Variabili casuali e statistiche

Appendice I

Proprietà del coefficiente binomiale

( ) ∈ n    rn n n n!= = = con     ( )− − +∈r n r r n r r! ! ! r     + −          n n 1 n n n n 1     = < < = + =0 se n r oppure r 0 ; ; r n          − −r r r 1 r r r 1          −   n n s( ) ( )s s=

Formula di cancellazione: r n   −r r s   +    a b a b∞∑ =

Identità ipergeometrica:     −r n r n    =r 0        n n n nn∑

( ) n − − − −+ = + + + + + =1 2 2 1n n n n n n r rBinomio di Newton: a b a a b a b ... ab b a b       −1 2 n 1 r       = 0r

Coefficienti multinomiali:  n !n= = = + + + =( ... ) ( ... ) con ...P x x f x x x x x n 1 k 1 k 1 2 k...x x x ! ! ... !x x x 1 2 k 1 2 k

Funzione gamma: ∞ ∞∞( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ − − − − − −Γ = = − + − ⇒ Γ = − Γ − >n 1 x x n 1 n 2 xn x e dx e x n 1 x e dx n n 1 n 1 con n 1  00         1 1 1 3 1( ) ( ) π πΓ = Γ + = Γ = Γ + = − −1 1; n 1 n !; ; n n n ...        2 2 2 2 2        

Formula di Stirling: ( )π −≈ n nn ! 2 n n e

Capitolo I - Introduzione

Esperimento relativo al tempo di vita di una lampadina

Distribuzione non uniforme o geometrica: Supponiamo di avere inizialmente N lampadine e che, nell’intervallo di un’ora, la percentuale di lampadine che sopravvive sia pari ad s (con s costante col trascorrere delle ore), cioè:

sN lampadine sopravvivono dopo la prima ora ( )− = − lampadine si guastano (hanno zero ore di vita)" N sN 1 s N lampadine sopravvivono dopo la seconda ora ⋅ = 2s sN s N( ) lampadine si guastano (hanno un’ora di vita)" − = −2sN s N 1 s sN…

dopo la i-esima ora lampadine sopravvivono is N( )" lampadine si guastano (hanno i-1 ore di vita)− −− = −i 1 i i 1s N s N 1 s s N

I possibili risultati dell’esperimento sono “0 ore”, “1 ora”, ... (di vita) e a questi risultati (eventi semplici) { } ( ) n= = −possiamo associare i numeri naturali. Lo spazio campionario è quindi , e è la probabilità che una lampadina abbia n ore di vita. S 0 ,1,2 ,... p 1 s s n

Capitolo II – Calcolo combinatorio

Disposizioni semplici: i gruppi che si possono formare con n oggetti dati in modo che ognuno contenga solo k oggetti distinti e che due gruppi differiscano tra loro o per qualche elemento o per l’ordine:

( )( ) ( )( ) ( )k= − − − + − + ≡ ≤D n n 1 n 2 ... n k 2 n k 1 n k n con n k,

Permutazioni: disposizioni semplici di n oggetti di classe n (differiscono solo per l’ordine): ( )( )( )n= = = − − ⋅ =P D n n n 1 n 2 ...2 1 n !n n n

Combinazioni: i gruppi di k oggetti che si possono formare con n oggetti, in modo che i gruppi differiscano almeno per un oggetto; nelle disposizioni semplici i gruppi possono differire anche per l’ordine, nelle combinazioni differiscono tra loro solo quando differiscono per almeno un elemento:

( )( ) ( ) ( )− − − +    k n nD n n n n k1 2 ... 1 n n != = = = = =n k,C    ( )n k, −− n k kk k k k n k! ! ! ! !    

Disposizioni con ripetizione: i gruppi che si possono formare con n oggetti dati in modo che ognuno contenga solo k oggetti, con la possibilità di ripetere ciascuno di essi una o più volte all’interno di una stessa sequenza, e che due gruppi differiscano tra loro o per qualche elemento o per l’ordine:

′ = kD nn k,

Capitolo III – Risultati equiprobabili

Distribuzione ipergeometrica

Se una certa caratteristica divide una intera popolazione in due gruppi distinti a e b e un campione di dimensione n viene estratto a caso (random) e senza reimmissione, la probabilità che il campione contenga x membri di tipo 1 (e quindi n-x membri del secondo tipo), è:

• Sequenze ordinate: ( ) ( ) n= +N a b S  nN 1( ) ( ) ( ) ( )−x n x⇔ = = =Af x P A a b   n ( )( )( ) ( ) nx− Nx n x +=   a bN a b   SA x 
• Sequenze non ordinate: +  a b=N  ′S +n     a b a bC C   N( ) ( )′ −⇔ = = = = ∈′ , ,a x b n xAf x P A x con     −x n x nN C  a b      ′ + ,S a b n=N    ′A −x n x   

Relazione di ricorrenza: − + − +a x 1 n x 1( ) ( ) ( ) ( )= − = ⋅f x r x f x 1 r x − +x b n x probabilità

Campioni con tutti gli elementi distinti nel campionamento random con reimmissione: che tutti gli elementi siano distinti:

( )rN n n !( ) = = = ≡AP A q( ) r−r rN n n r n!s −n rπ −n n  n ! 2 nn e n n −→ ∞ ⇒ ≅ = ⇔ →rper n e q 1 ( ) ( ) ( ) r−− − −n rr πn r ! n n r n r − +− − n r r2 n r n r e n →1 −n r r r= + → e1 − n r

Distribuzione binomiale

Come nell’ipergeometrica ma con reimmissione:

a=p   n+a b ( ) ( ) ( )−n x⇔ = − ≡xf x p 1 p b n, p  b x − =1 p + a b

Relazione di ricorrenza: − +n x 1 a( ) ( ) ( ) ( )= − = ⋅f x r x f x 1 con r x x b

Approssimazione dell’Ipergeometrica alla Binomiale: 2 ( ) +n a b+       a b a b n ( ) −n x≈ − ∈x 1 con p p x      −x n x n x        a =p + a b

Capitolo IV - Spazi di probabilità e calcolo delle probabilità

Algebra booleana: β ⊆℘( S ) ( S )è l’insieme della parti se: ( ) ( ) ( ) ( )β β β β∀ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∪ ∈A S A S A, B S A B S; c∪, ∩, cioè è chiuso rispetto a .

Misura: un qualsiasi valore reale non negativo associato ad ogni insieme con: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∩ = ∅ ⇒ ∪ = + ⊆ ⇒ ≤A B m A B m A m B B A m B m A

σ-algebra si passa alla passando all’unione di infiniti sottoinsiemi. E’ formato da:

Spazi di probabilità:

• S = insieme o spazio campionario (i possibili risultati;
• ℘(S) = insieme delle parti di S;
• p = probabilità; misura di massa totale pari a 1.

Probabilità: ( ) ( ) ( )= ⋅ (vedi “Variabili random indipendenti”)

Eventi indipendenti: P AB P A P B con A, B eventi

Eventi disgiunti o mutuamente esclusivi: ( ) ( ) ( ) ( )= + + + = + + +Eventi disgiunti o mutuamente esclusivi: P S P a P a ... P a con S a a ... a n 1 2 n n 1 2 n

Prove di Bernoulli: ripetizioni indipendenti di un esperimento che dà luogo a due soli possibili risultati (con reimmissione) s (success) ed f (failure). La probabilità di ottenere esattamente x successi in n prove di Bernoulli è data dalla binomiale b(n, p).

Probabilità condizionata: probabilità di A dato (che si è verificato) B: ( )P AB( ) ( )= ≠P A | B con P B 0( )P B

Regola di Bayes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =Regola di Bayes: P AB P A | B P B P B | A P A essendo AB BA

Ogni evento B può essere scritto come unione di k eventi mutuamente esclusivi con: φ∩ == ∪ ∪ ∪ ≠; ; ;A AS A A ... A i ji j1 2 k k∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ∪ ∪ ∪ ⇔ =B BA BA ... BA P B P B | A P A k i i1 2 =i 1 ( ) ( )( ) ( )( ) P B | A P AP BA P B | A P A i i( ) = = =i i i

Teorema di Bayes: P A | B ( )( )i k    P B P B ∑ P B | A P A   j j   =1j

Binary symmetric channel

Esperimenti dipendenti, poiché l’output dipende dall’input:

( ) ( ) ε = =P 1 | 0 P 0 |1O i O i Distorsione del segnale  ( ) ( ) ε= = −P 1 |1 P 0 | 0 1 O i O i

∑ ∑( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε ε ε ε= = = + = − + − = + −P 1 P 1 , j P 1 | j P j P 1 | 0 P 0 P 1 |1 P 1 1 p 1 p p 2 po o o o i i o i i∈ ∈j I j I

∑ ∑( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ε ε ε ε= = = + = − − + = − − +P 0 P 0 , j P 0 | j P j P 0 | 0 P 0 P 0 |1 P 1 1 1 p p 1 p 2 po o o o i i o i i∈ ∈j I j I

( ) ( ) ( ) ( )( ) ε ε− −P 1 ,1 P 1 |1 P 1 1 p 1 p( ) = = = =i o o i iP 1 |1 ( )( ) ε εi o + −1 1 2P P q p p o o 3

Capitolo V – Variabile aleatoria discreta

Variabile aleatoria: funzione.

Funzione di probabilità: gode delle proprietà delle probabilità: ∑( ) ( )= = = ∀ ∈f x P X x p x Ri x( )∈ =i X x

Funzione indicatrice di A: è la v.a. che assume valore se l’evento A si avvera e 0 in caso contrario: X 1A= = = = = =;(1) ( 1) ( )f P X P A f (0) P ( X 0) P ( A)A A ≤

Funzione cumulativa o di ripartizione: distribuzione di probabilità dell’vento x t: −∞ ≤ ≤ ∞t∑( ) ( ) ( ) ( )= ≤ = −∞ =con 0F t P X t f x F≤x t ( )+∞ = 1F

( ) ( ) ( ) ( ){ }= = = ≤ − ≤ = ≤ − ≤ = −P X x P (X x ) ( X x ) P X x P X x F(x ) F(x )f x −1 i i i i− 1 i i− 1 i i

Funzioni composte: una funzione a valori reali y=h(X) di una v.a. X è una v.a. con distribuzione: ∑( ) ( )=g y f x=: ( )x h x y

Tempi di attesa nelle prove di Bernoulli

 n( ) ( ) −n x= = − =≡ ⇒ xX n° di successi nelle prime n prove 1 con 0, 1, ... ,P X x p p x n n n x 

− n 1( ) ( ) −n x= = − = +≡ ⇒ xN n° di prove per x successi P N n p 1 p con n x , x 1, ... x x −x 1 

x) )( (= = = ;P N n P X x ) )( (> = <P N n P X x x n n x n

Mancanza di memoria nella legge geometrica: se X è una v.a. che segue una legge geometrica di parametro p vale la relazione:

∞ ∞ ∞∑ ∑ ∑−≥ = − = − − = − − = −n k n k k l k( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )P X k p p p p p p p p p= = = 0n k n k l +

= + ≥ = + − k mP ( X k m, X k ) P ( X k m ) p (1 p )= + ≥ = = = = − = =mP X k m X k p p P X m( | ) (1 ) ( )≥ ≥ − kP X k P X k p( ) ( ) (1 )

= + > = − = + − − > − = − = + − − ≥ =P ( N k m | N k ) P ( N 1 k m 1 | N 1 k 1) P ( N 1 k m 1 | N 1 k )1 1 1 1 1 1− = − = =P ( N 1 m 1) P ( N m)1 1

Tempi di attesa nel semplice campionamento random

Estrazioni non indipendenti, senza reimmissione:

+      n a b a b( ) ( )( ) ( ) ( )n−x n x= = + =P X x a b a b      n −x x n x n      − 1