Variabili casuali e statistiche

APPENDICE I

Proprietà del coefficiente binomiale:

( ) ∈

 n

    r

n n n n

!

= = = con 

    ( )

− − +

∈

r n r r n r r

! ! ! r

     + −

     

     

n n 1 n n n n 1

     

= < < = + =

0 se n r oppure r 0 ; ; r n

     

     

− −

r r r 1 r r r 1

     

     

−

   

n n s

( ) ( )

s s

=

Formula di cancellazione: r n

   

−

r r s

   

+

    

a b a b

∞

∑ =

Identità ipergeometrica:     

−

r n r n

    

=

r 0        

n n n n

n

∑

( ) n − − − −

+ = + + + + + =

1 2 2 1

n n n n n n r r

Binomio di Newton: a b a a b a b ... ab b a b

       

−

1 2 n 1 r

       

= 0

r

Coefficienti multinomiali:

 

n !

n

= = = + + + =

( ... ) ( ... ) con ...

P x x f x x x x x n

 

1 k 1 k 1 2 k

...

x x x ! ! ... !

x x x

 

1 2 k 1 2 k

Funzione gamma:

∞ ∞

∞

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

 

− − − − − −

Γ = = − + − ⇒ Γ = − Γ − >

n 1 x x n 1 n 2 x

n x e dx e x n 1 x e dx n n 1 n 1 con n 1

  0

0 0

        

1 1 1 3 1

( ) ( ) π π

Γ = Γ + = Γ = Γ + = − −

1 1; n 1 n !; ; n n n ...

        

2 2 2 2 2

        

Formula di Stirling:

( )

π −

≈ n n

n ! 2 n n e CAPITOLO I - Introduzione

esperimento relativo al tempo di vita di una lampadina.

Distribuzione non uniforme o Geometrica:

Supponiamo di avere inizialmente N lampadine e che, nell’intervallo di un’ora, la percentuale di

lampadine che sopravvive sia pari ad s (con s costante col trascorrere delle ore), cioè:

sN lampadine sopravvivono

dopo la prima ora ( )

− = − lampadine si guastano (hanno zero ore di vita)

" N sN 1 s N lampadine sopravvivono

dopo la seconda ora ⋅ = 2

s sN s N

( ) lampadine si guastano (hanno un’ora di vita)

" − = −

2

sN s N 1 s sN

…dopo la i-esima ora lampadine sopravvivono

i

s N

( )

" lampadine si guastano (hanno i-1 ore di vita)

− −

− = −

i 1 i i 1

s N s N 1 s s N

I possibili risultati dell’esperimento sono “0 ore”, “1 ora”, ... (di vita) e a questi risultati (eventi semplici)

{ } ( ) n

= = −

possiamo associare i numeri naturali. Lo spazio campionario è quindi , e è la

S 0 ,

1

,

2 ,... p 1 s s

n

probabilità che una lampadina abbia n ore di vita.

CAPITOLO II – Calcolo combinatorio

i gruppi che si possono formare con n oggetti dati in modo che ognuno contenga

Disposizioni semplici:

solo k oggetti distinti e che due gruppi differiscano tra loro o per qualche elemento o per l’ordine:

( )( ) ( )( ) ( )

k

= − − − + − + ≡ ≤

D n n 1 n 2 ... n k 2 n k 1 n k n

con

n k

, disposizioni semplici di n oggetti di classe n (differiscono solo per l’ordine):

Permutazioni: ( )( )

( )

n

= = = − − ⋅ =

P D n n n 1 n 2 ...2 1 n !

n n n

, i gruppi di k oggetti che si possono formare con n oggetti, in modo che i gruppi

Combinazioni: 1

differiscano almeno per un oggetto; nelle disposizioni semplici i gruppi possono differire anche per

l’ordine, nelle combinazioni differiscono tra loro solo quando differiscono per almeno un elemento:

( )( ) ( ) ( )

− − − +    

k n n

D n n n n k

1 2 ... 1 n n !

= = = = = =

n k

,

C    

( )

n k

, −

− n k k

k k k k n k

! ! ! ! !    

i gruppi che si possono formare con n oggetti dati in modo che ognuno

Disposizioni con ripetizione:

contenga solo k oggetti, con la possibilità di ripetere ciascuno di essi una o più volte all’interno di una

stessa sequenza, e che due gruppi differiscano tra loro o per qualche elemento o per l’ordine:

′ = k

D n

n k

, CAPITOLO III – Risultati equiprobabili

se una certa caratteristica divide una intera popolazione in due gruppi

Distribuzione Ipergeometrica:

distinti a e b e un campione di dimensione n viene estratto a caso (random) e senza reimmissione, la

probabilità che il campione contenga x membri di tipo 1 (e quindi n-x membri del secondo tipo), è:

Tipo 1 Tipo 2 Totale

Popolazione a b a+b

Campione x n-x n

•Sequenze ordinate:

( ) 

( ) n

= +

N a b 

S  

n

N 1

( ) ( ) ( ) ( )

−

x n x

⇔ = = =

A

f x P A a b

  

 

n ( )

( )

( ) ( ) n

x

− N

x n x +

=   a b

N a b 

  S

A x

  

•Sequenze non ordinate:

+ 

 

a b

=

N 

 

′

S +

n     

a b a b

C C

   N

( ) ( )

′ −

⇔ = = = = ∈

′ , ,

a x b n x

A

f x P A x

con

     

−

x n x n

N C

  

a b     

 ′ + ,

S a b n

=

N    

′

A −

x n x

    − + − +

a x 1 n x 1

( ) ( ) ( ) ( )

= − = ⋅

f x r x f x 1 r x

Relazione di ricorrenza: − +

x b n x probabilità

Campioni con tutti gli elementi distinti nel campionamento random con reimmissione:

che tutti gli elementi siano distinti:

( )

r

N n n !

( ) = = = ≡

A

P A q

( ) r

−

r r

N n n r n

!

s −

n r

π −

n n  

n ! 2 nn e n n −

→ ∞ ⇒ ≅ = ⇔ →

r

per n e q 1

 

( ) ( ) ( ) r

−

− − −

n r

r π

n r ! n n r n r

 

− +

− − n r r

2 n r n r e n →

1 −

n r

 

r r

= + → e

1

 

−

 

n r

come nell’ipergeometrica ma con reimmissione:

Distribuzione Binomiale:



a

=

p   

n



+

a b ( ) ( ) ( )

−

n x

⇔ = − ≡

x

f x p 1 p b n

, p

  

b x

 



− =

1 p 

+ 

a b − +

n x 1 a

( ) ( ) ( ) ( )

= − = ⋅

f x r x f x 1 con r x

Relazione di ricorrenza: x b

Approssimazione dell’Ipergeometrica alla Binomiale: 2

 ( )

 +

n a b

+ 

      

a b a b n ( ) −

n x

≈ − ∈

x 1 con

p p x



      

−

x n x n x

        a

 =

p +

 a b

CAPITOLO IV - Spazi di probabilità e Calcolo delle probabilità

β ⊆℘

( S ) ( S )

è l’insieme della parti se:

Algebra booleana:

( ) ( ) ( ) ( )

β β β β

∀ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∪ ∈

A S A S A

, B S A B S

; c

∪, ∩,

cioè è chiuso rispetto a .

un qualsiasi valore reale non negativo associato ad ogni insieme con:

Misura: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∩ = ∅ ⇒ ∪ = + ⊆ ⇒ ≤

A B m A B m A m B B A m B m A

σ-algebra

si passa alla passando all’unione di infiniti sottoinsiemi. E’ formato da:

Spazi di probabilità:

1)S = insieme o spazio campionario (i possibili risultati;

2)℘(S) = insieme delle parti di S;

3)p = probabilità;

misura di massa totale pari a 1.

Probabilità: ( ) ( ) ( )

= ⋅ (vedi “Variabili random indipendenti”)

Eventi indipendenti: P AB P A P B con A

, B eventi

( ) ( ) ( ) ( )

= + + + = + + +

Eventi disgiunti o mutuamente esclusivi: P S P a P a ... P a con S a a ... a

n 1 2 n n 1 2 n

ripetizioni indipendenti di un esperimento che dà luogo a due soli possibili risultati

Prove di Bernoulli:

(con reimmissione) s (success) ed f (failure). La probabilità di ottenere esattamente x successi in n prove

di Bernoulli è data dalla binomiale b(n, p).

probabilità di A dato (che si è verificato) B:

Probabilità condizionata:

( )

P AB

( ) ( )

= ≠

P A | B con P B 0

( )

P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = =

Regola di Bayes: P AB P A | B P B P B | A P A essendo AB BA

Ogni evento B può essere scritto come unione di k eventi mutuamente esclusivi con:

φ

∩ =

= ∪ ∪ ∪ ≠

; ; ;

A A

S A A ... A i j

i j

1 2 k k

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ∪ ∪ ∪ ⇔ =

B BA BA ... BA P B P B | A P A

k i i

1 2 =

i 1 ( ) ( )

( ) ( )

( ) P B | A P A

P BA P B | A P A i i

( ) = = =

i i i

Teorema di Bayes: P A | B ( )

( )

i k    

P B P B ∑ P B | A P A

   

j j

   

=

1

j

esperimenti dipendenti, poiché l’output dipende dall’input:

Binary symmetric channel:

( ) ( ) ε

 = =

P 1 | 0 P 0 |1

O i O i

Distorsione del segnale  ( ) ( ) ε

= = −

P 1 |1 P 0 | 0 1

 O i O i

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε ε ε ε

= = = + = − + − = + −

P 1 P 1 , j P 1 | j P j P 1 | 0 P 0 P 1 |1 P 1 1 p 1 p p 2 p

o o o o i i o i i

∈ ∈

j I j I

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

ε ε ε ε

= = = + = − − + = − − +

P 0 P 0 , j P 0 | j P j P 0 | 0 P 0 P 0 |1 P 1 1 1 p p 1 p 2 p

o o o o i i o i i

∈ ∈

j I j I ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ε ε

− −

P 1 ,1 P 1 |1 P 1 1 p 1 p

( ) = = = =

i o o i i

P 1 |1 ( )

( ) ε ε

i o + −

1 1 2

P P q p p

o o 3

CAPITOLO V – Variabile aleatoria discreta

funzione.

Variabile aleatoria: gode delle proprietà delle probabilità:

Funzione di probabilità:

∑

( ) ( )

= = = ∀ ∈

f x P X x p x R

i x

( )

∈ =

i X x è la v.a. che assume valore se l’evento A si avvera e 0 in caso contrario:

Funzione indicatrice di A: X 1

A

= = = = = =

;

(1) ( 1) ( )

f P X P A f (0) P ( X 0) P ( A

)

A A ≤

distribuzione di probabilità dell’vento x t:

Funzione Cumulativa o di ripartizione:

−∞ ≤ ≤ ∞

t



∑

( ) ( ) ( ) ( )

= ≤ = −∞ =

con 0

F t P X t f x F





≤

x t ( )

+∞ = 1

F



( ) ( ) ( ) ( )

{ }

= = = ≤ − ≤ = ≤ − ≤ = −

P X x P (X x ) ( X x ) P X x P X x F(x ) F(x )

f x −1

i i i i− 1 i i− 1 i i

una funzione a valori reali y=h(X) di una v.a. X è una v.a. con distribuzione:

Funzioni composte:

∑

( ) ( )

=

g y f x

=

: ( )

x h x y

Tempi di attesa nelle prove di Bernoulli:  

n

( ) ( ) −

n x

= = − =

≡ ⇒ x

X n° di successi nelle prime n prove 1 con 0, 1, ... ,

P X x p p x n

 

n n x

 

−

 

n 1

( ) ( ) −

n x

= = − = +

≡ ⇒ x

N n° di prove per x successi P N n p 1 p con n x , x 1, ...

 

x x −

x 1

 

x

) )

( (

= = = ;

P N n P X x ) )

( (

> = <

P N n P X x

x n

n x n se è una v.a. che segue una legge geometrica di

X

Mancanza di memoria nella legge geometrica:

vale la relazione:

parametro p ∞ ∞ ∞

∑ ∑ ∑

−

≥ = − = − − = − − = −

n k n k k l k

( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

P X k p p p p p p p p p

= = = 0

n k n k l +

= + ≥ = + − k m

P ( X k m

, X k ) P ( X k m ) p (1 p )

= + ≥ = = = = − = =

m

P X k m X k p p P X m

( | ) (1 ) ( )

≥ ≥ − k

P X k P X k p

( ) ( ) (1 )

= + > = − = + − − > − = − = + − − ≥ =

P ( N k m | N k ) P ( N 1 k m 1 | N 1 k 1

) P ( N 1 k m 1 | N 1 k )

1 1 1 1 1 1

− = − = =

P ( N 1 m 1) P ( N m

)

1 1 estrazioni non indipendenti, senza

Tempi di attesa nel semplice campionamento random:

reimmissione: +

      

n a b a b

( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

−

x n x

= = + =

P X x a b a b

      

n −

x x n x n

      

−

 

1