Statistica Applicata - variabili casuali e campionamento

Richiami di probabilità e variabili casuali

Funzione di probabilità

Definizioni, assiomi e regole per assegnare a P(A) il significato di quantificazione dell'evento.

Assiomi della probabilità

1. P(A) ≥ 0
2. P(Ω) = 1
3. P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ)

Regole della probabilità

1. Dell'unione: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
2. Della differenza: P(A-B) = P(A) - P(A ∩ B)
3. Del complementare: P(A^c) = 1 - P(A)
4. Dell'evento impossibile: P(∅) = 0

0 ≤ P(A) ≤ 1

Approccio classico

P(A) = casi favorevoli/casi possibili

Probabilità condizionata

Evento condizionatore: A|B

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

L'evento condizionante definisce l'indipendenza stocastica tra due eventi:

• P(A∩B) = P(A)P(B)
• P(A|B) = P(A)
• P(B|A) = P(B)

Due eventi non influenzano l'accadimento dell'altro.

Le variabili casuali

X sono funzioni che associano un evento su Ω ad un valore numerico. Possono prendere innumerevoli valori e hanno una funzione di densità tale che:

f_X(x) ≥ 0 con Σ ƒ

G = area sottesa dalla funzione di densità nell'intervallo

Funzione di probabilità

Definita su un insieme, è una regola per associare a ogni evento un numero reale.

1. P(A) > 0
2. P(Ω) = 1
3. P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ) se Aᵢ – inclusi – insieme φ

Regole

1. Dell'unione P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
2. Della differenza P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
3. Dei complementari P(A^C) = 1 - P(A)
4. Dell'evento impossibile P(φ) = 0

Approccio classico

P(A) = casi favorevoli / casi possibili

Probabilità condizionata

Evento condizionato – A|B

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

P(A|B): P(B|A)

P(A|B): P(A)

Le variabili casuali

X sono funzioni che associano all'evento aleatorio un valore numerico.

f(x|β) > 0 con Σ f(x|β)

Variabili casuali discrete

• Uniforme
• Binomiale
• Ipergeometrica

Uniforme

X~U(n)

• Valore max assumibile dalle x
• Funzione probabilità costante

Media: E(X) = n/2

Varianza: Var(X) = (n²-1)/12

Binomiale

X~Bin(n,p)

• Parametri
• Esperimento dicotomico con due possibili eventi
• n: numero di estrazioni con reimmissione
• x: n° di successi nelle n estrazioni x ε {0,1,...n}

Funzione probabilità: p_k = (ⁿC_k)p^k(1-p)^n-k

Media: E(X) = np

Varianza: Var(X) = npq

N.B. se p = q, Bin è simmetrica.

Ipergeometrica

X~Ip(N, N, n)

• Esperimento uguale a Bin ma senza reimmissione
• Funzione di probabilità
• p: (n / N) probabilità di successo al n-esimo

Media: E(X) = np

Varianza: Var(X) = np(1-p)(N-n)/(N-1)

Variabili casuali continue

• Uniforme continua o rettangolare
• Normale

Uniforme continua o rettangolare

x ∼ R(a,b)

1. Definita e continua in un rettangolo limitato x ∈ [a,b]
2. Funzione di densità f(x)= 1/(b-a) - rettangolo compreso nell'intervallo [a,b]

Media m(x) = (a+b)/2

Varianza var(x) = (a-b)²/12

Variabili casuali normali

x ∼ N(µ, σ²)

1. Funzione di densità f(x) = 1/(σ√2π) exp [-1/2 * (x-µ/σ)²]

Proprietà analitiche

1. f(x)≥0 e sempre positivo con asse x asintoto orizzontale
2. Simmetrica rispetto a µ
3. Massimo in x = µ
4. Due flessi in x = µ ± σ

Proprietà probabilistiche

Media aritmetica µ

Scarto quadratico medio = σ (varianza)

La normale standardizzata ha µ = 0 e σ² = 1 (serve per poter usare le tabelle della normale).

1. X = (x - µ) / σ N(0,1)

Funzioni di densità

1. Funzione di ripartizione F(z₀) = ∫ _-∞^z₀... 2x (x^-1)

Φ(z₀): dati di z trovo la probabilità, data la probabilità trovo z per → inverso percentili di altre tavole, calcolazione noto z negativi con volte con z = 3,99 per valori negativi noto accoppiamenti complementare.

V.C. Chi-quadrato

x = Σzi²

• Paramento
• Numero dei quadrati di n Normali
• Indipendenti

X = Σzi² Zi ~ N(0,1) indipendenti che sommati fanno una N somma

Gradi di libertà

Media (M) = n

Varianza (Var) = 2n

Al variare di n, lo X² cambia completamente → diventa comunque >0

V.C. T da Student

x = t_n t = X_n / √(S_n² / n)

Media (M) = 0

Var(X) = n / (n-2)

N.B. per n → infinito la t di Student tende alla Normale

V.C. F da Snedecor

x = F(m,n)

• Parametro ed è due Chi-quadrato
• Rapporto tra due chi-quadrato indipendenti

F(m,n) = (X_m² / m) / (X_n² / n)

Media (M) = n / (n-2)

Var(X) = 2n²(n+M-2) / m(n-2)²(n-4)

Il grafico rende continuo quanto più la Chi-quadrato di una matrice diventa uniforme più simmetrica.

Teorema del limite centrale

Siano n V.C. indipendenti, identicamente distribuite→ fissano media µ→ stessa varianza σ².

Sm = somma delle variabili, μ(s1) = np | media delle somme e la somma delle medie.

Var(S_n) = nσ²

Somma delle somme variabili

Le variabili non indipendenti → cov = σ²

t_n = (S_n - np) / √(nσ²)

Convertire analisi convergenti per mezzo di una normale standardizzata

E(µ_n,np,√N(np,npq)) t_n ~ N(0,1) [Σ2n - n] v→1 X_2n-1², 1 | (chi-quadro particolare)

Campionamento su un contesto di popolazione finita

• Campionamento semplice
  • Urna con N palline
  • Estrazioni indipendenti
  • P= _nP_N
• Campionamento in blocco
  • Schema del prospettico
  • Parametro: p_z-entro=ⁿP_N
  • Uso più campionare
• Campionamento a due stadi
  • N gruppi n gruppi con numerosi: N_i con ΣN_i=N
  • Selezione campionamento per i gruppi: tra k
  • Estrappo dato in i Ni < => no
• Campionamento stratificato
  • Essere un'altra alba del campionamento in due stadi
  • Estrappo preliminare da n
  • Perché la variabile interviene presenta caratteristica struttur intra gruppo voluto
• Campionamento a grappoli
  • Usare 2^o stadio al campionamento in due stadi
  • Estrappo molte e dallo gruppi e dai quelli
  • Particelle non preventivo
  • Evito alle le situazioni delle caratteristiche quali ho con caratteristiche dei nel gruppo e mutui tra gruppi
• Campionamento sistematico
  • Uscita pattuiti numerare da 1 ad n e io comprendo x non casi da numero cat perte
  • P_ampi = E < ^sumO_n - napi secove
  • Coda che sondaggio deve decidere

Si seguito parleremo di campionamento VC assimilabile a quello. Tali v.c. sono casuale variabile di campionamento.

Inferenza statistica

Studio dei parametri e delle variabili casuali.

Test statistici

L'inferenza riguarda un sottoinsieme di una popolazione grande detto parametro. Studio il parametro nel campione per capirlo nella popolazione.

x = (x₁, x₂, ..., xn) → n misure di osservazioni del nostro campione casuale.

Variabile casuale che permette di definire il campione. Caratteristiche non note dette parametri da analizzare.

Sul campione applicazioni statistico campionatore o stimatore.

Funzione campionati che ci aiuto come media proporzione varianza. Lo stimatore sono funzioni di v.c. e varians µ → media u.c. del campione.

Uno stimatore ha una distribuzione campionaria. La distribuzione del campione è distribuzione campionaria.

T = h(X₁, X₂, ..., Yn) S = h (x₁, x₂, xn)

Valore dello stimatore → stima puntuale. Valore del campione. Vetture il stimatore.

Stimatore principale: media campionaria (X), varianza campionaria (s²), razione o proporzione campionaria (P).

Stimatore media campionaria

X = (1/N) ∑ x_i

Equazione della media aritmetica media frequenze

Proprietà di distribuzione della media campionaria. Media campionaria uguale media campionaria.

Varianza della media campionaria Var(X) = σ²

Se il campione è estratto da una popolazione normale N(µ/σ²), anche la media campionaria di campionare segue una normale anche per n piccolo.

X ~ N(µ, σ²/n)

Per non mi conponge la v.c. da cui è estratto il campione?

Teorema del limite centrale: X per n → si distribuisce come una normale standardizzata N(0,1).

1) V.C. campionaria → Standardizzata X - μ σ/sqrt(n)

2) Media con approssimazione non unica, personale molto pratico, 50

Stimatore varianza campionaria

G_n ( x₁, x₂, ...) v.c. di dimensione n

1. S² = 1/n ∑ (x_i - x̄)² → varianza campionaria 1

Proprietà di distribuzione della varianza campionaria. Media aritmetica della varianza campionaria μ(S²) = σ²

σ² di popolazione

Varianza della varianza campionaria VAR(S²) = (n - 1)/n³ (μ₄ - n - 3/n - 1 σ²)

Proprietà & molto complessa

Se il campione è estratto da una pop normale N (μ, σ²) 1/σ² S² ~ X^(n-1)2 dove n = n → campione campionaria a derivare

Varianza campionaria 2

S² = 1/n - 1 ∑ ( x_i - x̄)² = S^2_X

Media aritmetica di S^2_Xμ(S^2_X) = σ²

Varianza complessa CL con la risalita

Se il campione non estratto da una normale ← X ~ N (μ, σ²) 1/σ²S² ~ X^(n-1)2 oppure S²/σ² X^2_(n-1) ←

Varianza campionaria 3 con media nota e σ ignorato

S^2_* = 1/n ∑ ( x_i - μ)²

Media aritmetica μ(S^2_*) = σ²

Varianza complessa CL con la risalita

Il campione è estratto da X ~ N ← 1/σ² S² ~ ⬌_n-1