’infinità in un’unica formula, questo principio fallisce e l’esperienza diventa impotente. Questa regola, inaccessibile alla dimostrazione analitica e all’esperienza, è un giudizio sintetico a priori. Questo giudizio è l’affermazione della potenza della mente che sa di poter concepire la ripetizione indefinita: l’esperienza è un’occasione perché la mente prenda coscienza di tale potenza. Certo, c’è una analogia con gli abituali procedimenti induttivi, ma c’è anche una differenza essenziale: l’induzione applicata alle scienze fisiche è sempre incerta perché poggia sulla credenza in un ordine generale dell’Universo. L’induzione matematica, ossia, la dimostrazione per ricorrenza, si impone necessariamente, poiché non è che l’affermazione di una proprietà della mente stessa.

La generalizzazione delle proposizioni matematiche

7. I matematici si sforzano sempre di generalizzare le proposizioni ottenute. Certo, la matematica può procedere dal particolare al generale. Il ragionamento matematico per ricorrenza e ragionamento fisico induttivo camminano in parallelo, vanno entrambi dal particolare al generale. I matematici procedono “per costruzione”: essi costruiscono combinazioni, poi, tramite l’analisi, tornano agli elementi primitivi, scorgono le relazioni e ne deducono di nuove. Certamente questo è un cammino analitico, ma non per questo va dal generale al particolare. Tuttavia deve esservi qualche vantaggio nel considerare la costruzione piuttosto che gli elementi di per sé. E in effetti la conoscenza del teorema generale, per esempio, ci risparmia molti sforzi. Inoltre il procedimento per costruzione non ci obbliga a scendere, ma ci lascia allo stesso livello da cui possiamo risalire unicamente tramite l’induzione matematica, che può insegnarci qualcosa di nuovo. L’induzione matematica è possibile se una medesima operazione può essere ripetuta indefinitamente. Per questo la teoria degli scacchi non potrà mai diventare una scienza.

La grandezza matematica e l'esperienza

I matematici ragionano sul continuo, ma l’autentico continuo matematico è del tutto diverso da quello dei fisici e da quello dei metafisici. Non ci si deve preoccupare di come vadano intercalati i termini intermedi, tuttavia questo è possibile.

Definizione degli incommensurabili

La premessa da fare è che i matematici non studiano oggetti, ma relazioni, perciò a loro non importa la materia, ma solo la forma. Ecco perché Dedekind designa con il nome di numero incommensurabile un semplice simbolo, vediamone la definizione: i numeri commensurabili possono essere ripartiti in due classi in un’infinità di modi, a condizione che un numero qualunque della prima classe sia maggiore di un numero qualunque della seconda classe. Nella prospettiva di Dedekind, il numero incommensurabile √2 non è che il simbolo di questo modo particolare di ripartire i numeri commensurabili, e a ciascun modo di ripartizione corrisponde un numero commensurabile o incommensurabile che gli serve da simbolo. Ma tutto ciò non basta: bisogna capire l’origine di questi simboli.

Il continuo fisico

Sembra che la nozione del continuo matematico sia semplicemente tratta dall’esperienza: in questa direzione va la legge di Fechner seguendo la quale la formula del continuo fisico risulterebbe A=B, B=C, A<C. Vi è qui però disaccordi fra il principio di non-contraddizione, e proprio tale disaccordo ha spinto a inventare il continuo matematico. Tale nozione è stata allora interamente creata dalla mente, ma è stata l’esperienza a dargliene l’occasione.

Creazione del continuo matematico

Primo stadio: malgrado l’impiego dei metodi più perfezionati, i risultati della nostra esperienza presenteranno sempre i caratteri del continuo fisico con la contraddizione che gli è intrinseca. Potremo evitarla solo intercalando senza posa nuovi termini tra quelli già distinti, e tale operazione dovrà proseguire indefinitamente. La contraddizione viene meno quando il numero dei termini viene riguardato come infinito. Ma non è soltanto per evitare la contraddizione contenuta nei dati empirici che la mente è indotta a creare il concetto di un continuo formato da un numero indefinito di termini. Infatti, da quando siamo stati condotti a intercalare termini medi tra termini di una successione, sentiamo che non c’è alcuna ragione per fermarsi in questa operazione. Chiamiamo “continuo matematico del primo ordine” qualsiasi insieme di termini formati secondo la medesima legge della scala dei numeri commensurabili. Se vi intercaliamo nuovi scalini secondo la legge di formazione dei numeri incommensurabili, otterremo un “continuo del secondo ordine”.

Secondo stadio: rimane da spiegare il motivo di invenzione dei numeri incommensurabili. Sembra intuitivo che due linee che si intersecano abbiano in comune un punto, ma in realtà questo implicherebbe contraddizione se le linee fossero concepite come continui del primo ordine, se quindi sulle linee tracciate dal geometra dovessero trovarsi soltanto punti aventi per coordinate numeri razionali. La contraddizione si svelerebbe ancor più non appena si affermasse l’esistenza di rette e cerchi. È chiaro che se fossero considerati reali soltanto i punti le cui coordinate sono commensurabili, il cerchio inscritto in un quadrato e la diagonale del quadrato non si intersecherebbero, dal momento che le coordinate del punto di intersezione sono incommensurabili. Anche questo non basta, però, perché si avrebbero solo certi numeri incommensurabili e non altri. Pertanto ritroviamo la concezione di Kronecker, per cui un numero incommensurabile è considerato come la frontiera comune di due classi di numeri razionali. Tale è l’origine del continuo del secondo ordine, che è il continuo matematico propriamente detto.

Riassunto: la mente ha la facoltà di creare simboli ed è così che ha costruito il continuo matematico. La sua potenza è limitata alla necessità di evitare contraddizioni, ma la mente ne fa uso solo se l’esperienza lo richiede. Tale ragione era la nozione di continuo fisico, tratta dai sensi, che porta a delle contraddizioni. Pertanto siamo obbligati a pensare a un sistema di simboli più complicato, ma privo di contraddizioni interne.

La grandezza misurabile

Il continuo diviene una grandezza misurabile e possiamo applicargli le operazioni dell’aritmetica solo confrontando l’intervallo che separa due termini. Ciò non può essere fatto se non con l’ausilio di una convenzione nuova, mediante la quale, ad esempio, due scalini vengono per convenzione considerati equidistanti. La definizione a cui si giunge è sì arbitraria, ma è assoggettata a certe condizioni.

Osservazioni varie

La creazione del continuo matematico non esaurisce la potenza creatrice della mente: esistono infinitesimi di ordini differenti, anche infinitesimi infinitamente piccoli rispetto a quelli del primo ordine. Inoltre una volta in possesso del concetto di continuo matematico non si è al riparo da contraddizioni.

Il continuo fisico a più dimensioni

Un sistema di elementi formerà un continuo se si può passare da uno qualunque di essi a un altro, attraverso una successione di elementi consecutivi concatenati in modo che ciascuno di essi non possa distinguersi dal precedente. Questa catena sta alla linea del matematico come un elemento sta al punto. Se si può suddividere un continuo fisico con una sezione che si riduce a un numero finito di elementi tutti discernibili gli uni dagli altri, diremo che esso è un continuo a una dimensione. Se invece può essere suddiviso solo da sezioni a loro volta continui, esso ha più dimensioni. Se sono sufficienti sezioni che siano continui a una dimensione, diremo che ha due dimensioni, se sono sufficienti sezioni a due dimensioni, diremo che ha tre dimensioni. La nozione di continuo fisico a più dimensioni è definita grazie al fatto che due insieme possono essere discernibili o indiscernibili.

Il continuo matematico a più dimensioni

Un punto di un tale continuo appare definito da un sistema grandezze distinte che sono dette le sue coordinate. Solo quando si è voluto introdurre la misura nel continuo matematico a più dimensioni che tale continuo è divenuto lo spazio ed è nata la geometria.

Le geometrie non euclidee

Tutti i trattati di geometria iniziano con l’enunciare gli assiomi. Alcuni di essi sono proposizioni non di geometria, ma di analisi, sono giudizi analitici a priori. Ma ci sono altri assiomi, che sono specifici della geometria. A lungo si è tentato di dimostrare il terzo assioma, il postulato di Euclide, fino a che Lobacevskij e Bolyai stabilirono inconfutabilmente l’impossibilità di tale dimostrazione. La questione compì un passo decisivo con Riemann.

La geometria di Lobacevskij

Egli suppone all’inizio che per un punto si possono condurre più parallele a una retta data. Per il resto, conserva tutti gli altri assiomi di Euclide. Da queste ipotesi deduce una serie di teoremi e costruisce una geometria dalla logica impeccabile. Le proposizioni di Lobacevskij non hanno alcun rapporto con quelle di Euclide, ma non sono meno logicamente connesse fra loro.

La geometria di Riemann

La geometria di Riemann è la geometria sferica estesa a tre dimensioni. Per costruirla ha dovuto scartare non solo il postulato di Euclide, ma anche il primo assioma: per due punti non passa che una sola retta. Nella geometria di Riemann per due punti non passerà in genere che una sola retta, ma vi sono casi in cui per due punti potrà passare un’infinità di rette. Vi è una certa opposizione fra la geometria di Riemann e quella di Lobacevskij. Aggiungiamo che lo spazio di Riemann è finito, benché illimitato.

La superficie a curvatura costante

Chi garantisce che se Riemann e Lobacevskij avessero spinto le loro deduzioni, non avrebbero potuto imbattersi in contraddizioni? Questa difficoltà non sussiste per la geometria di Riemann se viene limitata alle due dimensioni, perché essa non differisce dalla geometria sferica, branca di quella ordinaria. Eugenio Beltrami ha mostrato che la stessa geometria di Lobacevskij a due dimensioni può essere ridotta a branca di quella ordinaria. La geometria di Riemann è la geometria delle superficie a curvatura positiva, che possono essere deformate in modo da essere applicate su una sfera. La geometria di Lobacevskij invece è la geometria di quelle superficie a curvatura costante. Entrambe le geometrie sono ricollegate alla geometria euclidea.

Interpretazione delle geometrie non euclidee

Si costruisca una sorta di dizionario a due colonne, si prendano i teoremi di Lobacevskij e li si traduca: si otterranno così i teoremi della geometria ordinaria. Non si arriva mai ad una contraddizione: se due teoremi di Lobacevkij fossero contraddittori, lo sarebbero anche le traduzioni di quei due teoremi.